NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium)

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Chapter 9. त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

प्रश्नावली 9.1

Ex 9.1 Class 10 गणित Q1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंध हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)|

Solution: 

माना खंभे की ऊँचाई = h मीटर

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डोरी की लंबाई = 20 मीटर

θ = 30

समकोण त्रिभुज ABC में;

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30 का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना पेड़ की ऊँचाई BC’ है और पेड़ बिंदु A से टूटकर

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जमीन पर बिंदु C पर झुकी है |

θ = 30°, BC = 8 m

समकोण त्रिभुज ABC में, AB भुजा के लिए,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

Solution: 

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q4. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

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माना मीनार AB की ऊँचाई = h मीटर

बिंदु C से मीनार के पाद बिंदु B की दुरी = 30 m

समकोण  ΔABC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध् दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q6. 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

Solution:

माना कि वह लड़का x m दूर भवन की ओर गया |

लडके ऊंचाई छोड़कर भवन की ऊंचाई (AB) = 30 m – 1.5 m

= 28.5 m

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समकोण त्रिभुज ABC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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Solution:

माना संचार मीनार की ऊंचाई (AD) = h m

भवन की ऊंचाई (DC) = 20 m

माना भूमि पर वह बिंदु B है |

भवन सहित मीनार की ऊंचाई (AC) = (20 + h) m

समकोण त्रिभुज BCD में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी ¯बदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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Solution:

माना पेडस्टल की ऊंचाई h मीटर है |

मूर्ति की ऊंचाई = 1.6 m

समकोण त्रिभुज BCD में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q9. एक मीनार के पाद-बिंदु  से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30o है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

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माना भवन की ऊंचाई = h m

समकोण त्रिभुज ABC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q10. एक 80 m चैड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution:

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माना भूमि पर वह बिंदु B है |

और खंभों की ऊंचाई = h मीo,

B बिंदु से एक खंभे की दुरी = x m

तो दुसरे खंभे की दुरी = (80 – x) m

समकोण त्रिभुज ABC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर उर्ध्वार्धर खड़ा है टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । टॉवर की ऊँचाई और नहर की चैड़ाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

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माना टॉवर (AB) की ऊंचाई = h मीo

नहर BC की चौड़ाई = x मीo

समकोण त्रिभुज ABC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q12. 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45o है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

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माना टॉवर की ऊँचाई = h मीटर

भवन DE की ऊंचाई = 7 मीo

DE = BC = 7 मीo

AB की लंबाई = h – 7 मीo

समकोण त्रिभुज EDC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q13.  समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution:

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माना दो जहाजों A तथा B है

जिनका अवनमन कोण क्रमश: 45° और 30° है |

लाइट-हाउस DC की ऊंचाई = 75 m

चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है |

∴ ∠DAC = 45o और ∠DBC = 30o

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q14.  1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है | इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी ज्ञात कीजिए | 

Solution:

लड़की की ऊंचाई = 1.2 m

भूमि से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 m

लड़की को छोड़कर गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 – 1.2

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AB = DE = 87.0 m

तय दुरी = BE

समकोण DABC में,

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अर्थात इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी 87√3 m है |

Ex 9.1 Class 10 गणित Q15.  एक सीध राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना कार को बिंदु C से मीनार के पाद B तक पहुँचने में x सेके ण्ड लगता है |

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q16.  मीनार के आधर से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो ¯बदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

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Solution:

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर है |

समकोण त्रिभुज ABC में,
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NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 14 Sources of Energy (Hindi Medium)

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Chapter 14. उर्जा के स्रोत

पाठगत-प्रश्न:

प्रश्न 1: उर्जा का उतम स्रोत किसे कहते है ?
उत्तर –
उर्जा का उतम स्रोत वह है जो –

  1. प्रति एकांक आयतन अथवा प्रति एकांक द्रव्यमान अधिक कार्य करे |
  2. जो आसानी से उपलब्ध हो |
  3. भंडारण तथा परिवहन में आसान हो |
  4. वह सस्ता हो |
  5. जलने पर प्रदुषण न फैलाए |

प्रश्न 2: उतम ईंधन किसे कहते है ?
उत्तर –
उतम ईंधन में निम्नलिखित गुण होने चाहिए –

  1. दहन के बाद प्रति एकांक द्रव्यमान से अधिक ऊष्मा मुक्त हो |
  2. यह आसानी से, सस्ती दर पर उपलब्ध हो |
  3. जलने पर अत्याधिक धुआं उत्पन्न न करे |
  4. इसका ज्वलन ताप उपयुक्त हो तथा उष्मीयमान अधिक हो |

प्रश्न 3:  यदि आप अपने भोजन को गर्म करने के लिए किसी भी उर्जा स्रोत का उपयोग कर सकते है , तो आप किसका उपयोग करेंगे और क्यों ?
उत्तर –
हम LPG गैस या विद्द्युतीय उपकरण का उपयोग करेंगे क्योंकि –

  1. इससे अधिक ऊष्मा उत्पन्न होती है |
  2. इसके दहन से धुआं नहीं निकलता है |
  3. यह आसानी से उपलब्ध है तथा इसका उपयोग सुगमतापूर्वक किसी भी समय किया जा सकता है |
  4. यह सस्ता है तथा इसका भंडारण तथा परिवहन आसानी से किया जा सकता है |
  5. इससे वांछित ऊर्जा आवश्यकता अनुसार प्राप्त कर सकते है |

प्रश्न 4: जीवाश्मी ईंधन की क्या हानियाँ है ?
उत्तर –
जीवाश्मी ईंधन की निम्नलिखित हानियाँ है –

  1. जीवाश्मी ईंधन को बनने में कड़ोरो वर्ष लागतें है तथा इनके भंडार सीमित है |
  2. जीवाश्मी ईंधन ऊर्जा के अनवीकरणीय स्रोत है |
  3. जीवाश्मी ईंधन जलाने से वायु प्रदुषण होता है |
  4. वायु में कार्बन की मात्र बढ़ने के कारण ग्रीन हाउस प्रभाव होता है |

प्रश्न 5: हम ऊर्जा के वैकल्पिक स्रोतों कि ओर क्यों ध्यान दे रहे है ?
उत्तर –
हम जानते है कि जीवाश्मी ईंधन ऊर्जा के अनवीकरणीय स्रोत है | अतः इन्हें बचाने कि आवश्यकता है | पृथ्वी के अंदर कोयले , पेट्रोलियम , प्राकृतिक गैस आदि सीमित मात्रा में मौजूद है | यदि हम इनका प्रयोग इसी प्रकार करते रहे तो ये शीघ्र ही समाप्त हो जाएंगे | अतः हमें ऊर्जा के वैकल्पिक स्रोतों कि ओर ध्यान देना चाहिए |

प्रश्न 6: सौर कूकर के लिए कौन सा दर्पण – अवतल , उत्तल , अथवा समतल – सर्वाधिक उपयुक्त है ?
उत्तर –
सौर कूकर के लिए सर्वाधिक उपयुक्त दर्पण अवतल दर्पण है , क्योंकि यह एक अभिसारी दर्पण है | जो सूर्य कि किरणों को एक बिन्दु पर फोकसित करता है ,जिसके कारण शीघ्र ही इसका ताप और बढ़ जाता है |

प्रश्न 7: महासागरो से प्राप्त होने वाली ऊर्जा कि क्या सीमाए है ?
उत्तर – 
महासागरो से प्राप्त होने वाली ऊर्जा कि निम्न सीमाए है –

  1. तरंग ऊर्जा के व्यापारिक उपयोग के लिए तरंगो का अत्यंत प्रबल होना आवश्यक है |
  2. ज्वार भाटे के समय जल के स्तर चढ़ने  तथा गिराने से ज्वारीय ऊर्जा प्राप्त होती है | बाँध के द्वार पर स्थित टरबाइन ज्वारीय ऊर्जा को विद्युत् ऊर्जा में बदल देते है | परन्तु ये बांध केवल कुछ ही क्षेत्रो में सफल है |
  3. ऊर्जा संयत्रों के निर्माण कि लागत बहुत अधिक होती है तथा ऊर्जा का उत्पादन कम होता है |

प्रश्न 8: भूतापीय ऊर्जा क्या है ?
उत्तर –
जब भूमिगत जल तप्त स्थलों के संपर्क में आता है तो भाप उत्पन्न होती है | जब यह भाप चट्टानों के बीच फंस जाती हैं तो इसका दाब बढ़ जाता है | उच्च दाब पर यह भाप पाइपों द्वारा निकाल ली जाती है, यह भाप विद्युत जनरेटर की टरबाइन को घुमती है तथा विद्युत उत्पन्न की जाती है | इन तप्त स्थलों से प्राप्त होने वाली ऊर्जा भूतापीय ऊर्जा कहलाती है |

प्रश्न 9: नाभिकीय  ऊर्जा का क्या महत्व है ?
उत्तर –
नाभिकीय  ऊर्जा से उत्पन्न  ऊर्जा को नाभिकीय  ऊर्जा  कहते है | इस प्रकिया के  द्वारा  अत्याधिक मात्रा में  ऊर्जा मुक्त होती है | इस  ऊर्जा का उपयोग भाप बनाकर  विद्युत्  उत्पन्न करने में किया जाता है |

प्रश्न 10:  क्या कोई  ऊर्जा  स्रोत प्रदुषण मुक्त हो सकता है ? क्यों अथवा क्यों नही ?
उत्तर –
नही , ऐसा कोई  ऊर्जा  का स्रोत नही है जो प्रदुषण मुक्त हो |  सौर सेल हालाँकि प्रदुषण मुक्त है परन्तु उस युक्ति को जुटाने में पर्यावरण क्षति ग्रस्त हो सकता है |

प्रश्न 11: रॉकेट ईंधन के रूप में हाइड्रोजन का उपयोग किया जा रहा है ? क्या आप इसे CNG की तुलना मे अधिक स्वच्छ ईंधन मानते है ? क्यों अथवा क्यों नहीं ?
उत्तर –
हाइड्रोजन एक स्वच्छ ईंधन है क्योंकि ये CO2 उत्पन्न नहीं करता बल्कि यह दहन होने पर जल उत्पन्न  करता  है अतः प्रदुषण नहीं फैलता है |

प्रश्न 12: ऐसे दो ऊर्जा स्रोतों के नाम लिखिए जिन्हे आप नवीकरणीय मानते है | अपने चयन के लिए तर्क दीजिए |
उत्तर-
(a) पवन ऊर्जा :

  1. पवनों से ऊर्जा उन्हीँ जगहों पर पाई जाती है जहाँ वर्षा के समय तेज गति से पवने चलती हो |
  2. टरबाइनो कि गति के लिए पवनो की न्यूनतम चाल 15 km/h से अधिक होनी ऊर्जा चाहिए |
  3. इसके उपयोग के लिए सचायक सेलों की भी सुविधा होनी चाहिए |

(b) जल विद्युत ऊर्जा :

  1. ये भी ऊर्जा के  नवीकरणीय  स्रोत है |
  2. जल विधुत जल से उत्पन्न होती है |
  3. इसकी लागत कुछ सीमा तक महगी है |

प्रश्न 13: ऐसे दो ऊर्जा स्रोतों के नाम लिखिए जिन्हें आप समाप्य मानते है | अपने चयन  के लिए तर्क दीजिए |
उत्तर –
कोयला एव पेट्रोलियम के वे स्रोत है जो समापन योग्य है | इनके भण्डार प्रक्रति में सीमित है एव एक ना एक दिन अवश्य समाप्त हो जायेगे | इन ईधन को निर्मित होने में करोड़ो वषों का समय लगा | अत : इन्हें पुन : निर्मित करना असम्भव है |

अभ्यास :

प्रश्न 1. गर्म जल प्राप्त करने के लिए हम सौर जल तापक का उपयोग किस दिन नहीं कर सकते-
(a) धुप वाले दिन
(b) बादलों वाले दिन
(c) गरम दिन
(d) पवनों (वायु) वाले दिन
उत्तर :
(b) बादलों वाले दिन |

प्रश्न 2. निम्नलिखित में से कौन जैवमात्रा ऊर्जा स्रोत का उदाहरण नहीं है?
(a) लकड़ी

(b) गोबर गैस
(c) नाभिकीय ऊर्जा
(d)  कोयला
उत्तर :
(c) नाभिकीय ऊर्जा |

प्रश्न 3. जितने ऊर्जा स्रोत हम उपयोग में लाते हैं उनमें सेअधिकाश सौर ऊर्जा को निरूपित करते हैं।
निम्नलिखित में से कौन-सा ऊर्जा स्रोत अंततः सौर ऊर्जा से व्युत्पन्न नहीं है?
(a) भूतापीय ऊर्जा

(b) पवन ऊर्जा
(c) नाभिकीय ऊर्जा
(d) जैवमात्रा
उत्तर :
(c) नाभिकीय ऊर्जा |

प्रश्न 4. ऊर्जा स्रोत के  रूप में जीवाश्मी ईधनों तथा सूर्य की तुलना कीजिए और उनमें अंतर लिखिए।

उत्तर :
जीवाश्मी ईधनों : 

  1. ये समापन योग्य है |
  2. ये  ऊर्जा के महगे स्रोत है |
  3. ये ग्रीन -हाउस को भी प्रभावित करते है |

 सूर्य :

  1. यह  समापन योग्य नही है |
  2. ये  ऊर्जा के सस्ते  स्रोत है |
  3. यह उपकरण स्वच्छ उर्जा के स्रोत है |

प्रश्न 5. जैवमात्रा तथा ऊर्जा स्रोत के रूप में जल वैद्युत की तुलना कीजिए और उनमें अंतर लिखिए।
उत्तर :
जैवमात्रा :

  1. ये ऊर्जा के नवीकरणीय  स्रोत है |
  2. इसकी लागत ज्यादा नही है |
  3. बायो गैस की उत्पति के करके है |

जल विधुत :

  1. ये भी ऊर्जा के  नवीकरणीय  स्रोत है |
  2. जल विधुत जल से उत्पन्न होती है |
  3. इसकी लागत कुछ सीमा तक महगी है |

प्रश्न 6. निम्नलिखित से ऊर्जा निष्कर्षित करने की सीमाएँ लिखिए?
(a) पवनें
(b)  तरंगें 
(c)
  ज्वार-भाटा
उत्तर :
(a) पवनें :

  1. पवनों से ऊर्जा उन्हीँ जगहों पर पाई जाती है जहाँ वर्षा के समय तेज गति से पवने चलती हो |
  2. टरबाइनो कि गति के लिए पवनो की न्यूनतम चाल 15km/h से अधिक होनी ऊर्जा चाहिए |
  3. इसके उपयोग के लिए सचायक सेलों की भी सुविधा होनी चाहिए |

(b)  तरंगें :

  1. तरगों से उत्पन्न ऊर्जा को प्राप्त करने के लिए तरगों का प्रबल होना आवश्यक है
  2. इसका उपयोग करते समय एक – समान विधुत शक्ति प्राप्त नही की जा सकतीं है |
  3. इसके किए आवश्यक उपकरण महगे है |

(c)  ज्वार-भाटा :

  1. इस तरह की ऊर्जा प्राप्ति के लिए बाध का निमार्ण करना आवश्यक है |
  2. ज्वार-भाटा से उत्पन्न ऊर्जा  का प्रयोग सीमित है |
  3. इसके निमार्ण के लिए जमीन की लागत आधिक है |

प्रश्न 7. ऊर्जा स्रोतों का वर्गीकरण निम्नलिखित वर्गों में किस आधार पर करेंगे ?
(a) नवीकरणीय तथा अनवीकरणीय
(b)  समाप्य तथा अक्षय
क्या (a) तथा (b)के विकल्प समान हैं?
उत्तर :
(a)  नवीकरणीय ऊर्जा वे ऊर्जा होती है जिनका उपयोग हम लंबे समय तक आसीमित रूप से कर सकते है | इसका भंडार अक्षय रहता है | जैसे : सौर ऊर्जा और पवन ऊर्जा |
अनवीकरणीय ऊर्जा वे ऊर्जा होती है जिनका उपयोग यदि हम एक बार कर लेते है तो उनकी पुनः प्राप्ति नहीं की जा सकती है और इनका भंडार समाप्य रहता है | जैसे : जीवाश्मी ईंधन ( कोयला , पैट्रॉल , प्राकृतिक गैस )|
(b)  (a) और (b) के विकल्प सामान है क्योंकि  नवीकरणीय ऊर्जा अक्षय है परन्तु  अनवीकरणीय ऊर्जा समाप्य है |

प्रश्न 8. ऊर्जा के आदर्श स्रोत में क्या गुण होते हैं?
उत्तर : 
ऊर्जा के आदर्श स्रोत के गुण :-

  1. सरलता से प्राप्त हो सके |
  2. सस्ता भी होना चहिए |
  3. प्रति एकाक आयतन एव द्रव्यमान अधिक कार्य करे |

प्रश्न 9. सौर कुकर का उपयोग करने के क्या लाभ तथा हानियाँ हैं? क्या ऐसे भी क्षेत्र हैं जहाँ सौर कुकरों की सीमित उपयोगिता है?
उत्तर :
सौर कुकर का उपयोग करने के लाभ : 

  1. यह उपकरण सस्ता है |
  2. इसका उपयोग करने से प्रदुषण नही होती है |
  3. इनमे कोई गतिमान पुर्जा नही होता है |

सौर कुकर की हानियाँ :

  1. ये उपकरण केवल सूर्य के प्रकाश में ही इसका उपयोग किया जाता है |
  2. यह भोजन पकाने में sय अधिक लेता है |

हां , ऐसे अनेक  क्षेत्र है  सौर -सेल महगे होते है |  जहाँ सौर कुकरों की सीमित उपयोगिता है उदाहरण : अधिक बरसात वाले क्षेत्र , पहाड़ी  क्षेत्र आदि |

प्रश्न 10. ऊर्जा की बढ़ती माँग के पर्यावरणीय परिणाम क्या हैं? ऊर्जा की खपत को कम करने के  उपाय लिखिए।
उत्तर :
आज का युग मशीनी युग हो गया है आज की जनसंख्या जीवाश्म ईधन पर्यावरण को प्रदुषण करने के लिए उपयोग करती है | सौर-सेल को उपयोग करने से  पर्यावरणीय सभव है | अनेक प्रकार कि बीमारियाँ बढ़ रही है |
ऊर्जा की खपत को कम करने के  उपाय निम्न है :-

  1. कोयला , जीवाश्म ईधन का कम से कम उपयोग |
  2. मशीनों पर निर्भर  न रहकर स्वय पर  निर्भर  रहना |

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 8 Introduction to Trigonometry (Hindi Medium)

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Chapter 8. त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्नावली 8.1 (गणित) 

Ex 8.1 Class 10 गणित Q1.  DABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है | निम्न लिखित का मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin A, cos A

(ii) sin C, cos C

Solution:

समकोण त्रिभुज DABC में,

AB = 24 cm, BC = 7 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

NCERT Solutions For Class 10 Maths 8.1 1

AC2 = AB2 + BC2

= 242 + 72

= 576 + 49

= 625

AC = √625 = 25 cm

अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर

(i) sin A, cos A

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Ex 8.1 Class 10 गणित Q2.  आकृति 8.13 में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए |   

Solution:

PQ = 12 cm, PR = 13 cm

QR = ?

समकोण त्रिभुज DPQR  में,

PQ = 12 cm, PR = 13 cm

पाइथागोरस प्रमेय से,

NCERT Maths Solutions For Class 10 8.1 3

PR2 = PQ2 + QR2

132 = 122 + QR2

169 = 144 + QR2

169 – 144 = QR2

QR2 = 25

QR = √25 = 5 cm

अब तत्रिकोणमितिय अनुपात लेने पर

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प्रश्नावली 8.2

Ex 8.2 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित के मान निकालिए:

(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

हल: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

सभी त्रिकोंणमितीय अनुपातों का मान रखने पर

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 (ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°

हल: 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°

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Ex 8.2 Class 10 गणित Q2. सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए : 

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(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

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(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :

(A) 0°     (B) 30°    (C) 45°     (D) 60°

हल: sin 2A = 2 sin A

⇒ 2 sin A cos A = 2 sin A [  sin 2x = 2 sin x cos x]

⇒ cos A = 2 sin A – 2 sin A

⇒ cos A = 0

∴        A = 0o

विकल्प (A) सत्य है |

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A का मान समीकरण (iii) में रखने पर

A + B = 60°

⇒ 45° + B = 60°

⇒ B = 60° – 45°

⇒ B = 15°

A = 45°, B = 15°

Ex 8.2 Class 10 गणित Q4. बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं | कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए |

(i) sin (A + B) = sin A + sin B.

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है |

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है |

(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है |

उत्तर:

(i) दिया गया कथन असत्य है |

(ii) दिया गया कथन सत्य है |

(iii) दिया गया कथन असत्य है |

(iv) दिया गया कथन असत्य है |

(v) दिया गया कथन सत्य है |

प्रश्नावली 8.3

Ex 8.3 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित का मान निकालिए:

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(iii) cos 48°  sin 42°

हल: cos 48° – sin 42°

⇒  sin(90° – 48°) – sin 42°

⇒  sin 42° – sin 42° = 0

(iv) cosec 31° – sec 59°

हल: cosec 31° – sec 59°

⇒  sec (90° – 31°) – sec 59°  [ cosec q = sec (90° – q) ]

⇒  sec 59° – sec 59° = 0

Ex 8.3 Class 10 गणित Q2.  दिखाइए कि

(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

हल: (i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

LHS = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°

= cot (90° – 48°) tan (90° – 23°) tan 42° tan 67°

= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67°

= (cot 42° × tan 42°) (cot 67° × tan 67°)

= 1 × 1   [ cot A × tan A = 1 ]

= 1

LHS = RHS

(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

हल: (ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

LHS = cos 38° cos 52°  sin 38° sin 52°

= sin (90° – 38°) cos 52° – cos (90° – 38°) sin 52°

= sin 52° cos 52° – cos 52° sin 52°

= sin 52° (cos 52° – cos 52°)

= sin 52° × 0

= 0

LHS = RHS

Ex 8.3 Class 10 गणित Q3.  यदि tan 2A = cot(A  18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |

हल: tan 2A = cot(A – 18°),

⇒ cot (90° – 2A) = cot(A – 18°)

दोनों पक्षों में तुलना करने पर

⇒     90° – 2A = A – 18°

⇒   90° + 18° = A + 2A

⇒ 3A = 108°

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Ex 8.3 Class 10 गणित Q4.  यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°

हल: tan A = cot B    दिया है |

⇒  tan A = tan (90° – B)  तुलना करने पर

⇒      A = 90° – B

⇒  A + B = 90°  Proved

Ex 8.3 Class 10 गणित Q5. यदि sec 4A = cosec(A  20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए |

हल: sec 4A = cosec(A – 20°)

⇒ cosec (90° – 4A) = cosec(A – 20°)  [ sec q = (90°– q) ]

तुलना करने पर

⇒ 90° – 4A = A – 20°

⇒ 90° + 20° = A + 4A

⇒   5A = 110°

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Ex 8.3 Class 10 गणित Q7. sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितिय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए |

हल : sin 67° + cos 75°

⇒   cos (90° – 67°) + sin (90° – 75°)

⇒   cos 23° + sin 15°

NCERT SOLUTION 

अभ्यास 8.4

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Ex 8.4 Class 10 गणित Q4.  सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:

(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A बराबर है:

(A)  1              (B)  9             (C)  8       (D)  0

Correct Answer: (B) 9

Solution:

9 sec2 A – 9 tan2 A = 9(sec2 A – tan2 A)

= 9 × 1 = 9

(ii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर हैं :

(A)     sec A (B)    sin A (C)    cosec A      (D)    cosA

Correct Answer: (D) cosA

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Ex 8.4 Class 10 गणित Q5.  निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है :

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अत: LHS = RHS proved

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NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 13 Magnetic Effects of Electric Current (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 13 Magnetic Effects of Electric Current (Hindi Medium)

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Chapter 13. विद्युत धारा का चुम्बकीय प्रभाव

अध्याय-समीक्षा

  • प्राकृतिक चुंबक को मैग्नेटाईट के नाम से जाना जाता है |
  • दिकसूचक सुई का उतरोन्मुखी सिरा ठीक उतर की ओर संकेत न करके लगभग उतर की ओर संकेत करता है। दिकसूचक पठन में होने वाले इस विचलन को चुम्बकीय दिक्पात कहते है ।
  • बेलन की आकृति में लपेटे तार की अनेक वृत्ताकार फेरों को परिनलिका कहते है ।
  • 19वीं शताब्दी के अग्रणी वैज्ञानिकों में से एक, हैंस क्रिश्चियन ऑर्स्टेड ने वैद्युतचुंबकत्व को समझने में एक निर्णायक भूमिका निभाई। सन् 1820 ई. में उन्होंने अकस्मात यह खोजा कि किसी धातु के तार में विद्युत धारा प्रवाहित करने पर पास में रखी दिक्कसूची में विक्षेप उत्पन्न हुआ।
  • अपने प्रेक्षणों के आधार पर ऑर्स्टेड ने यह प्रमाणित किया कि विद्युत तथा चुंबकत्व परस्पर संबंधित परिघटनाएँ हैं। उनके अनुसंधन ने आगे जाकर नयी-नयी प्रौद्योगिकियों जैसे-रेडियो, टेलीविजन, तंतु प्रकाशिकी आदि का सृजन किया। उन्हीं के सम्मान में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का मात्रक ऑर्स्टेड रखा गया है।
  • दिक्सूची एक छोटा चुंबक होता है। इसका एक सिरा जो उत्तर की ओर संकेत करता है उत्तर ध्रुव कहलाता है, तथा दूसरा सिरा जो दक्षिण की ओर संकेत करता है दक्षिण ध्रुव कहलाता है।
  • किसी चुंबक के चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र होता है जिसमें उस चुंबक के बल का संसूचन किया जा सकता है।
  • किसी चुंबकीय क्षेत्र के निरूपण के लिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं का उपयोग किया जाता है। चुंबकीय क्षेत्र रेखा वह पथ है जिसके अनुदिश कोई परिकल्पित स्वतंत्र उत्तर ध्रुव गमन करने की प्रवृत्ति रखता है।
  • चुंबकीय क्षेत्र के किसी बिंदु पर क्षेत्र की दिशा उस बिंदु पर रखे उत्तर ध्रुव की गति की दिशा द्वारा दर्शायी जाती है। जहाँ चुंबकीय क्षेत्र प्रबल होता है, वहाँ क्षेत्र रेखाएँ एक-दूसरे के निकट दिखाई जाती हैं।
  • किसी विद्युत धरावाही धातु के तार से एक चुंबकीय क्षेत्र संबद्ध होता है। तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ अनेक संकेंद्री वृतों के रूप में होता है | दक्षिण-हस्त अंगुष्ठ नियम द्वारा ज्ञात की जाती है।
  • विद्युत चुंबक में नर्म लौह-क्रोड होता है जिसके चारों ओर विद्युतरोधी ताँबे के तार की कुंडली लिपटी रहती है।
  • कोई विद्युत धरावाही चालक चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर बल का अनुभव करता है। यदि चुंबकीय क्षेत्र तथा विद्युत धारा की दिशाएँ परस्पर एक-दूसरे के लंबवत हैं तब चालक पर आरोपित बल की दिशा इन दोनों दिशाओं के लंबवत होती है, जिसे फ्रलेमिंग के वामहस्त नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है।
  • विद्युत मोटर एक ऐसी युक्ति है जो विद्युत ऊर्जा को यांत्रिक ऊर्जा में रूपांतरित करती है।
  • वैद्युतचुंबकीय प्रेरण एक ऐसी परिघटना है जिसमें किसी कुंडली में, जो किसी ऐसे क्षेत्र में स्थित है जहाँ समय के साथ चुंबकीय क्षेत्र परिवर्तित होता है, एक प्रेरित विद्युत धारा उत्पन्न होती है।
  • चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन किसी चुंबक तथा उसके पास स्थित किसी कुंडली के बीच आपेक्षित गति के कारण हो सकता है। यदि कुंडली किसी विद्युत धरावाही चालक के निकट रखी है तब कुंडली से संबद्ध चुंबकीय क्षेत्र या तो चालक से प्रवाहित विद्युत धारा में अंतर के कारण हो सकता है अथवा चालक तथा कुंडली के बीच आपेक्षित गति के कारण हो सकता है।
  • प्रेरित विद्युत धारा की दिशा फ्रलेमिंग के दक्षिण-हस्त नियम द्वारा प्राप्त की जाती है।
  • विद्युत जनित्र यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में रूपांतरित करता है। यह वैद्युतचुंबकीय प्रेरण के आधार पर कार्य करता है।
  • हम अपने घरों में प्रत्यावर्ती विद्युत शक्ति 220 V पर प्राप्त करते हैं जिसकी आवृत्ति 50 Htz है। आपूर्ति का एक तार लाल विद्युतरोधन युक्त होता है जिसे विद्युन्मय तार कहते हैं। दूसरे पर काला विद्युतरोधन होता है जिसे उदासीन तार कहते हैं। इन दोनों तारों के बीच 220 V का विभवांतर होता है। तीसरा तार भूसंपर्क तार होता है जिस पर हरा विद्युतरोधन होता है। यह तार भूमि में गहराई पर दबी धातु की प्लेट से संयोजित होता है।
  • भूसंपर्कण एक सुरक्षा उपाय है जो यह सुनिश्चित करता है कि साधित्र धात्विक आवरण में यदि विद्युत धारा का कोई भी क्षरण होता है तो उस साधित्र का उपयोग करने वाले व्यक्ति को गंभीर झटका न लगे।
  • विद्युत परिपथों की लघुपथन अथवा अतिभारण के कारण होने वाली हानि से सुरक्षा की सबसे महत्वपूर्ण युक्ति फ्यूज है।

पाठगत-प्रश्न:

पेज – 250 :

प्रश्न 1. चुंबक के निकट लाने पर दिक्सूचक की सुई विक्षेपित क्यों हो जाती है ?
उत्तर:
चुम्बक के निकट लाने पर दिक्सूचक की सुई विक्षेपित इसलिए हो जाती है क्योंकि दिक्सूचक की सुई की नोक चुम्बक के ध्रुव की भांति कार्य करता है | जब सुई को दंड चुंबक के पास लाया जाता है जो ये सुई को आकर्षित अथवा प्रतिकर्षित करता है जिससे विक्षेपित होता है |

पेज – 255 :

प्रश्न 1. किसी छड़ चुंबक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ खींचिए।
उत्तर:
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प्रश्न 2. चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के गुणों की सूची बनाइए।
उत्तर:
चुम्बकीय क्षेत्र रेखाओं के निम्नलिखित गुण हैं –

  1. चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ उत्तरी ध्रुव से निकलकर दक्षिणी ध्रुव में समाहित हो जाती है |
  2. चुम्बक के अंदर, चुम्बकीय क्षेत्र की दिशा इसके दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर होता है |
  3. चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ बंद वक्र होती हैं |
  4. जहाँ चुम्बकीय क्षेत्र रेखाए घनी होती हैं वहाँ चुम्बकीय क्षेत्र मजबूत होता है |
  5. दो चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ कभी एक दुसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं |

प्रश्न 3. दो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद क्यों नहीं करतीं?
उत्तर:
दो चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ एक – दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती  है क्योंकि   प्रतिच्छेद बिन्दु पर दिक् सूची रखने पर दो दिशाओं की ओर संकेत करेगा जो संभव नहीं हैं ।

पेज –  256 – 257 :

प्रश्न 1. मेज के तल में पड़े तार के वृत्ताकार पाश पर विचार कीजिए। मान लीजिए इस पाश में दक्षिणावर्त विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। दक्षिण-हस्त अंगुष्ठ नियम को लागू करके पाश के भीतर तथा बाहर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दी गई आकृति एक वृताकार पाश का है जिसकी चुंबकीय क्षेत्र को दर्शाया गया है | दक्षिण अंगुष्ठ नियम लागु करने पर हम पाते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ पाश के अंदर मेज के तल की लंबवत बाहर की ओर निर्देशित होती है जबकि पाश के बहार यह अंदर की ओर निर्देशित होती है |
"NCERT

प्रश्न 2. किसी दिए गए क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है। इसे निरूपित करने के लिए आरेख खींचिए।
उत्तर:
जब किसी क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र एकसमान हो तो रेखायें एक-दुसरे के समान्तर, समान दुरी पर और समान लंबाई की होती हैं |
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प्रश्न 3. सही विकल्प चुनिएः
किसी विद्युत धरावाही सीधी लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र-

(a) शून्य होता है।
(b) इसके सिरे की ओर जाने पर घटता है।
(c) इसके सिरे की ओर जाने पर बढ़ता है।
(d) सभी बिंदुओं पर समान होता है।
उत्तर:
(d) सभी बिन्दुओं पर सामान रहता है |
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पेज – 259 : 

प्रश्न 1. किसी प्रोटॉन का निम्नलिखित में से कौन-सा गुण किसी चुबंकीय क्षेत्र में मुक्त गति करते समय परिवर्तित हो जाता है? (यहाँ एक से अधिक सही उत्तर हो सकते हैं।)
(a) द्रव्यमान,
(b) चाल,
(c) वेग
(d) संवेग
उत्तर:
(c) वेग और (d) संवेग

प्रश्न 2. क्रियाकलाप 13.7 में हमारे विचार से छड़ AB का विस्थापन किस प्रकार प्रभावित होगा यदि
(i) छड़ AB में प्रवाहित विद्युत धारा में वृद्धि हो जाए
(ii) अधिक प्रबल नाल चुंबक प्रयोग किया जाए, और
(iii) छड़ AB की लंबाई में वृद्धि कर दी जाए?
उत्तर:
(i) यदि छड AB में प्रवाहित विद्युत धारा में वृद्धि हो जाए तो छड के विस्थापन में भी वृद्धि होती है |
(ii) यदि अधिक प्रबल नाल चुंबक प्रयोग किया जाए तो छड AB का विस्थापन भी बढेगा |
(iii) यदि छड़ AB की लंबाई में वृद्धि कर दी जाए तो इस पर लगने वाला बल भी बढेगा क्योंकि विस्थापन बढ़ता है |

प्रश्न 3. पश्चिम की ओर प्रक्षेपित कोई धनावेशित कण (अल्फ़ा-कण) किसी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा उत्तर की ओर विक्षेपित हो जाता है। चुंबकीय क्षेत्र की दिशा क्या है?
(a) दक्षिण की ओर
(b) पूर्व की ओर
(c) अधोमुखी
(d) उपरिमुखी
उत्तर:
(d) उपरिमुखी

पेज – 261 : 

प्रश्न 1. फ्लेमिंग का वामहस्त नियम लिखिए।
उत्तर:
फ्लेमिंग का वामहस्त नियम :
इस नियम के अनुसार, अपने बाएँ हाथ की तर्जनी, मध्यमा तथा अँगूठे को इस प्रकार फैलाइए कि ये तीनों एक-दूसरे के परस्पर लंबवत हों |यदि तर्जनी चुंबकीय क्षेत्रा की दिशा और मध्यमा चालक में प्रवाहित विद्युत धारा की दिशा की ओर संकेत करती है तो अँगूठा चालक की गति की दिशा अथवा चालक पर आरोपित बल की दिशा की ओर संकेत करेगा। इसी नियम को फ्लेमिंग का वामहस्त नियम कहते है |
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प्रश्न 2. विद्युत मोटर का क्या सिद्धांत है?
उत्तर:
विद्युत मोटर का सिद्धांत :
विद्युत मोटर का कार्य करने का सिद्धांत विद्युत धारा के चुंबकीय प्रभाव पर आधारित है | चुंबकीय क्षेत्र में लौह-क्रोड़ पर लिपटी कुंडली से जब विद्युत धारा प्रवाहित की जाती है तो वह एक बल का अनुभव करती है | जिससे मोटर का आर्मेचर चुंबकीय क्षेत्र में घूमने लगता है | कुंडली के घूमने की दिशा फ्लेमिंग के वामहस्त नियम के अनुसार होता है | यही विद्युत मोटर का सिद्धांत हैं |

प्रश्न 3. विद्युत मोटर में विभक्त वलय की क्या भूमिका है?
उत्तर:
विद्युत मोटर में विभक्त वलय दिक्-परिवर्तक का कार्य करता है | दिक्-परिवर्तक एक युक्ति है जो परिपथ में विद्युत-धारा के प्रभाव को उत्क्रमित कर देता है |

पेज – 264 : 

प्रश्न 1. किसी कुंडली में विद्युत धारा प्रेरित करने के विभिन्न ढंग स्पष्ट कीजिए |
उत्तर:

  1. कुन्डली को किसी चुम्बकीय क्षेत्र में गति कराकर ।
  2. कुन्डली के चारों ओर के चुम्बकीय क्षेत्र में परिवर्तन कराकर ।

पेज – 265 – 266 :

प्रश्न 1. विद्युत जनित्र का सिद्धांत लिखिए |
उत्तर:
विद्युत जनित्र का सिद्धांत विद्युत चुंबकीय प्रेरण (इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंडक्शन ) पर आधारित है | जब एक आयताकार कुंडली को एक सामान चुंबकीय क्षेत्र में घुमाया जाता है तो यह कुंडली के सिरों पर प्रेरित विद्युत उत्पन्न करता है | यही विद्युत जनित्र का सिद्धांत है |

प्रश्न 2. दिष्ट धारा के कुछ स्रोत के नाम लिखिए |
उत्तर:
सेल, बैट्री और D.C जनित्र या डायनेमो आदि दिष्ट धारा के स्रोत हैं |

प्रश्न 3. प्रत्यावर्ती विद्युत धारा उत्पन्न करने वाले स्रोतों का नाम लिखिए |
उत्तर:
A.C जनित्र और इनवर्टर आदि जो प्रत्यावर्ती विद्युत धारा उत्पन्न करते हैं |

प्रश्न 4. सही विकल्प का चयन कीजिए –
ताँबे के तार की एक आयताकार कुंडली किसी चुंबकीय क्षेत्र में घूर्णी गति कर रही है। इस कुंडली प्रेरित विद्युत धारा की दिशा में कितने परिभ्रमण के पश्चात परिवर्तन होता है?

(a) दो
(b) एक
(c) आधा
(d) चौथाई
उत्तर:
(c) आधा

पेज – 267 

प्रश्न 1. विद्युत परिपथों तथा साधित्रों में सामान्यतः उपयोग होने वाले दो सुरक्षा उपायों के नाम लिखिए।
उत्तर:
विद्युत परिपथों तथा साधित्रों में सामान्यतः उपयोग होने वाले दो सुरक्षा उपायों के नाम हैं –

  1. फ्यूज का उपयोग |
  2. भूमि संपर्क तार का उपयोग |

प्रश्न 2. 2 kW शक्ति अनुमतांक का एक विद्युत तंदूर किसी घरेलू विद्युत परिपथ (220 V) में प्रचालित किया जाता है जिसका विद्युत धारा अनुमतांक 5 । है, इससे आप किस परिणाम की अपेक्षा करते हैं? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
विद्युत तंदूर की शक्ति (P) = 2 kW = 2000 W
अत: विद्युत तंदूर द्वारा ली गई धारा (I) = P/V
= 2000/220 = 9 A (लगभग)
जबकि विद्युत परिपथ का विद्युत धारा अनुमतांक 5 A है और तंदूर 9 A की दर से धारा लेता है, इसलिए यह परिपथ अतिउष्मता अथवा अतिभारण के कारण टूट जायेगा |

प्रश्न 3. घरेलू विद्युत परिपथों में अतिभारण से बचाव के लिए क्या सावधानी बरतनी चाहिए?
उत्तर: घरेलू विद्युत परिपथों में अतिभारण से बचाव के लिए निम्नलिखित सावधानियां बरतनी चाहिए |

  1. एक अकेले शोकेट से एक से अधिक उपकरण नहीं जोड़ने चाहिए |
  2. हमेशा परिपथ में विद्युत उपकरण पार्श्व क्रम में ही संयोजित करने चाहिए |
  3. परिपथ में उपयुक्त फ्यूज का उपयोग करना चाहिए |
  4. अतिभारण से बचाने के लिए एक ही समय में अधिक विद्युत उपकरणों का उपयोग नहीं करना चाहिए |

अभ्यास

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से कौन किसी लंबे विद्युत धरावाही तार के निकट चुंबकीय क्षेत्र का सही वर्णन करता है?
(a) चुंबकीय क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ तार के लंबवत होती हैं।
(b) चुंबकीय क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ तार के समांतर होती हैं।
(c) चुंबकीय क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ अरीय होती हैं जिनका उदभव तार से होता है।
(d) चुंबकीय क्षेत्र की संकेंद्री क्षेत्र रेखाओं का केंद्र तार होता है।
उत्तर:
(d) चुंबकीय क्षेत्र की संकेंद्री क्षेत्र रेखाओं का केंद्र तार होता है।

प्रश्न 2. वैद्युतचुंबकीय प्रेरण की परिघटना-
(a) किसी वस्तु को आवेशित करने की प्रक्रिया है।
(b) किसी कुंडली में विद्युत धारा प्रवाहित होने के कारण चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने की प्रक्रिया है।
(c) कुंडली तथा चुंबक के बीच आपेक्षिक गति के कारण कुंडली प्रेरित विद्युत धारा उत्पन्न करना है।
(d) किसी विद्युत मोटर की कुंडली को घूर्णन कराने की प्रक्रिया है।
उत्तर:
(c) कुंडली तथा चुंबक के बीच आपेक्षिक गति के कारण कुंडली प्रेरित विद्युत धारा उत्पन्न करना है।

प्रश्न 3. विद्युत धारा उत्पन्न करने की युक्ति को कहते हैंμ
(a) जनित्र
(b) गैल्वेनोमीटर
(c) ऐमीटर
(d) मोटर
उत्तर:
(a) जनित्र

प्रश्न 4. किसी ac जनित्रा तथा dc जनित्र में एक मूलभूत अंतर यह है कि-
(a) ac जनित्र में विद्युत चुंबक होता है जबकि dc मोटर में स्थायी चुंबक होता है।
(b) dc जनित्र उच्च वोल्टता का जनन करता है।
(c) ac जनित्र उच्च वोल्टता का जनन करता है।
(d) ac जनित्र में सर्पी वलय होते हैं जबकि कब जनित्र में दिक्परिवर्तक होता है।
उत्तर:
(d) ac जनित्र में सर्पी वलय होते हैं जबकि कब जनित्र में दिक्परिवर्तक होता है।

प्रश्न 5. लघुपथन के समय परिपथ में विद्युत धारा का मान-
(a) बहुत कम हो जाता है।
(b) परिवर्तित नहीं होता।
(c) बहुत अधिक बढ़ जाता है।
(d) निरंतर परिवर्तित होता है।
उत्तर:
(c) बहुत अधिक बढ़ जाता है।

प्रश्न 6. निम्नलिखित प्रकथनों में कौन-सा सही है तथा कौन-सा गलत है? इसे प्रकथन के सामने अंकित कीजिए-
(a) विद्युत मोटर यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में रूपांतरित करता है।
(b) विद्युत जनित्र वैद्युतचुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है।
(c) किसी लंबी वृत्ताकर विद्युत धरावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समांतर सीधी क्षेत्र रेखाएँ होता है।
(d) हरे विद्युतरोधन वाला तार प्रायः विद्युन्मय तार होता है।
उत्तर:
(a) विद्युत मोटर यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में रूपांतरित करता है। (गलत)
(b) विद्युत जनित्र वैद्युतचुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है। (सही)
(c) किसी लंबी वृत्ताकर विद्युत धरावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र समांतर सीधी क्षेत्र रेखाएँ होता है। (सही)
(d) हरे विद्युतरोधन वाला तार प्रायः विद्युन्मय तार होता है। (गलत)

प्रश्न 7. चुंबकीय क्षेत्र के तीन स्रोतों की सूची बनाइए।

प्रश्न 8. परिनालिका चुंबक की भाँति कैसे व्यवहार करती है? क्या आप किसी छड़ चुंबक की सहायता से किसी विद्युत धरावाही परिनालिका के उत्तर ध्रुव तथा दक्षिण ध्रुव का निर्धरण कर सकते हैं?

प्रश्न 9. किसी चुंबकीय क्षेत्र में स्थित विद्युत धरावाही चालक पर आरोपित बल कब अधिकतम होता है?

प्रश्न 10. मान लीजिए आप किसी चैंबर में अपनी पीठ को किसी एक दीवार से लगाकर बैठे हैं। कोई इलेक्ट्रॉन पुंज आपके पीछे की दीवार से सामने वाली दीवार की ओर क्षैतिजतः गमन करते हुए किसी प्रबल चुंबकीय क्षेत्रा द्वारा आपके दाईं ओर विक्षेपित हो जाता है। चुंबकीय क्षेत्रा की दिशा क्या है?

प्रश्न 11. विद्युत मोटर का नामांकित आरेख खींचिए। इसका सि(ांत तथा कार्यविध् िस्पष्ट कीजिए। विद्युत मोटर में विभक्त वलय का क्या महत्त्व है?

प्रश्न 12. ऐसी कुछ युक्तियों के नाम लिखिए जिनमें विद्युत मोटर उपयोग किए जाते हैं।

प्रश्न 13. कोई विद्युतरोध्ी ताँबे के तार की वुंफडली किसी गैल्वेनोमीटर से संयोजित है। क्या होगा यदि कोई छड़ चुंबक-
;पद्ध वुंफडली में ध्केला जाता है।
;पपद्ध वुंफडली के भीतर से बाहर खींचा जाता है।
;पपपद्ध वुंफडली के भीतर स्थिर रखा जाता है।

प्रश्न 14. दो वृत्ताकार वुंफडली । तथा ठ एक-दूसरे के निकट स्थित हैं। यदि वुंफडली । में विद्युत धरा में कोई
परिवर्तन करें तो क्या वुंफडली ठ में कोई विद्युत धरा प्रेरित होगी? कारण लिखिए।

प्रश्न 15. निम्नलिखित की दिशा को निर्धरित करने वाला नियम लिखिएμ
;पद्ध किसी विद्युत धरावाही सीध्े चालक के चारांे ओर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रा,
;पपद्ध किसी चुंबकीय क्षेत्रा में, क्षेत्रा के लंबवत स्थित, विद्युत धारावाही सीध्े चालक पर आरोपित बल,
तथा
;पपपद्ध किसी चुंबकीय क्षेत्रा में किसी वुंफडली के घूर्णन करने पर उस वुंफडली में उत्पन्न प्रेरित
विद्युत धारा।

प्रश्न 16. नामांकित आरेख खींचकर किसी विद्युत जनित्रा का मूल सि(ांत तथा कार्यविध् िस्पष्ट कीजिए। इसमें
ब्रुशों का क्या कार्य है?

प्रश्न 17. किसी विद्युत परिपथ में लघुपथन कब होता है?

प्रश्न 18. भूसंपर्क तार का क्या कार्य है? धतु के आवरण वाले विद्युत साध्त्रिों को भूसंपर्कित करना क्यों
आवश्यक है?

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium)

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Chapter 1. वास्तविक संख्याएँ

अभ्यास 1.1

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये | 

 (i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255

हल:  

(1)    135 और 225

a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

225 = 135 ×1 + 90

135 = 90 ×1 + 45

90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 45

हल:

(ii)    196 और 38220

a = 38220, b = 196  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196      {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

हल:

(iii)   867 और 255

a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196  {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |

हल:

दर्शाना है: a = 6q + 1, 6q+3 या  6q+5

माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है;  जहाँ b = 6 होगा,

जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;

जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |

शेषफल होगा 1 या 3 या 5

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;

a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है | दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है | उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?

हल:

स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)

a = 616, b = 32  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

616 = 32 ×19 + 8  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

32 = 8 × 4 + 0

b = 8 {b का मान HCF होता है}

HCF = 8

इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |

हल :

दर्शाना है : a2 = 3m or 3m + 1

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3

तब a = 3q + r  कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0

इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2

अब हम पाते है;

⇒ a2 = (3q + 0)2 or (3q + 1)2 or (3q +2)2

⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 4

⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 3 + 1

⇒ a2 = 3(3q2) or 3(3q2 + 2q) + 1 or 3(3q2 + 4q + 1) + 1

यदि m = (3q2) or (3q2 + 2q)  or (3q2 + 4q + 1) हो तो

हम पाते है कि ;

a2 = 3m or 3m + 1 or 3m + 1

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

हल:

माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;

युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;

a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9

जब r = 0 हो;

a = 9q + 0 = 9q

a3  = (9q)3 = 9(81q3) या 9m जहाँ m = 81q3

जब r = 1 हो

a = 9q + 1

a3 = (9q + 1)3 = 9(81q3 + 27q2 + 3q) + 1

= 9m + 1  जहाँ m = 81q3 + 27q2 + 3q

जब r = 2 हो तो

a = 9q + 2

a3  = (9q + 2)3 = 9(81q3 + 54q2 + 12q) + 8

= 9m + 2  जहाँ m = 81q3 + 54q2 + 12q

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

प्रश्नावली 1.2

Ex 1.2 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140   

हल:

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140 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 5 × 7

(ii) 156

हल:

NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium PDF 1
156 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 3 × 13

(iii) 3825

हल:

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3825 का अभाज्य गुणनखंड
= 32 × 52 × 17

(iv) 5005

हल:

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5005 का अभाज्य गुणनखंड
= 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

हल:

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7429 का अभाज्य गुणनखंड
= 17 x 19 x 23

Ex 1.2 Class 10 गणित Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है| 

(i) 26 and 91

हल:

26 = 2 × 13

91 = 7 × 13

सार्व गुणनखंड = 13

∴ HCF = 13

LCM = 2 × 7 × 13 = 182

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

26 × 91 = 13 × 182

2366 =  2366

इति सिद्धम |

(ii) 510 and 92

हल:

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 = 2 × 2 × 23

सार्व गुणनखंड = 2

∴ HCF = 2

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 =  23460

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

510 × 92 = 2 × 23460

46920 =  46920

इति सिद्धम |

(iii) 336 and 54

हल:

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

54 = 2 × 3 × 3 × 3

सार्व गुणनखंड = 2 × 3

∴ HCF = 6

LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 =  3024

जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

336 × 54 = 6 × 3024

18144 =  18144

इति सिद्धम |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |

(i) 12, 15 and 21

हल:

12 = 2 × 2 × 3

15 = 5 × 3

21 = 7 × 3

सार्व गुणनखंड = 3

HCF = 3

​LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 and 29

हल:

17 = 1 × 17

23 = 1 × 23

29 = 1 × 29

HCF = 1

LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 and 25

हल:

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

25 = 5 × 5

यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है |

∴ HCF = 1

LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

= 8 × 9 × 25

= 1800

Ex 1.2 Class 10 गणित Q4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए | 

हल:

HCF (306, 657) = 9

LCM × HCF = ​N1 × N2

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LCM = 22338

Ex 1.2 Class 10 गणित Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है | 

हल:

6n का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3 )n

जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5 )n के रूप का होता है |

अत:, 6n शून्य पर समाप्त नहीं होगी |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?

हल :

माना A = 7 × 11 × 13 + 13

= 13 (7 × 11 + 1)

= 13 (77 + 1)

= 13 × 78

अत: यह एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

इसीप्रकार,

माना B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)​

= 5 × (1008 + 1)

= 5  ×  1009

अत: यह भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: 

एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |

रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |

वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे |

अत:

18 = 2 × 3 × 3

12 = 2 × 2 × 3

HCF = 2 × 3 = 6

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= 36 मिनट |

प्रश्नावली 1.3 

Ex 1.3 Class 10 गणित Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है |

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | 

इसलिए,

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 10
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यहाँ 5 aको विभाजित करता है अत: 5 a को भी विभाजित करेगा | ….(1)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: a = 5c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुनाखंड है |]

5b2 = a2 में a = 5c रखने पर

⇒          5b2 = (5c)2

⇒          5b2 = 25c2

⇒            b2 = 5c2

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 11

यहाँ 5 bको विभाजित करता है अत: 5 b को भी विभाजित करेगा | ….(2)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |

Ex 1.3 Class 10 गणित Q2.  सिद्ध कीजिए  कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | 

इसलिए,

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 12

और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |

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चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है |

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 14

इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि √5 परिमेय संख्या है |

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

अत: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

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यहाँ 2 bको विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा | ….(1)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: b = 2c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है | ]

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यहाँ 2 aको विभाजित करता है अत: 2 a को भी विभाजित करेगा | ….(2)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

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प्रश्नावली 1.4 

Ex 1.4 Class 10 गणित Q1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :

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हल :

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हर का अभाज्य गुणनखंड 55 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 23 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 5 × 7 × 13 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है अत: यह एक असांत दशमलव प्रसार है |

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Real Numbers
हर का अभाज्य गुणनखंड 26 × 52 है और यह 2× 5n के रूप में व्यक्त है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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Q2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं |

हल : प्रश्न संख्या 1 में सांत दशमलव प्रसार वाले प्रश्न निम्नलिखित हैं |

(i), (ii), (iii), (iv), (vi), (viii) और (ix)

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NCERT Solutions for Class 10 Hindi Kshitij Chapter 12 लखनवी अंदाज़

NCERT Solutions for Class 10 Hindi Kshitij Chapter 12 लखनवी अंदाज़

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प्रश्न-अभ्यास

(पाठ्यपुस्तक से)

प्रश्न 1.
लेखक को नवाब साहब के किन हाव-भाव से महसूस हुआ कि वे उनसे बातचीत करने के लिए तनिक भी उत्सुक नहीं हैं?
उत्तर
नवाब साहब लेखक को सेकंड क्लास के डिब्बे में आया हुआ देखकर उनमें असंतोष का भाव छा गया। उन्हें एकांतवास में बाधा का अनुभव होने लगा वे अनमने होकर

खिड़की से बाहर झाँकते रहे और लेखक को न देखने का नाटकीय प्रदर्शन करते रहे। नवाब साहब के इन हाव-भावों को देखकर लेखक अनुमान लगा रहा था कि वे बातचीत करने के लिए किंचित भी उत्सुक नहीं हैं।

प्रश्न 2.
नवाब साहब ने बहुत ही यत्न से खीरा काटा, नमक-मिर्च बुरका, अंततः सँघकर ही खिड़की से बाहर फेंक दिया। उन्होंने ऐसा क्यों किया होगा? उनका ऐसा करना उनके कैसे स्वभाव को इंगित करता है?
उत्तर
नवाब साहब अपनी नवाबी शान-शौकत को दिखाने की आदत रखते थे। वह अपनी हरकत से ठाट-बाट का प्रदर्शन करने में लगे थे। लेखक को देखकर अपनी प्रवृत्ति के अनुसार खीरों को छीला, नमक-मिर्च लगाया, सँघा और बाहर फेंक दिया। जैसे यह सब करके नवाब साहब बता देना चाहते हों कि उनके द्वारा इन्हें पूँघना ही पर्याप्त है। खीरे खाकर पेट भरने की आदत तो साधारण लोगों की बात है। इस प्रकार यह सब नवाब साहब के अमीरी दिखावे के स्वभाव की ओर संकेत करता है।

प्रश्न 3.
बिना विचार, घटना और पात्रों की भी क्या कहानी लिखी जा सकती है? यशपाल के इस विचार से आप कहाँ तक सहमत हैं?
उत्तर
कहानी किसी घटना का ऐसा वर्णन है जो किसी विशेष कारण की ओर संकेत करती है। घटना कैसे घटी, उसके क्या कारण थे, उसका क्या परिणाम हुआ? यह सब जानने की जिज्ञासा मन में बनी रहती है और घटना बिना कारण के नहीं होती है। अतः बिना पात्र के कहानी तथा बिना कारण के घटना कैसे संभव है? घटना के बिना विचार कैसे? अतः लेखक का मानना है कि बिना विचार, घटना और पात्रों के कहानी नहीं लिखी जा सकती है। यह पूर्णतः सत्य है। उनका विचार हमारे विचारों के अनुकूल है।

प्रश्न 4.
आप इस निबंध को और क्या नाम देना चाहेंगे?
उत्तर
नवाबी दिखावा या नवाबी ठाट, थोथा चना, असार्थक प्रदर्शन आदि-आदि शीर्षक हो सकते हैं जो पाठ के निहित अर्थ को समेटे हुए हैं।

रचना और अभिव्यक्ति

प्रश्न 5.
(क) नवाब साहब द्वारा खीरा खाने की तैयारी करने का एक चित्र प्रस्तुत किया गया है। इस पूरी प्रक्रिया को अपने शब्दों में व्यक्त कीजिए।
(ख) किन-किन चीज़ों का रसास्वादन करने के लिए आप किस प्रकार की तैयारी करते
उत्तर
(क) नवाब साहेब सामने बैठे लेखक को देखकर अपने संकोच को दूर करते हुए कुछ नए अंदाज में खीरा काटने की प्रक्रिया अपनाते हैं-

  1. बर्थ के नीचे रखे पानी से भरे लोटे को लेकर खिड़की से बाहर खीरों को अच्छी | तरह धोते हैं और तौलिए से पोंछते हैं।
  2. जेब से चाकू निकालकर खीरे के सिर को काटकर और गोदकर झाग निकालते
  3. खीरों को सावधानी से छीलते हैं, फाँके बनाते हैं और बिछी तौलिए पर करीने से सजाकर देखते रहते हैं।
  4. कटी हुई फाँकों पर जीरा मिले नमक को और काली मिर्च को बुरकते हैं।
  5. खीरा सामने देखकर खीरे का रसास्वादन मन-ही-मन करने लगते हैं और मुँह में पानी भर आता है।

(ख) भोजन करने के लिए यथासंभव नीबू, विविध फलों, सब्ज़ियाँ का सलाद, उस पर नींबू को निचोड़ रस डालकर काला नमक आदि डालते हैं। नमकीन रायता और
चटनी को अलग-अलग कटोरी में रखते हैं। उसके भोजन का स्वाद लेते हैं।

प्रश्न 6.
खीरे के संबंध में नवाब साहब के व्यवहार को उनकी सनक कहा जा सकता है। आपने नवाबों की और भी सनकों और शौक के बारे में पढ़ा-सुना होगा । किसी एक के बारे में लिखिए।
उत्तर
नवाब साहब के द्वारा खीरा पानी से धोना, छीलना, फाँके करना, साफ-सुथरी तौलिया को झाड़कर और बिछाकर तौलिए पर फॉकों को करीने से रखना, नमक-मिर्च बुरकना फिर बिना खाए ही सँघकर फेंक देना एक तरह की सनक ही है। किसी सनक के बारे में विद्यार्थी स्वयं लिखें।

प्रश्न 7.
क्या सनक का कोई सकारात्मक रूप हो सकता है? यदि हाँ तो ऐसी सनकों का उल्लेख कीजिए?
उत्तर
सनक सवार हो जाना अर्थात् जनून छा जाना अर्थात् धुन का पक्का होना। जो धुन के पक्के होते हैं, ऐसे लोग जिस पथ पर चल पड़ते हैं तो तब तक चलते रहते हैं। जब तक लक्ष्य की प्राप्ति नहीं हो जाती है। ऐसी सापेक्ष सनक सकारात्मक होती है। परिणाम अच्छे निकलते हैं।

आचार्य चाणक्य ऐसे ही सनकी महापुरुष थे। पक्का इरादा, आत्मविश्वास और चढ़ गई सनक कि राजा नंद को समूल नाश कर योग्य शासक के हाथ में शासन को सौंपना है। सनक के सामने संकटों से भरा मार्ग भी प्रशस्त जान पड़ता है। बड़ी-बड़ी विपदाओं की चिंता किए बिना एक सामान्य बालक को ही सम्राट बनाने की ठान ली और वही हुआ, होकर रहा जो भी चाणक्य चाहते थे। अतः सापेक्ष सनक के सुपरिणाम ही निकलते हैं।

भाषा-अध्ययन

प्रश्न 8.
निम्नलिखित वाक्यों में से क्रियापद छाँटकर क्रिया-भेद भी लिखिए-
(क) एक सफेदपोश सज्जन बहुत सुविधा से पालथी मारे बैठे थे।
(ख) नवाब साहब ने संगति के लिए उत्साह नहीं दिखाया।
(ग) ठाली बैठे, कल्पना करते रहने की पुरानी आदत है।
(घ) अकेले सफ़र का वक्त काटने के लिए ही खीरे खरीदे होंगे।
(ङ) दोनों खीरों के सिर काटे और उन्हें गोदकर झाग निकाला।
(च) नवाब साहब ने सतृष्ण आँखों से नमक-मिर्च के संयोग से चमकती खीरे की फॉकों की ओर देखा।
(छ) नवाब साहब खीरे की तैयारी और इस्तेमाल से थककर लेट गए।
(घ) जेब से चाकू निकाला।
उत्तर
NCERT Solutions for Class 10 Hindi Kshitij Chapter 12 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Hope given NCERT Solutions for Class 10 Hindi Kshitij Chapter 12 are helpful to complete your homework.

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गद्य – खंड

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium)

Math is tough but solving them is impossible said no one ever!! Make use of these NCERT Solutions For Class 10 Maths in Hindi Medium for finding solutions and also note that NCERT Solutions for Class 10 Maths PDF are available online for extra reference. This chapter includes NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium). Practice more so you score more!!

Chapter 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्नावली 13.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए,  π = 22/7 लीजिए |

Ex 13.1 Class 10 गणित Q1.दो घनों, जिनमे से प्रत्येक का आयतन 64 cm3 है, के सलंग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है | इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल: 

एक घन का आयतन = 64 cm3

एक किनारा = (64)1/3

=  4 cm

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes 13.1 1
दो घनों के फलकों को मिलाने पर

l = 4 + 4 = 8 cm

b = 4 cm

h = 4 cm

इसप्रकार इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)

= 2(8×4 + 4×4 + 8×4)

​= 2(32 + 16 + 32)

= 2×80

= 160 cm2

अत: इस घनाभ का प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 cm2 है |

Ex 13.1 Class 10 गणित Q2. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है | अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है | इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 2

Ex 13.1 Class 10 गणित Q3. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्ध गोले पर अध्यारोपित है | इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है | इस खिलोने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 3

हल:

अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या r = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या r = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की ऊँचाई h = 15.5 – 3.5 = 12 cm

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 4

Ex 13.1 Class 10 गणित Q4. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लाक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है | अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 5

हल :

घनाकार ब्लॉक का एक किनारा = 7 cm

अर्धगोले का अधिकतम व्यास d = 7 cm

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium) 13.1 6

ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाकार ब्लॉक का क्षेत्रफल + अर्धगोले का क्षेत्रफल – अर्धगोले से ढके एक वृत्त का क्षेत्रफल

⇒ ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2 + 2πr2 – πr2

= 6a2 + πr2   [ a = घन का एक किनारा ]

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 7

Ex 13.1 Class 10 गणित Q5 एक घनाकार ब्लाक के एक फलक को अन्दर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है की अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है | शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 8
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 9

( चूँकि घन का किनारा अर्धगोले के ब्यास के बराबर है )

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाकार ब्लॉक का क्षेत्रफल + अर्धगोले का क्षेत्रफल – अर्धगोले से ढके एक वृत्त का क्षेत्रफल

= 6a2 + 2πr2 – πr2 [ a = घन का एक किनारा ]

= 6a2 + πr2

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Ex 13.1 Class 10 गणित Q6. दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक – एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति 13.10) | पुरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |  

हल : 

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 11

यहाँ बेलन का ब्यास, अर्धगोले के ब्यास के बराबर है |

अत: अर्धगोले का ब्यास D = 5 mm

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 12

कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 2πr2 + 2πrh

= 2πr(2r + h)

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 13

Ex 13.1 Class 10 गणित Q7. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु  आध्यारोपित है | यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | साथ ही, 500 रू प्रति m2 की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए | (ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है |)

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 14

हल :

तम्बू के बेलनाकार भाग का ब्यास = 4 cm

अत: त्रिज्या r = 2 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 2.1 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 cm

ब्यास = 4 cm

और त्रिज्या r = 2 cm

इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल

= बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + πrl

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 15

Ex 13.1 Class 10 गणित Q8. ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है |शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 16

बेलन की ऊँचाई h = 2.4 cm

बेलन का ब्यास = 1.4 cm

अत: बेलन की त्रिज्या r = 0.7 cm

काटे गए शंकु की ऊँचाई h = 2.4 cm

और त्रिज्या r = 0.7 cm

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Areas Related to Circles 13.1 17

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के पेंदी का क्षेत्रफल

= 2πrh + πrl + πr2

= πr(2h + l + r)

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 18

Ex 13.1 Class 10 गणित Q9. लकड़ी के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसाकि आकृति 13.11 में दर्शाया गया है | यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 19

हल : 

बेलन की ऊँचाई = 10 cm

आधार की त्रिज्या = 3.5 cm

अर्धगोले की त्रिज्या = 3.5 cm

वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + उपरी अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + निचली अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + 2πr2 + 2πr2

= 2πr(h + r + r )

= 2πr(h + 2r )

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 20
अत: वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 374 cm2 है |

प्रश्नावली 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.2 Class 10 गणित Q1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है | इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 21

Ex 13.2 Class 10 गणित Q2. एक इंजीनियरिंग के विधार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों | इसा मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है | यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए|

(यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर है |)

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 22

Ex 13.2 Class 10 गणित Q3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है | 45 गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5  cm और व्यास 2.8 cm है ( देखिए आकृति 13.15) |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 23

सभी 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45(अर्धगोले का आयतन + बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन)

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 24
CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 25

Ex 13.2 Class 10 गणित Q4. एक कमलदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना हा जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं | घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैं | प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है | पुरे कमलदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.16) |

हल :

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 26

धनाभ की लंबाई l = 15 cm

घनाभ की चौड़ाई b = 10 cm

घनाभ की ऊँचाई h = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

ऊँचाई (h) = 1.4 cm

पूरे कमलदान की लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – चरों शंक्वाकार गढ्ढे का आयतन

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 27

Ex 13.2 Class 10 गणित Q5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है | इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है ) की त्रिज्या 5 cm त्रिज्या है | यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है | जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमे प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है | बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 28

शंकु की ऊँचाई (h) = 8 cm

शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm

गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

माना बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या = n

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 29

अत: गोलियों की संख्या 100 है |

Ex 13.2 Class 10 गणित Q6. ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का स्तंभ बना है | इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cmलोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है | (π = 3.14 लीजिए |)

हल :

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 30

मोटे बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm

व्यास (d) = 24 cm

अत: त्रिज्या (R) = 12 cm

पतले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm

त्रिज्या (r) = 8 cm

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 31

Ex 13.2 Class 10 गणित Q7. एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है | इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे | यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 32

ठोस के शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm

ठोस के शंकु की त्रिज्या (r) = 60 cm

ठोस के अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 60 cm

बड़े बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm

बड़े बेलन की की त्रिज्या (r) = 60 cm

शेष बचे पानी का आयतन = बड़े बेलन का आयतन – ठोस का आयतन

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 33

Ex 13.2 Class 10 गणित Q8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है | इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm3 है | जाँच कीजिए कि बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए की उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14 |  

हल :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 34
NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 35

इसमें भरे जा सकने वाले पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 36

प्रश्नावली 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए,π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.3 Class 10 गणित Q1. त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है | बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 37

धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm

बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm और

माना बेलन की ऊँचाई h cm है |

बेलन का आयतन = गोले का आयतन

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Ex 13.3 Class 10 गणित Q2. क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है | इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 39

Ex 13.3 Class 10 गणित Q3. व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है | इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 40

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 41

Ex 13.3 Class 10 गणित Q4. व्यास 3 m वाला 14 m गहरा की गहराई तक खोदा जाता है | इससे निकली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है | इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

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Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 43

Ex 13.3 Class 10 गणित Q5. व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है | इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा | उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं |

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Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 45
Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 46

Ex 13.3 Class 10 गणित Q6. विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 47

Ex 13.3 Class 10 गणित Q7. 32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है | इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेते की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है | यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 48

अत: ढेरी की त्रिज्या = 36 cm  और  तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q8. 6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km /h की चाल से बह रहा है | 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के ल;इए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है |

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 49

Ex 13.3 Class 10 गणित Q9. एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है | यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?  

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प्रश्नावली 13.4

(जब तक अन्यथा न कहा जाए,π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.4 Class 10 गणित Q1. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है | दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं | इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 51

Ex 13.4 Class 10 गणित Q2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं | इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 52

Ex 13.4 Class 10 गणित Q3. एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकर की है (देखिये आकृति 13.24) | यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

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Ex 13.4 Class 10 गणित Q4. धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं | 20 रू प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए | साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रू प्रति 100 cmकी दर से ज्ञात कीजिए | ( π = 3.14 लीजिए |) 

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Ex 13.4 Class 10 गणित Q5. 20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle ) 60 एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोंबीच से होकर जाते हुए एक ताल से दो भागों में काटा गया है, जबकि ताल शंकु के आधार के समांतर है | यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास 1/16 cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो की लंबाई ज्ञात कीजिए | 

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प्रश्नावली 13.5

Ex 13.5 Class 10 गणित Q1. व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है | तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cmहै |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q2. एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त ), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है | इस प्रकार प्राप्त द्वी -शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय  क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q3. एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm x 120 cm x 110 cm हैं, में 129600 cmपानी में कुछ छिद्र वाली ईंटे तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि ताकि पूरी ऊपर तक भर न जाए | प्रत्येक ईंट अपने आयतन का   1/17 पानी सोख लेती है | यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटे डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?

Ex 13.5 Class 10 गणित Q4. किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई | यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 kmहै, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q5. टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है | यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.25) |

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Ex 13.5 Class 10 गणित Q6. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q7. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते  हुए, आयतन का वह सूत्र कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है |

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium)

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Chapter 1. वास्तविक संख्याएँ

अभ्यास 1.1

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये | 

 (i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255

हल:  

(1)    135 और 225

a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

225 = 135 ×1 + 90

135 = 90 ×1 + 45

90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 45

हल:

(ii)    196 और 38220

a = 38220, b = 196  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196      {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

हल:

(iii)   867 और 255

a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196  {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |

हल:

दर्शाना है: a = 6q + 1, 6q+3 या  6q+5

माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है;  जहाँ b = 6 होगा,

जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;

जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |

शेषफल होगा 1 या 3 या 5

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;

a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है | दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है | उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?

हल:

स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)

a = 616, b = 32  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

616 = 32 ×19 + 8  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

32 = 8 × 4 + 0

b = 8 {b का मान HCF होता है}

HCF = 8

इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |

हल :

दर्शाना है : a2 = 3m or 3m + 1

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3

तब a = 3q + r  कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0

इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2

अब हम पाते है;

⇒ a2 = (3q + 0)2 or (3q + 1)2 or (3q +2)2

⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 4

⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 3 + 1

⇒ a2 = 3(3q2) or 3(3q2 + 2q) + 1 or 3(3q2 + 4q + 1) + 1

यदि m = (3q2) or (3q2 + 2q)  or (3q2 + 4q + 1) हो तो

हम पाते है कि ;

a2 = 3m or 3m + 1 or 3m + 1

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

हल:

माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;

युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;

a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9

जब r = 0 हो;

a = 9q + 0 = 9q

a3  = (9q)3 = 9(81q3) या 9m जहाँ m = 81q3

जब r = 1 हो

a = 9q + 1

a3 = (9q + 1)3 = 9(81q3 + 27q2 + 3q) + 1

= 9m + 1  जहाँ m = 81q3 + 27q2 + 3q

जब r = 2 हो तो

a = 9q + 2

a3  = (9q + 2)3 = 9(81q3 + 54q2 + 12q) + 8

= 9m + 2  जहाँ m = 81q3 + 54q2 + 12q

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

प्रश्नावली 1.2

Ex 1.2 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140   

हल:

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140 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 5 × 7

(ii) 156

हल:

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156 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 3 × 13

(iii) 3825

हल:

NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium

3825 का अभाज्य गुणनखंड
= 32 × 52 × 17

(iv) 5005

हल:

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5005 का अभाज्य गुणनखंड
= 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

हल:

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7429 का अभाज्य गुणनखंड
= 17 x 19 x 23

Ex 1.2 Class 10 गणित Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है| 

(i) 26 and 91

हल:

26 = 2 × 13

91 = 7 × 13

सार्व गुणनखंड = 13

∴ HCF = 13

LCM = 2 × 7 × 13 = 182

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

26 × 91 = 13 × 182

2366 =  2366

इति सिद्धम |

(ii) 510 and 92

हल:

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 = 2 × 2 × 23

सार्व गुणनखंड = 2

∴ HCF = 2

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 =  23460

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

510 × 92 = 2 × 23460

46920 =  46920

इति सिद्धम |

(iii) 336 and 54

हल:

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

54 = 2 × 3 × 3 × 3

सार्व गुणनखंड = 2 × 3

∴ HCF = 6

LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 =  3024

जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

336 × 54 = 6 × 3024

18144 =  18144

इति सिद्धम |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |

(i) 12, 15 and 21

हल:

12 = 2 × 2 × 3

15 = 5 × 3

21 = 7 × 3

सार्व गुणनखंड = 3

HCF = 3

​LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 and 29

हल:

17 = 1 × 17

23 = 1 × 23

29 = 1 × 29

HCF = 1

LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 and 25

हल:

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

25 = 5 × 5

यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है |

∴ HCF = 1

LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

= 8 × 9 × 25

= 1800

Ex 1.2 Class 10 गणित Q4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए | 

हल:

HCF (306, 657) = 9

LCM × HCF = ​N1 × N2

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LCM = 22338

Ex 1.2 Class 10 गणित Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है | 

हल:

6n का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3 )n

जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5 )n के रूप का होता है |

अत:, 6n शून्य पर समाप्त नहीं होगी |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?

हल :

माना A = 7 × 11 × 13 + 13

= 13 (7 × 11 + 1)

= 13 (77 + 1)

= 13 × 78

अत: यह एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

इसीप्रकार,

माना B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)​

= 5 × (1008 + 1)

= 5  ×  1009

अत: यह भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: 

एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |

रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |

वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे |

अत:

18 = 2 × 3 × 3

12 = 2 × 2 × 3

HCF = 2 × 3 = 6

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= 36 मिनट |

प्रश्नावली 1.3 

Ex 1.3 Class 10 गणित Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है |

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | 

इसलिए,

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 10
NCERT Hindi Medium Solutions Of Maths For Class 10
यहाँ 5 aको विभाजित करता है अत: 5 a को भी विभाजित करेगा | ….(1)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: a = 5c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुनाखंड है |]

5b2 = a2 में a = 5c रखने पर

⇒          5b2 = (5c)2

⇒          5b2 = 25c2

⇒            b2 = 5c2

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 11

यहाँ 5 bको विभाजित करता है अत: 5 b को भी विभाजित करेगा | ….(2)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |

Ex 1.3 Class 10 गणित Q2.  सिद्ध कीजिए  कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | 

इसलिए,

NCERT Solutions for Class 10th Mathematics Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium) 1.2 12

और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |

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चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है |

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इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि √5 परिमेय संख्या है |

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

अत: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

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यहाँ 2 bको विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा | ….(1)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: b = 2c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है | ]

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यहाँ 2 aको विभाजित करता है अत: 2 a को भी विभाजित करेगा | ….(2)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

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प्रश्नावली 1.4 

Ex 1.4 Class 10 गणित Q1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :

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हल :

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हर का अभाज्य गुणनखंड 55 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 23 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 5 × 7 × 13 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है अत: यह एक असांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 26 × 52 है और यह 2× 5n के रूप में व्यक्त है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Real Numbers 1.2 27
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Q2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं |

हल : प्रश्न संख्या 1 में सांत दशमलव प्रसार वाले प्रश्न निम्नलिखित हैं |

(i), (ii), (iii), (iv), (vi), (viii) और (ix)

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Maths NCERT Solutions For Class 10 Chapter 1 Real Numbers Hindi Medium 1.2 33
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NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 1 Chemical Reactions and Equations (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 1 Chemical Reactions and Equations (Hindi Medium)

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This chapter of NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 1 Chemical Reactions and Equations predominantly involve the discussion of forming chemical equations, writing them and the methods of balancing the chemical equations.

Chapter 1. रासायनिक अभिक्रियाएँ और समीकरण

Chapter Review

  • रसायनिक परिवर्तन को भी रसायनिक अभिक्रिया कहा जाता है |
  • रसायनिक अभिक्रिया के दो भाग होते है , (1)   अभिकारक  (2)   उत्पाद
  • वे पदार्थ जिनमे रसायनिक अभिक्रिया के द्वारा रसायनिक परिवर्तन होता है अभिकारक कहलाते है |
  • अभिक्रिया के दौरान नए बनने वाले पदार्थ उत्पाद कहलाते है |
  • शब्द-समीकरण में अभिकारकों के उत्पाद में परिवर्तन को उनके मध्य एक तीर का निशान लगाकर दर्शाया जाता है |
  • तीर का सिरा उत्पाद की ओर इंगित करता है और अभिक्रिया होने की दिशा को दर्शाता है |
  • अभिकारकों के बीच योग (+) का चिन्ह लगाकर उन्हें बाई ओर (LHS) लिखा जाता है | इसी प्रकार उत्पादों के बीच भी योग (+) चिन्ह लगाकर उन्हें दाई ओर (RHS) लिखा जाता है |
  • शब्दों की जगह रसायनिक सूत्र का उपयोग करके रसायनिक समीकरणों को अधिक संक्षिप्त और उपयोगी बनाया जा सकता है |
  • एक रसायनिक समीकरण एक रसायनिक अभिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है |
  • प्रत्येक तत्व के परमाणुओं की संख्या तीर के दोनों ओर सामान होते है |
  • असंतुलित रसायनिक समीकरण को कंकाली समीकरण कहते है |
  • द्रव्यमान संरक्षण के नियम को संतुष्ट करने के लिए रसायनिक समीकरण को संतुलित किया जाता है |
  • द्रव्यमान संरक्षण के नियम : किसी भी रसायनिक अभिक्रिया में द्रव्यमान का ना तो सृजन होता है ना ही विनाश होता है |
  • किसी भी रसायनिक अभिक्रिया के उत्पाद तत्वों का कुल द्रव्यमान अभिकारक तत्वों के कुल द्रव्यमान के बराबर होता है |
  • रसायनिक अभिक्रिया के बाद और रसायनिक अभिक्रिया के पहले प्रत्येक तत्व के परमाणुओं की संख्या समान रहती है |
  • कंकाली समीकरण को Hit and trial method or inspecting method के उपयोग से संतुलित किया जा सकता है |
  • संयोजन अभिक्रिया, वियोजन  अभिक्रिया, विस्थापन  अभिक्रिया, द्वि-विस्थापन  अभिक्रिया, उपचयन और अपचयन ये सभी रसायनिक अभिक्रिया के प्रकार है |
  • संक्षारण और विकृत-गंधिता उपचयन  अभिक्रिया के प्रभाव के कारण होते है |
  • एक सम्पूर्ण रसायनिक अभिक्रिया अभिकारक, उत्पाद और उनके भौतिक दशाओं को संकेतोंमें दर्शाता है |
  • संयोजन अभिक्रिया में दो या दो से अधिक पदार्थ मिलकर एक एकल नया उत्पाद बनाते है |
  • जिस अभिक्रिया में ऊर्जा का अवशोषण होता है वह ऊष्माशोषी अभिक्रिया कहलाती है |
  • अवक्षेपण अभिक्रियायें अघुलनशील लवणों का उत्पादन करती है |
  • द्वि-विस्थापन अभिक्रिया में दो भिन्न अणुओं या अणुओं के समूहों में बीच आयनों (ions) का अदान-प्रदान होता है |
  • अभिक्रिया में पदार्थों से ऑक्सीजन या हाइड्रोजन का योग अथवा ह्रास भी होता है |
  • ऑक्सीजन का योग अथवा हाइड्रोजन का ह्रास आक्सीकरण या उपचयन कहलाता है |
  • ऑक्सीजन का ह्रास अथवा हाइड्रोजन का योग अपचयन कहलाता है |
  • जब कोई तत्व किसी यौगिक से किसी दुसरे तत्व को विस्थापित करता है तो विस्थापन अभिक्रिया होती है |
  •  विस्थापन अभिक्रिया में एक अधिक अभिक्रियाशील तत्व कम अभिक्रियाशील पदार्थ को विस्थापित कर देता है | जैसे आयरन जिंक और कॉपर को विस्थापित कर देता है क्योंकि आयरन  जिंक और कॉपर से अधिक अभिक्रियाशील है |
  • द्वि-विस्थापन अभिक्रिया में आयनों का आदान-प्रदान होता है |
  • हमारे भोजन में ऑक्सीजन के वृद्धि से भोजन का उपचयन तेजी से होता है जिससे वह विकृत-गंधित हो जाता है |
  •  विकृत-गंधित पदार्थों का गंध और स्वाद बदल जाता है |

पाठगत-प्रश्न:

पेज – 6

प्र० 1. वायु में जलाने से पहले मैग्नीशियम रिबन को साफ क्यों किया जाता है ?
उत्तर: वायु में जलाने से पहले मैग्नीशियम रिबन को साफ किया जाता है ताकि वह जलते समय पूरी तरह वायु के संपर्क में रहे |

प्र० 2. निम्नलिखित रासायनिक अभिक्रियाओं के लिए संतुलित समीकरण लिखिए :

  1. हाइड्रोजन + क्लोरीन → हाइड्रोजन क्लोराइड
  2. बेरियम क्लोराइड + एल्युमीनियम सल्फेट → बेरियम सल्फेट + एल्युमीनियम क्लोराइड
  3. सोडियम + जल → सोडियम हाइड्रोक्साइड  + हाइड्रोजन

प्र० 3. निम्नलिखित अभिक्रियाओं के लिए उनकी अवस्था के संकेतों के साथ संतुलित रासायनिक समीकरण लिखिए :

  1. जल में बेरियम क्लोराइड तथा सोडियम सल्फेट के विलयन अभिक्रिया करके सोडियम क्लोराइड का विलयन तथा अधुलनशील बेरियम सल्फेट का अवक्षेप बनाते हैं |
  2. सोडियम हाइड्रोक्साइड का विलयन (जल में ) हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के विलयन (जल में ) से अभिक्रिया करके सोडियम क्लोराइड का विलयन तथा जल बनाते हैं |

पेज – 11

प्र० 1. किसी पदार्थ ‘X’ के विलयन का उपयोग सफेदी करने के लिए होता है |

(i)  पदार्थ ‘X’ का नाम तथा इसका सूत्र लिखिए |
(ii) ऊपर (i) में लिखे पदार्थ की जल के साथ अभिक्रिया लिखिए |

प्र०2.  क्रियाकलाप 1.7 में एक परखनली में एकत्रित गैस की मात्रा दूसरी से दोगुनी क्यों है ? उस गैस का नाम बताइए |

अभ्यास प्रश्न:

प्रश्न1: निचे दी गयी अभिक्रिया के सम्बन्ध में कौन सा कथन असत्य है ?

2PbO(s) + C(s) → 2Pb(s) + CO2(g)   

(a) सीसा अपचयित हो रहा है |
(b) कार्बन डाइऑक्साइड उपचयित हो रहा है |
(c) कार्बन अपचयित हो रहा है |
(d) लेड ऑक्साइड अपचयित हो रहा है |

उत्तर: (i)   (a) एवं (b)
(ii)   (a) एवं (c)
(iii)   (a) (b) एवं (c)
(iv)   सभी

समीक्षा:

(a) सीसा अपचयित हो रहा है | →कथन सत्य है |
(b) कार्बन डाइऑक्साइड उपचयित हो रहा है | →कथन असत्य है |
(c) कार्बन अपचयित हो रहा है | →कथन सत्य है |
(d) लेड ऑक्साइड अपचयित हो रहा है | →कथन असत्य है |

उत्तर: (ii) (a) एवं (c) कथन सत्य है |

प्रश्न 2: Fe2O3 + 2Al → Al2O3 + 2Fe

ऊपर दी गई अभिक्रिया किस प्रकार की है |

(a) संयोजन अभिक्रिया
(b) द्वि-विस्थापन अभिक्रिया
(c) वियोजन अभिक्रिया
(d) विस्थापन अभिक्रिया

उत्तर : (d) विस्थापन अभिक्रिया

प्रश्न3: लौह चूर्ण पर तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल डालने से क्या होता है ? सही उत्तर पर निशान लगाये |

(a) हाइड्रोजन गैस और एवं आयरन क्लोराइड बनता है |
(b) क्लोरीन गैस एवं आयरन हाइड्रो-क्साइड बनता है |
(c) कोई अभिक्रिया नहीं होती |
(d) आयरन लवण एवं जल बनता है |

उत्तर: (a) हाइड्रोजन गैस और एवं आयरन क्लोराइड बनता है |

प्रश्न 4: संतुलित रसायनिक समीकरण क्या है ? रसायनिक समीकरण को संतुलित करना क्यों आवश्यक है ?

उत्तर: जब अभिकारक और उत्पाद दोनों तरफ के प्रत्येक तत्व के परमाणुओं की संख्या समान हो तो ऐसे समीकरण को संतुलित रासायनिक समीकरण कहते है | द्रव्यमान संरक्षण के नियम को संतुष्ट करने के लिए रासायनिक समीकरण को संतुलित किया जाता है |

प्रश्न 5: निम्न कथनों को रासायनिक समीकरण के रूप में लिखकर संतुलित कीजिये |

(a) नाइट्रोजन हाइड्रोजन गैस से अभिक्रिया कर अमोनिया बनाता है |
(b) हाइड्रोजन सल्फाइड गैस का वायु में दहन होने पर जल एवं सल्फर डाइऑक्साइड बनता है |
(c) एलुमिनियम सल्फेट के साथ अभिक्रिया कर बेरियम क्लोराइड, एलुमिनियम क्लोराइड एवं बेरियम सल्फेट का अवक्षेप देता है |
(d) पोटैशियम धातु जल के साथ अभिक्रिया करके पोटैशियम हाइड्रो-ऑक्साइड एवं हाइड्रोजन गैस देता है |

उत्तर :-

(a) 3H+ N→2NH3
(b) 2H2S + 3O→ 2H2O + 3BaSO2
(c) 3BaCl2 + Al2(SO4)3 → 2AlCl3 + 3BaSO2
(d) 2K + 2H2O → 2KOH + H2

प्रश्न 6: निम्न रासायनिक समीकरण को संतुलित कीजिये:

(a) HNO + Ca(OH) → Ca(NO3) + H2O
(b) NaOH + H2SO4 → Na2SO4 + H2O
(c) NaCl + AgNO → AgC2l + NaNO3
(d) BaCl2 + H2SO4 → BaSO4 + HCl

उत्तर :- संतुलित रासायनिक समीकरण :-

(a) 2HNO(aq) + Ca(OH)(aq) → Ca(NO3)(aq) + 2H2O (l)
(b) 2NaOH (aq) + H2SO(aq) → Na2SO4 (aq) + 2H2O(l)
(c) NaCl (aq) + AgNO(aq) → AgCl (s) + NaNO3(aq)
(d) BaCl2(aq) + H2SO4(aq) → BaSO4 (s) + 2HCl (aq)

प्रश्न 7: निम्न अभिक्रियाओं के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण लिखिए |

(a) कैल्सियम हाइड्रो-ऑक्साइड + कार्बन डाइऑक्साइड → कैल्सियम कार्बोनेट + जल
(b) जिंक + सिल्वर नाइट्रेट → जिंक नाइट्रेट + सिल्वर
(c) एलुमिनियम + कॉपर क्लोराइड → एलुमिनियम क्लोराइड + कॉपर
(d) बेरियम क्लोराइड + पोटैशियम सल्फेट → बेरियम सल्फेट + पोटैशियम क्लोराइड

उत्तर : (a) Ca(OH)2 (aq) + Co2(g) → CaCo3(s) + H2O(l) |
(b) Zn(s) + 2AgNo(aq) → Zn(No3)+ 2Ag(s) |
(c) 2Al(s) + 3CuCl2(aq) → 2AlCl3 + 3Cu(s) |
(d) BaCl2(aq) + K2SO4 → BaSO4(s) + 2KCl(aq) |

प्रश्न 8: निम्न अभिक्रियाओं के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण लिखिए एवं प्रत्येक अभिक्रिया का प्रकार बताईये |

(a) पोटैशियम ब्रोमाइड (aq) + बेरियम आयोडाइड (aq) → पोटैशियम आयोडाइड (aq) + बेरियम ब्रोमाइड (s) |
(b) जिंक कार्बोनेट (s)  → जिंक ऑक्साइड (s) + कार्बन डाइऑक्साइड (g) |
(c) हाइड्रोजन (g) + क्लोरीन(g)  → हाइड्रोजन क्लोराइड(g) |
(d) मैग्नीशियम (s)   + हाइड्रोक्लोरिक अम्ल (aq) → मैग्नीशियम क्लोराइड (aq) + हाइड्रोजन (g) |

उत्तर : (a) 2KBr(aq) + Bal2  → 2Kl(aq) + BaBr(aq) |
(b) ZnCo+ ZnCo → ZnO(s) + CO2(s) |
(c) H2 + cl2(g)  → 2HCl(g) |
(d) Mg(s) + 2HCl(aq)  → MgCl2(aq) + H2(g) |

प्रश्न 9: ऊष्माक्षेपी एवं ऊष्माशोषी अभिक्रिया का क्या अर्थ है ? उदहारण दीजिये |

उत्तर : वे अभिक्रिया जिसमें उत्पादों के बनाने पर ऊष्मा मुक्त होती है , उषमाक्षेपी अभिक्रियाएँ कहलाती है |

(i) C + O2 → Co2 + ऊष्मा
(ii) C6H12O6 + 6Co2 + 6H2O
वे अभिक्रियायें जिसमें उत्पादों के बनाने पर ऊर्जा अवशोषित होती है , ऊष्माशोषी कहलाती है |
FeSo4(s) → Fe2O3(s) + So2(g) + So3(g)

प्रश्न 10: श्वसन को ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया क्यों कहते है ? वर्णन कीजिये |

उत्तर : पाचन क्रिया के समय भोजन हमारे शरीर में उपस्थित ऑक्सीजन के साथ मिलकर ऊर्जा मुक्त करता ही | हमारे शरीर की कोशिकाओं को उर्जा मिलाती है | अत: श्वसन एक उषमाक्षेपी अभिक्रिया है |

C6h12O6 + 6O →  6CO2 + 6H2O + उर्जा (ग्लूकोज) |

प्रश्न 11: वियोजन अभिक्रिया को संयोजन अभिक्रिया के विपरीत क्यों कहा जाता है ? इन अभिक्रियाओं के लिए समीकरण लिखिए |

उत्तर : जिस प्रकार संयोजन अभिक्रिया में दो या दो अधिक अभिकारक परस्पर क्रिया करके उत्पाद बनाते है , ठीक उसी के विपरीत वियोजन अभिक्रिया में कोई यौगिक दो या डॉन से यौगिकों में विघटित हो जाता है |

संयोजन – 2H+ O2 →  2H2O
वियोजन – 2H2o →  2H2 + O2 |

महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर

प्रश्न: CaO (s) का सामान्य नाम लिखिए |
उत्तर: चूना पत्थर |

प्रश्न: सोडियम हाइड्रोजन कार्बोनेट, एंटासीड का एक मुख्य संघटक क्यों होता है ?
उत्तर: क्योंकि सोडियम हाइड्रोजन कार्बोनेट एक क्षारीय पदार्थ है यह एसिड को उदासीन कर देता है |

प्रश्न: रसायनिक अभिक्रिया में अभिकारक और उत्पादों को किन किन भौतिक अवस्थाओं में दर्शाया जाता है ?
उत्तर: ठोस (s), द्रव्य (l), गैस(g) और जलीय विलयन(aq) के रूप में |

प्रश्न:  क्या होता है जब मैग्नीशियम  रिबन को वायु की उपस्तिथि में जलाया जाता है ?
उत्तर:  यह सफ़ेद रंग का मैग्नीशियम ऑक्साइड बनता है |

प्रश्न: श्वसन को उश्माक्षेपी अभिक्रिया क्यों कहते है ?कारण दीजिए |
उत्तर: श्वसन क्रिया जो हमारी कोशिकाओं में निरंतर होती रहती है यह एक प्रकार की उश्माक्षेपी अभिक्रिया है | भोजन से प्राप्त कार्बोहाइड्रेट टूटने के बाद ग्लूकोज में बदल जाता है जो श्वसन अभिक्रिया में ऑक्सीजन के साथ मिलकर हमे उर्जा प्रदान करते है | चूँकि ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया में भी उर्जा निकलती है इसलिए श्वसन को भी ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया कहते है|

प्रश्न: उस अभिक्रिया का नाम बताये जिसमे दो या दो से अधिक अभिकारक मिलकर एकल उत्पाद बनाते है | इस अभिक्रिया का एक संतुलित समीकरण लिखिए |

उत्तर: संयोजन अभिक्रिया |

C + O2 – CO2

प्रश्न: वसायुक्त अथवा तैलीय खाद्य समाग्री को लम्बे समय तक रखने के लिए पैकिंग थैली में कौन सी गैस से युक्त किया जाता है | क्यों ?
उत्तर: थैली से ऑक्सीजन को हटाकर नाइट्रोजन युक्त किया जाता है इससे उपचयन की सम्भावना खत्म हो जाती है और थैली में रखे पदार्थ विकृतगंधित नहीं होते हैं|

प्रश्न: वसायुक्त अथवा तैलीय खाद्य समाग्रीयों के उपचयन से उनमें कौन से गुण आ जाते है ?
उत्तर: वे विकृतगंधित हो जाते है |

प्रश्न: वसायुक्त अथवा तैलीय खाद्य समाग्रीयों के उपचयन की गति धीमी करने के लिए दो महत्वपूर्ण उपाय लिखिए |
उत्तर:

  1. वायुरोधी बर्तन में रखने से उपचयन की गति हो जाती है |
  2. थैली से ऑक्सीजन को हटाकर नाइट्रोजन युक्त करने से उपचयन की संभावना ख़त्म हो जाती है |

प्रश्न: उस अभिक्रिया का नाम लिखिए जिनमें अभिकारकों के बीच आयनों का अदान-प्रदान होता है |
उत्तर: द्वि-विस्थापन अभिक्रिया |

प्रश्न: रासायनिक अभिक्रिया किसे कहते है ?
उत्तर: ऐसी प्रक्रियाएँ जिनमें नए गुणों वाले पदार्थों का निर्माण होता है, रासायनिक अभिक्रिया कहलाती है |

जैसे- दूध से दही का बनना, लोहे पर जंग लगना आदि |
प्रश्न: रासायनिक समीकरण किसे कहते हैं ?

उत्तर: जब किसी रासायनिक अभिक्रिया को संकेतों अथवा सूत्रों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है तो इसे रासायनिक समीकरण कहते है |
2H + O → H2O

प्रश्न: रासायनिक समीकरण के कितने भाग होते है ?
उत्तर: रासायनिक समीकरण के दो भाग होते है |

  1. अभिकारक – रासायनिक अभिक्रिया में भाग लेने वाले पदार्थ |
  2. उत्पाद – अभिक्रिया से उत्पन्न पदार्थ उत्पाद कहलाते है |

उदहारण- C + O2 → CO2

(अभिकारक)   (उत्पाद)

प्रश्न: असंतुलित रासायनिक समीकरण किसे कहते है ?
उत्तर: तीर के बाई ओर तथा दाई ओर के तत्वों के परमाणुओं की संख्या समान नहीं हो ऐसे समीकरण को असंतुलित रासायनिक समीकरण कहते है |

जैसे – 2Mg + O2 → MgO

(अभिकारक)    (उत्पाद)

तत्व अभिकारक उत्पाद

मैग्नीशियम

ऑक्सीजन

2

2

1

1

प्रश्न: यौगिक किसे कहते है ?
उत्तर: दो या दो से अधिक परमाणुओं के मेल से बने पदार्थ को यौगिक कहते है, एवं ये हमेशा निश्चित अनुपात में होते है | जैसे –

H2 O, H2 SO4, Cu SO4, and AlO3 इत्यादि |

प्रश्न: ऊष्मा के आधार पर रासायनिक अभिक्रिया कितने प्रकार की  होती है ?
उत्तर: ऊष्मा के आधार पर रासायनिक अभिक्रिया दो प्रकार की  होती है |

(1)   ऊष्माशोषी अभिक्रिया

(2)   ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया

प्रश्न: ऊष्माशोषी अभिक्रिया की परिभाषा उदहारण सहित दीजिये |
उत्तर: जिस अभिक्रिया से ऊष्मा का अवशोषण होता है उसे ऊष्माशोषी अभिक्रिया कहते हैं |

जैसे – N + O2 → NO2

इस अभिक्रिया में ऊष्मा का अवशोषण होता है |

प्रश्न: ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया की परिभाषा उदहारण सहित दीजिये |
उत्तर: जिस अभिक्रिया में ऊष्मा निकलती है उसे ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया कहते है | जैसे  –

C + O2 → CO2

प्रश्न: संयोजन अभिक्रिया से आप क्या समझते है ?
उत्तर: वे अभिक्रियाएँ जिनमे दो या दो से अधिक पदार्थ मिलकर एक नया पदार्थ बनाते है, उन्हें संयोजन अभिक्रिया कहते है |

उदहारण: 2Mg + O2 → 2MgO

इस अभिक्रिया में मैग्नीशियम एवं ऑक्सीजन मिलकर अभिक्रिया करते है और एक नया पदार्थ मैग्नीशियम ऑक्साइड बनाते है |

प्रश्न: उपचयन और अपचयन में अन्तर स्पष्ट कीजिये |
उत्तर: उपचयन और अपचयन एक दुसरे की पूरक अभिक्रियाएँ है, जैसे उपचयन में ऑक्सीजन की वृद्धि होती है तो अपचयन में ऑक्सीजन का ह्रास होता है |

प्रश्न: एक भूरे रंग का चमकदार तत्व X को वायु की उपस्थिति में गर्म करने पर वह काले रंग का हो जाता है |

  1. इस तत्व X एवं उस काले रंग के यौगिक का नाम बताईये |
  2. इस अभिक्रिया का समग्र समीकरण लिखिए |

उत्तर:

(1)   तत्व X कॉपर है और कला रंग का यौगिक कॉपर ऑक्साइड है |
(2) NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 1 Chemical Reactions and Equations (Hindi Medium)

प्रश्न: संक्षारण क्या है ? धातु को संक्षारित होने से बचाने के लिए तीन विधियों का नाम लिखो |

उत्तर: खुली वायु या नम वायु, जल के संपर्क में किसी धातु की सतह पर आती है तो इसकी सतह पर वायु धातु से अभिक्रिया कर एक पदार्थ बना लेता है जिससे धातु का श्रय होने लगता है­ इस परिघटना को संक्षारण कहते है |

धातु को संक्षारित होने से बचाने के लिए तीन विधियाँ निम्न है |

  1. जस्तीकरण करके
  2. पेंट करके
  3. तेल या ग्रीस लगाकर

प्रश्न: रसायनिक समीकरण को क्यों संतुलित किया जाता है ?
उत्तर: द्रव्यमान संरक्षण के नियम को संतुष्ट करने के लिए रासायनिक समीकरण को संतुलित किया जाता है |

प्रश्न : रासायनिक समीकरण को संतुलित क्यों किया जाता है ?
उत्तर : द्रव्यमान संरक्षण के नियम को संतुलित करने के लिए रासायनिक समीकरण को संतुलित किया जाता है |

प्रश्न : वायु में जलने से पहले मैग्नीशियम रिबन को साफ क्यों किया जाता है ?
उत्तर : वायु में जलने से पहले मैग्नीशियम रिबन को साफ इसलिए किया जाता है ताकि उसके उपरी सतह से धूलकण हट जाये जिससे इसकी सतह प्रत्यक्ष रूप से वायु के संपर्क में आ सके |

प्रश्न : उस अभिक्रिया का नाम बताये जिसमें किसी पदार्थ से ऑक्सीजन निष्कासित होती है |
उत्तर:  अवकरण अभिक्रिया |

प्रश्न : तापीय वियोजन क्या है ? इसका एक उदाहरण दीजिये |
उत्तर: ऐसी अभिक्रिया जिसमें गर्म करने पर कोई पदार्थ दो या दो से अधिक पदार्थों में विघटित हो जाता है उसे तापीय वियोजन कहते है |

उदाहरण:
कैल्शियम कार्बोनेट गर्म करने पर कैल्शियम ऑक्साइड तथा कार्बन डाइऑक्साइड में विघटित हो जाता है |

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NCERT Solutions for Class 10 Science in Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 2 Acids, Bases and Salts (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 2 Acids, Bases and Salts (Hindi Medium)

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Chapter 2. अम्ल, क्षार एवं लवण

अध्याय-समीक्षा:

  • अम्ल स्वाद में खट्टे होते हैं |
  • क्षार स्वाद में कड़वे होते हैं |
  • अम्ल एवं क्षार की जाँच के किए आप संश्लेषित सूचक जैसे मेथिल ऑरेंज एवं फिनाल्फथेलिन का भी उपयोग कर सकते हैं  |
  • कुछ ऐसे पदार्थ होते है जिसकी गंध अम्लीय या  क्षारकीय माध्यम में बदल जाती है | इन्हे गंधीय सूचक कहते हैं |
  •  क्षार एवं अम्ल की अभिक्रिया के स्मन्ही धात्विक ऑक्साइड अम्ल के साथ अभिक्रिया कर के लवण एवं जल प्रदान करते हैं  |
  • विलयन के विधुत धरा का प्रवाह आयर्नो दुवारा होता हैं  |
  • अम्ल के उप्स्थ्तित धनायन हैं |
  • अम्ल विल्यम में हाइड्रोजन आयन H+ उत्पन्न करता हैं |
  • जल की उपस्थिति में HCI में हाइड्रोजन आयन उत्पन्न होते हैं |
  • अम्ल-क्षारक सूचक रंजक या रंजकों के मिश्रण होते हैं जिनका उपयोग अम्ल एवं क्षारक की उपस्थिति को सूचित करने के लिए किया जाता है।
  • विलयन में H+ (aq) आयन के निर्माण के कारण ही पदार्थ की प्रकृति अम्लीय होती है। विलयन में OH (aq) आयन के निर्माण से पदार्थ की प्रकृति क्षारकीय होती है।
  • जब कोई अम्ल किसी धातु के साथ अभिक्रिया करता है तो हाइड्रोजन गैस का उत्सर्जन होता है। साथ ही संगत लवण का निर्माण होता है।
  • जब क्षारक किसी धातु से अभिक्रिया करता है तो हाइड्रोजन गैस के उत्सर्जन के साथ एक लवण का निर्माण होता है जिसका ऋण आयन एक धातु एवं ऑक्सीजन के परमाणुओं से संयुक्त रूप से निर्मित होता है।
  • जब अम्ल किसी धातु कार्बोनेट या धातु हाइड्रोजनकार्बोनेट से अभिक्रिया करता है तो यह संगत लवण कार्बन डाइऑक्साइड गैस एवं जल उत्पन्न करता है।
  • जल में अम्लीय एवं क्षारकीय विलयन विद्युत का चालन करते हैं क्योंकि ये क्रमशः हाइड्रोजन एवं हाइड्रॉक्साइड आयन का निर्माण करते हैं।
  • अम्ल या क्षारक की प्रबलता की जाँच pH (0-14) स्केल के उपयोग से की जा सकती है जो विलयन में हाइड्रोजन आयन की सांद्रता की माप होता है।
  • एक उदासीन विलयन के pH का मान 7 होता है जबकि अम्लीय विलयन के pH का मान 7 से कम एवं क्षारकीय विलयन के pH का मान 7 से अधिक होता है।
  • सभी जीवों में उपापचय की क्रिया pH की एक इष्टतम सीमा में होती है।
  • सांद्र अम्ल या क्षारक को जल के साथ मिश्रित करना एक अत्यन्त ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया है। अम्ल को जल में मिलाते समय सावधानियाँ रखनी चाहिए| अम्ल में थोडा थोडा करके जल मिलाना चाहिए जल में अम्ल नहीं मिलाना चाहिए |
  • अम्ल एवं क्षारक एक-दूसरे को उदासीन करके लवण एवं जल का निर्माण करते हैं।
  • लवण के एक सूत्र इकाई में जल के निश्चित अणुओं की संख्या को क्रिस्टलन का जल कहते हैं।
  • हमारे दैनिक जीवन एवं उद्योगों में लवण के कई उपयोग हैं।

अध्याय 2

Page 24:

Q1. पीतल एवं ताँबे के बर्तनों में दही एवं खट्टे पदार्थ क्यों नहीं रखने चाहिए?

उत्तर: पीतल एवं ताँबे के बर्तनों में दही एवं खट्टे पदार्थ इसलिए नहीं रखने चाहिए क्योंकि दही में मौजूद लैक्टिक अम्ल होते है | जो पीतल एवं ताँबे के बर्तनों से अभिक्रिया करके हानिकारक   ( विषैला ) यौगिक बनाते है | जिसके कारणवश ये खाने लायक नहीं रह जाते है |

Q2. धातु के साथ अम्ल कि अभिक्रिया होने पर सामान्यतः कौन सी गैस निकलती है? एक उदाहरण के द्वारा समझाइए। इस गैस की उपस्थिति की जाँच आप कैसे करेंगे?

उत्तर: धातु के साथ अम्ल कि अभिक्रिया होने पर सामान्यतः हाइड्रोजन गैस निकलती है|

2NaOH + Zn   =    Na2ZnO2 + H

जाँच – जलती हुई मोमबती को परखनली के मुंह के पास ले जाने पर फट – फट अर्थात् पॉप ध्वनि उत्पन्न होती है |

Q3. कोई धातु यौगिक ‘A’ तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के साथ अभिक्रिया करता है तो बुदबुदाहट उत्पन्न होती है। इससे उत्पन्न गैस जलती मोमबत्ती को बुझा देती है। यदि उत्पन्न यौगिकों में एक से कैल्सियम क्लोराइड हैं, तो इस अभिक्रिया के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण लिखिए।

उत्तर: धातु के यौगिक ‘A’CaCO3 ( कैल्सियम कार्बौनेट ) है |

CaCO3  (s) + 2HCl  (aq)    =     CaCl (aq) + CO2 (g) + H2O(l)

Page 27:

Q1. HCl, HNO3 आदि जलीय विलयन में अम्लीय अभिलक्षण क्यों प्रदर्शित करते हैं, जबकि ऐल्कोहॉल एवं ग्लूकोज़ जैसे यौगिकों के विलयनों में अम्लीयता के अभिलक्षण नहीं प्रदर्शित होते हैं?

उत्तर : HCl, HNO3 आदि जलीय विलयन में H+आयन बनता है जिसके कारण ये अम्लीय अभिलक्षण को प्रदर्शित करते हैं, जबकि ऐल्कोहॉल एवं ग्लूकोज़ जैसे यौगिकों के विलयनों में H+आयन नहीं बनता है जिसके कारण ये अम्लीयता के अभिलक्षण नहीं प्रदर्शित होते हैं |

Q2. अम्ल का जलीय विलयन क्यों विद्युत का चालन करता है?

उत्तर: अम्ल का जलीय विलयन विद्युत का चालन करता है क्योंकि अम्ल जलीय विलयन में H+आयन उत्पन्न करता है जिसके कारण ये  विद्युत् धारा का प्रवाह होता है  |

Q3. शुष्क हाइड्रोक्लोरिक गैस शुष्क लिटमस पत्र के रंग को क्यों नहीं बदलती है?

उत्तर: शुष्क हाइड्रोक्लोरिक गैस शुष्क लिटमस पत्र के रंग को  नहीं बदलती है क्योंकि जल कि अनुपस्थिति में HCl से  H+आयन उत्पन्न नहीं हो पाता है | सिर्फ जल कि उपस्थिति में HCl से  H+आयन उत्पन्न  होता है|

Q4. अम्ल को तनुकृत करते समय यह क्यों अनुशंसित करते हैं कि अम्ल को जल में मिलाना चाहिए,न कि जल को अम्ल में? 

उत्तर: अम्ल को तनुकृत करते समय यह अनुशंसित करते हैं कि अम्ल को जल में मिलाना चाहिए,न कि जल को अम्ल क्योंकि जल को सांद्र अम्ल में मिलने से वह तीव्र अभिक्रिया कर विस्फोट करते है | इसके कई दुष्परिणाम हो सकते है | इसलिए हमें कभी भी जल को अम्ल में नहीं मिलाना चाहिए बल्कि हमें  अम्ल को जल में मिलाना चाहिए|

Q5. अम्ल के विलयन को तनुकृत करते समय हाइड्रोनियम आयन H3O+ की संlद्रता कैसे प्रभावित हो जाती है?

उत्तर: अम्ल के विलयन को तनुकृत करते समय हाइड्रोनियम आयन की सांद्रता में (H3O+/OH)  प्रति इकाई आयतन में कमी हो जाती है ।

Q6. जब सोडियम हाइड्रॉक्साइड विलयन में अधिक क्षारक मिलाते हैं तो हाइड्रॉक्साइड आयन (OH) की सांद्रता कैसे प्रभावित होती है?

उत्तर: हाइड्रोक्साइड आयन (OH) की सांद्रता बढ़ जाती है |

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Q1. आपके पास दो विलयन ‘A’ एवं ‘B’ हैं। विलयन ‘A’ के PH का मान 6 है एवं विलयन ‘B’  के PH का मान 8 है। किस विलयन में हाइड्रोजन आयन की सांद्रता अधिक है? इनमें से कौन अम्लीय है तथा कौन क्षारकीय?

उत्तर: A  विलयन : PH = 6 , PH < 7

B  विलयन : PH = 8 , PH > 7

A विलयन में Hआयन की सांद्रता अधिक है |

Q2. H+(aq) आयन की सांद्रता का विलयन की प्रकृति पर क्या प्रभाव पड़ता है?

उत्तर: जैसे – जैसे हाइड्रोजन आयन H(aq) आयन कि सांद्रता बढती है विलयन और अधिक अम्ल होता है |

Q3. क्या क्षारकीय विलयन में H+​(aq) आयन होते हैं? अगर हाँ, तो यह क्षारकीय क्यों होते हैं?

उत्तर: हां, H+ आयन क्षारकीय है परन्तु इसकी सांद्रता (OH) आयनों की सांद्रता से कम होती इसलिए यह क्षारकीय होते है |

Q4. कोई किसान खेत की मृदा की किस परिस्थिति में बिना बुझा हुआ चूना (कैल्सियम
ऑक्साइड ), बुझा हुआ चूना ( कैल्सियम हाइड्रॉक्साइड) या चॉक  ( कैल्सियम कार्बोनेट ) का उपयोग करेगा? 

उत्तर: कोई किसान खेत की मृदा की अम्लीय परिस्थिति में बिना बुझा हुआ चूना (कैल्सियम
ऑक्साइड), बुझा हुआ चूना (कैल्सियम हाइड्रॉक्साइड) या चॉक (कैल्सियम कार्बोनेट) का उपयोग मिट्टी को उदासीन बनाने के लिए करेगा |

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Q1.CaOCl2 यौगिक का प्रचलित नाम क्या है?

उत्तर : CaOCl2 यौगिक का प्रचलित नाम विरंजक चूर्ण  है|

Q2. उस पदार्थ का नाम बताइए जो क्लोरीन से क्रिया करके विरंजक चूर्ण बनाता है।

उत्तर: शुष्क बुझा हुआ चूना |

Q3. कठोर जल को मृदु करने के लिए किस सोडियम यौगिक का उपयोग किया जाता है? 

उत्तर : कठोर जल को मृदु करने के लिए सोडियम कार्बौनेट जिसे धोने  का सोडा भी कहते है |

Q4. सोडियम हाइड्रोजनकार्बोनेट के विलयन को गर्म करने पर क्या होगा? इस अभिक्रिया के लिए समीकरण लिखिए|

उत्तर: सोडियम हाइड्रोजनकार्बोनेट के विलयन को गर्म करने पर निम्न अभिक्रिया होगा-
NCERT Solutions for Class 10 Science Chapter 2 Acids, Bases and Salts (Hindi Medium) 1

Q5. प्लास्टर ऑपफ पेरिस की जल के  साथ अभिक्रिया  के लिए समीकरण लिखिए।

उत्तर: CaSO4 . ½H2O + 1½ H2O  = CaSO4 . 2 H2O

अभ्यास

Q1. कोई विलयन लाल लिटमस को नीला कर देता है, इसका pH संभवतः क्या होगा?

(a) 1
(b) 4
(c) 5
(d) 10

उत्तर: (d) 10

Q2. कोई विलयन अंडे के पिसे हुए कवच से अभिक्रिया कर एक गैस उत्पन्न करता है जो चूने के पानी को दुधिया कर देती है। इस विलयन में क्या होगा?

(a) NaCl
(b) HCl
(c) LiCl
(d) KCl

उत्तर: (b) HCl

Q3. NaOH का 10 ml विलयन, HCl के 8 mL विलयन से पूर्णतः उदासीन हो जाता है। यदि हम NaOH के उसी विलयन का 20 mL लें तो इसे उदासीन करने के लिए HCl के उसी विलयन की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी?

(a) 4 mL
(b) 8 mL
(c) 12 mL
(d) 16 mL

उत्तर: (d) 16 mL

Q4. अपच का उपचार करने के लिए निम्न में से किस औषधि का उपयोग होता है ? 

(a) एंटीबायोटिक (प्रतिजैविक)
(b) एनालजेसिक (पीड़ाहारी)
(c) ऐन्टैसिड (प्रतिअम्ल)
(d) एंटीसेप्टिक (सडनरोधी)

उत्तर: (c) ऐन्टैसिड (प्रतिअम्ल)

Q5. निम्न अभिक्रिया के लिए पहले शब्द-समीकरण लिखिए तथा उसके बाद संतुलित समीकरण लिखिएः

(a)  तनु सल्फ्ऱयूरिक अम्ल दानेदार जिंक के साथ अभिक्रिया करता है।

(b) तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल मैग्नीशियम पट्टी के साथ अभिक्रिया करता है।
(c) तनु सल्फ्ऱयूरिक अम्ल ऐलुमिनियम चूर्ण के साथ अभिक्रिया करता है।
(d) तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल लौह के रेतन के साथ अभिक्रिया करता है।

उत्तर:

(a) Zn (s) + H2SO4 (aq) =  ZnSO4 (aq) + H2 (g)
(b) Mg (s) + 2HCl (aq)   =   MgCl2 (aq)  + H2 (g)
(c) 2Al (s) + 3H2SO4 (aq) = Al2(SO4)3 (aq) + H2 (g)
(d) Fe(s) + 2HCl (aq)   =   FeCl2 (aq)  + H2 (g)

Q6. एल्कोहोल एवं ग्लूकोज जैसे यौगिको में भी हाइड्रोजन होते है लेकिन इनका वर्गीकरण अम्ल कि तरह नहीं होता है | एक क्रियाकलाप द्वारा इसे साबित कीजिए |

उत्तर: ग्लूकोज़, ऐल्कोहॉल, हाइड्रोक्लोरिक अम्ल, सल्फ्रयूरिक अम्ल आदि का विलयन लीजिए। एक कॉर्क पर दो कीलें लगाकर कॉर्क को 100 mL के  बीकर में रख दीजिए। अब किलों को 6 वोल्ट की एक बैटरी के  दोनों टर्मिनलो के साथ एक बल्ब तथा स्विच के माध्यम से जोड़ दीजिए | अब बीकर में थोड़ा तनु HCl डालकर विद्युत धारा प्रवाहित कीजिए| इसी क्रिया को तनु सल्फ्रयूरिक अम्ल के साथ दोहराइए। एल्कोहोल एवं ग्लूकोज जैसे यौगिको में भी हाइड्रोजन होते है लेकिन इनका वर्गीकरण अम्ल कि तरह नहीं होता है क्योंकि ये Hआयन नहीं बनाता है |

Q7. आसवित जल विधुत का चालक क्यों नहीं होता जबकि वर्षा जल होता है ?

उत्तर : आसवित जल शुद्ध होते है | इसलिए इनमे विधुत का चालन नहीं होता है क्योकि विधुत के चालन के लिए आयनों की आवश्यकता होती है | जबकि वर्षा जल में विधुत का चालन होता है क्योकि इसमें थोड़ी मात्रा में अम्ल विद्यमान रहता है | जोंकी वायु में उपस्थित सल्फर – डाइआक्साइड और नाइट्रोजन डाइआक्साइड के साथ मिलकर इसे अम्लीय बना देते है |अम्लीय होने के कारण ये H+ आयन उत्पन्न करते है जिसके कारण विधुत का चालन होता है |

Q8. जल की अनुपस्थिति में अम्ल का व्यवहार अम्लीय क्यों नहीं होता है ?

उत्तर :  जल की अनुपस्थिति में अम्ल का व्यवहार अम्लीय नहीं होता है क्योंकि जल की उपस्थिति में ही H+आयन अम्ल से अलग होते है |

Q9. पाँच विलयनो A, B, C, D,व E की जब सार्वत्रिक सूचक से जांच कि जाती  हैतो pH के मान क्रमशः 4, 1, 11,7, एवं 9 प्राप्त होते है | कौन सा विलयन :

(a) उदासीन है ?
(b) प्रबल क्षारीय है ?
(c) प्रबल अम्लीय है ?
(d)दुर्बल अम्लीय है ?
(e) दुर्बल क्षारीय है?

pH के मानो को हाइड्रोजन आयन की सांद्रता के आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए |

उत्तर :

विलयन    pH का मान सार्वत्रिक सूचक से जांच  
A 4 दुर्बल अम्लीय है
B 1 प्रबल अम्लीय है
C 11 प्रबल क्षारीय है
D 7 उदासीन है
E 9 दुर्बल क्षारीय है

H+ आयन की सांद्रता जैसे – जैसे बढती है pH का मान उसी प्रकार घटता है |

C < E< D< A < B

Q10. परखनली ‘A’ एवं ‘B’ में समान लंबाई की मैग्नीशियम की पट्टी लीजिए। परखनली ‘A’ में हाइड्रोक्लोरिक अम्ल (HCl) तथा परखनली ‘B’ में ऐसिटिक अम्ल (CH3COOH) डालिए। किस परखनली में अधिक तेजी से बुदबुदाहट होगी तथा क्यों? 

उत्तर: परखनली ‘A’ में अधिक बुदबुदाहट होगी क्योंकि हाइड्रोक्लोरिक अम्ल एसेटिक अम्ल से अधिक प्रबल अम्ल है |

Q11.ताजे दूध के PH का मान  6 होता है | दही बन जाने पर PH के मान में क्या परिवर्तन होगा ? अपना उत्तर समझाइए |     

उत्तर: ताजे दूध के PH का मान 6 होता है | दही बनने की प्रक्रिया में लैक्टिक अम्ल का निर्माण होता है | इसलिए दही के PH का मान 6 से कम होगा |

Q12.एक ग्वाला ताजे दूध में थोड़ा बेकिंग सोडा मिलाता है |

(a) ताजा दूध के PH का मान 6 से बदल कर थोडा क्षारीय क्यों बना देता है ?
(b) इस दूध को दही बनने में अधिक समय क्यों लगता है ?

उत्तर:  (a) ताजा दूध के PH का मान 6 से बदल कर थोडा क्षारीय इसलिए बना देता है क्योंकि दूध में उपस्थित लैक्टोबेसिलस जीवाणु दूध को अम्लीय बना देता है | दूध में इसलिए बेकिंग सोडा मिलाया जाता है ताकि दूध लंबे समय क्षारीय बना रहे जिससे यह लम्बे समय तक बना रहे |

(b) इस दूध को दही बनने में अधिक समय  इसलिए लगता है क्योकि इस प्रक्रिया में बना लैक्टिक अम्ल ताजे दूध में मिला क्षारक  (बेकिंग सोडा) को पहले उदासीन करता है फिर इसे अम्ल में बदल देता है जिसके कारण दही बनता है |

Q13.प्लास्टर ऑफ़ पेरिस को आर्द्र – रोधी बर्तन में क्यों रखा जाना चाहिए ? इसकी व्याख्या कीजिए |

उत्तर: प्लास्टर ऑफ़ पेरिस को आर्द्र – रोधी बर्तन में इसलिए रखा जाना चाहिए क्योंकि यह आर्द्रता की उपस्थिति में जल को अवशोषित कर ठोस पदार्थ जिप्सम बनाती है | जिसके कारण इसमें जल के साथ मिलकर जमने का गुण नष्ट हो जाता है |

Q14. उदासीनीकरण अभिक्रिया क्या है ? दो उद्धरण दीजिए |

उत्तर:  वह अभिक्रिया जिसमे क्षारक एवं अम्ल अभिक्रिया कर जल एवं लवण का निर्माण करते है इस अभिक्रिया को उदासीनीकरण अभिक्रिया कहते है |इस अभिक्रिया में अम्ल तथा क्षारक एक दुसरे के प्रभाव को खत्म कर या उदासीन बना देते है|

Q15. धोने का सोडा एवं बेकिंग सोडा के दो – दो प्रमुख उपयोग बताइए | .

उत्तर: धोने का सोडा के उपयोग :-

  1. सोडियम कार्बोनेट का उपयोग काँच, साबुन एवं कागज उद्यगो में होता है |
  2. इसका उपयोग बोरेक्स जेसे सोडियम योगिक के उत्पादन में होता है |
  3. सोडियम कार्बोनेट का उपयोग घरों में साफ – सफाई के लिए होता है |
  4. जल की स्थाई कठोरता को हटाने के लिए इसका उपयोग होता है |

बेकिंग सोडा के  उपयोग :- 

  1. बेकिंग सोडा का उपयोग खाने कि चीजो को मुलायम , स्पंजी एवं खस्ता  बनाने के लिए किया जाता है |
  2. बेकिंग सोडा के  क्षारिय होने के करण ये पेट में अम्ल की मात्रा की अधिकता को कम या उदासीन करके राहत पहुचाने के लिए उपयोग किया जाता है |
  3. कभी – कभी इसका उपयोग खाने को शीघ्रता से पकाने के लिए भी किया जाता है |
  4. इसका उपयोग सोडा – अम्ल अग्निशामक में भी किया जाता है |

महत्वपूर्ण-प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1: CaOCl2 यौगिक का प्रचलित नाम क्या है ?

उत्तर: ब्लीचिंग पाउडर

प्रश्न 2: उस पदार्थ का नाम बताइए जो क्लोरीन से क्रिया करके विरंजक चूर्ण बनता है |

प्रश्न 3: कठोर जल को मृदु करने के लिए किस सोडियम यौगिक का उपयोग किया जाता है ?

उत्तर: Na2CO3.10H2O (धोने का सोडा)

प्रश्न 4: सोडियम हाइड्रोजनकार्बोनेट के विलयन को गर्म करने पर क्या होता होगा ? इस अभिक्रिया के लिए समीकरण लिखिए |

उत्तर: जब सोडियम हाइड्रोजन कार्बोनेट के विलयन को गर्म किया जाता है तो सोडियम कार्बोनेट, जल और कार्बन डाइऑक्साइड गैस उत्सर्जित होता है |

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प्रश्न 5: प्लास्टर ऑफ़ पेरिस की जल के साथ अभिक्रिया के लिए समीकरण लिखिए |

उत्तर:
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अतिरिक्त एवं महत्त्वपूर्ण प्रश्नोत्तर:

प्रश्न 1: दो प्राकृतिक संसूचकों के नाम लिखिए। 
उत्तर:

(i)  लिटमस पत्र
(ii)  हल्दी

प्रश्न 2: दो संश्लेषित संसुचकों  के नाम लिखों ।
उत्तर:

(i) मेथिल ऑरेंज
(ii) फीनॉल्फथेलिन

प्रश्न 3: कुछ ऐसे पदार्थ जिनकी गंध अम्लीय या क्षारकीय माध्यम में बदल जाती है।इन्हें क्या कहते है ?
उत्तर: गंधीय सूचक ।

प्रश्न 4: अम्ल के अवशिष्टों के साथ मिलकर धातु एक यौगिक बनाता है और हाइड्रोजन गैस निकालता है। इस यौगिक को क्या कहते है ?
उत्तर – लवण ।

प्रश्न 5: कैल्सियम कार्बोनेट के विविध रूपों के नाम लिखों ।
उत्तर – चुना पत्थर , खडिया , संगमरमर ।

प्रश्न 6: चुने के पानी में कार्बन डाइऑक्साइड गैस को प्रवाहित करने पर कैल्सियम कार्बोनेट का सफेद अवक्षेप तथा जल प्राप्त होता है।
(i) इस अभिक्रिया का समग्र समीकरण लिखिए ।
(ii) इस सफेद अवक्षेप को क्या कहते है ?
(iii) अत्यधिक मात्रा में कार्बन डाइऑक्साइड गैस को प्रवाहित करने पर क्या प्राप्त होता है।

उत्तर: 

(i) इस अभिक्रिया का समग्र समीकरण :
Ca(OH)2(aq) + CO2(g) → Ca CO3(s) + H2O (l)

(ii) कैल्शियम कार्बोनेट (CaCO3)

(iii) जल में विलयशील Ca(HCO3)2 (aq) प्राप्त होता है |

प्रश्न 7: अम्ल और क्षारक की आपसी अभिक्रिया जिसमें लवण तथा जल प्राप्त होता है इस अभिक्रिया को क्या कहते है ?

उत्तर: उदासीनीकरण अभिक्रिया ।

प्रश्न 8: उदासीनीकरण अभिक्रिया किसे कहते है ?

उत्तर: अम्ल और क्षारक की आपसी अभिक्रिया जिसमें लवण तथा जल प्राप्त होता है और वे एक दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देते है इस अभिक्रिया को उदासीनीकरण अभिक्रिया कहते है।

क्षारक + अम्ल → लवण + जल

प्रश्न 9: धात्विक आक्साइडों की प्रकृति क्या होती है ?

उत्तर: धात्विक आक्साइडों की प्रकृति क्षारकीय होती है ।

प्रश्न 10: अधात्विक आक्साइडों की प्रकृति क्या होती है ?

उत्तर: धात्विक आक्साइडों की प्रकृति अम्लीय होती है ।

प्रश्न 11: पीतल एवं ताँबे के बर्तनों में दही एवं खट्टे पदार्थ क्यों नहीे रखने चाहिए ?
उत्तर: दही एवं खट्टे पदार्थ की प्रकृति अम्लीय होती है इसमें उपस्थित अम्ल पीतल एवं ताँबे से तुरन्त अभिक्रिया कर बर्तन को नष्ट कर देते है । और इसमें रखे पदार्थ भी खराब हो जाते है।

प्रश्न 12: धातु के साथ अम्ल की अभिक्रिया होने पर समान्यतः कौन सी गैस निकलती है ? एक उदाहरण देकर समझाइए । इस गैस की उपस्थिति की जाँच कैसे करोगें ?

उत्तर – धातु के साथ अम्ल की अभिक्रिया होने पर समान्यतः हाइड्रोजन गैस निकलती है। जैसे-

2HCl + Mg → MgCl+ H(g)

इस गैस की उपस्थिति की जाँच के लिए जब हम जलती हुई मोमबती इस गैस के पास ले जाते है तो फट – फट की ध्वनी के साथ हाइड्रोजन गैस का दहन होता है।

प्रश्न 13: जल में धुलनशील क्षारक को क्या कहते है ?
उत्तर : क्षार

प्रश्न 14: हमारे शरीर में दाँतों का इनैमल एक सबसे कठोर पदार्थ हैं । चॉकलेट तथा मिठाई खाने से यह क्षय कैसे हो जाता हैैं ? इसकी रोकथाम करने के लिए क्या करना चाहिए ? इनैमल किसका बना होता हैं ? मुँह का pH मान कितना होता हैं ?

उत्तर – मुँह मेें उपस्थित बैक्टीरिया भोजन के पश्चात् मुँह में अपशिष्ट शर्करा तथा खाद्य पदार्थों का निम्नीकरण करके अम्ल उत्पन्न करते हैं । यह अम्ल मुँह के pH मान से कम हो जाता हैं जिससे दाँतो का क्षय होना शुरू हो जाता हैं । इसकी रोकथाम करने के लिए भोजन के पश्चात् मुँह साफ करना चाहिए । इनैमल कैल्शियम फॉस्फेटका बना होता हैं । मुँह का pH मान 5.5 होता हैं ।

प्रश्न 15: माँसपेशियों में क्रैम्प क्यो होते हैं ?
उत्तर – माँसपेशियों में लैक्टिक अम्ल की अधिकता के कारण क्रैम्प होते हैं ।

प्रश्न 16: एक पदार्थ  A वाशिग सोडे की सिरके से क्रिया से प्राप्त होता हैं । पदार्थ A क्या हैं ?
उत्तर: पदार्थ A सोडियम एसिटेट है, इस क्रिया का अभिक्रिया निम्न है |

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प्रश्न 17: किसी टूटी हुई हडड्ी को स्थिर रखने के लिए डॉक्टर श्वेत पाउडर की पानी में बनी पेस्ट का उपयोग करते हैं ।

  1. इस पदार्थ का नाम बताइए ।
  2. इसका रासायनिक सूत्र लिखों ।
  3. इस पदार्थ का एक विशेष गुण बताइए ।
  4. इस पदार्थ को आर्द्र रोधी बर्तन में क्यो रखा जाना चाहिए ।

उत्तर:

  1. इस पदार्थ का नाम प्लास्टर ऑफ पेरिस हैं ।
  2. इसका रासायनिक सूत्र CaSO4 . ½ H2O हैं ।
  3. इस पदार्थ का एक विशेष गुण यह हैं कि जल मिलाते ही तुरंत कठोर हो जाता हैं । इसलिए इसका उपयोग खिलौने बनाने में किया जाता हैं ।
  4. इस पदार्थ को आर्द्र रोधी बर्तन में इसलिए रखते हैं क्योंकि आर्द्र वायु से अभिक्रिया कर जिप्सम बनाता है

प्रश्न 18: तनुकरण किसे कहते है ?

उत्तर: जल में अम्ल या क्षारक मिलाने पर आयन की सांद्रता (H3O/OH) में प्रति इकाई आयतन में कमी हो जाती है , इस प्रक्रिया को तनुकरण कहते हैं ।

प्रश्न 19: दैनिक जीवन में pH का महत्व लिखिए ।
उत्तर:

  1. हमारा शरीर 7.0 से 7.8 pH परास के बीच कार्य करता है।
  2. मिटटी की pH की प्रकृति अम्लिय हो तो फसल के लिए अनुकुल नहीं होती है।
  3. हमारे उदर में हाइड्रोक्लोरिक अम्ल होता है जो उदर को हानि पहुॅचाए बिना पाचन में सहायता करता है।
  4. यदि मुॅह का चभ् मान 5.5 से कम हो तो दॉतो का क्षय हो जाता है।

प्रश्न 20: विरंजक चूर्ण का निर्माण कैसे होता है इसका तीन उपयोग लिखिए।

उत्तर : शुष्क बुझा हुआ चुना [Ca(OH)2] पर क्लोरिन कि क्रिया से विरंजक चूर्ण का निर्माण होता है।

Ca(OH)2 + Cl2 → CaOCl2 + H2O

विरंजक चूर्ण का उपयोग :

(i) वस्त्र उद्योग में सूती एवं लिनेन के विरंजन के लिए कागज की फैक्ट्री में लकड़ी के मज्जा एवं लौंड्री में साफ कपड़ों के विरंजन के लिए |

(ii) रासायनिक उद्योगों में एक उपचायक के रूप में |

(iii) पीने वाले जल को जीवाणु से मुक्त करने के लिए रोगाणुनाशक के रूप में |

प्रश्न 21: लिटमस पत्र कहाँ से प्राप्त होता है ?
उत्तर : यह थैलोफाइटा समुह के लिचेन पौधे से प्राप्त होता है।

प्रश्न 22: तीन प्राकृतिक पदार्थो का नाम बताइए जो अम्ल और क्षार की उपस्थ्तिि को सूचित करते है ?

उत्तर: 

  1. हल्दी
  2. लिटमस पत्र
  3. लाल बंदगोभी

प्रश्न 23: अम्ल और क्षारक के दो दो रासायनिक गुण लिखिए।

उत्तर: अम्ल के रासायनिक गुण:-

(i) यह जल के साथ H+ आयन प्रदान करता है।
(ii) अम्ल धातु के साथ अभिक्रिया कर लवण तथा हाइड्रोजन गैस प्रदान करता है।

क्षारक के रासायनिक गुण:-

(i) यह जल के साथ (OH)– आयन प्रदान करता है।
(ii) क्षारक अम्ल के साथ अभिक्रिया कर लवण तथा हाइड्रोजन गैस प्रदान करता है।

प्रश्न 24: आसवित जल विद्युत का चालक क्यों नहीं होता जबकि वर्षा जल होता है ?

उत्तर: आसवित जल विद्युत का चालक नहीं होता क्योंकि उसमें H+ आयन नहीं होता, आसवित जल उदासीन होता है। जबकि वर्षा जल की प्रकृति दुर्बल अम्लीय होता है। उसमें H+ आयन उपस्थित होते है जो विद्युत का चालन करते हैं ।

प्रश्न 25: पीतल एवं ताँबे के बर्तनों में दही एवं खट्टे पदार्थ क्यों नहीं रखते है ?

उतर: पीतल एवं ताँबे के बर्तनों में दही एवं खट्टे पदार्थ नहीं रखते क्योंकि दही एवं खट्टे पदार्थो में उपस्थित अम्ल पीतल तथा ताँबा से अभिक्रिया कर बर्तन को नष्ट कर देता है तथा पदार्थ का स्वाद बदल जाता है।

प्रश्न 26: कोई धातु यौगिक ‘A’ तनु हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के साथ अभिक्रिया करता है तो बुदबुदाहट उत्पन्न होती है। इससे उत्पन्न गैस जलती मोमबती को बुझा देती है । यदि उत्पन्न यौगिकों में से एक कैल्सियम क्लोराइड है , तो इस अभिक्रिया के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण लिखिए।

उत्तर:  Ca + 2HCl → CaCl2 + H2

प्रश्न 27: हमारे शरीर में दाँतों का इनैमल एक सबसे कठोर पदार्थ हैं । चॉकलेट तथा मिठाई खाने से यह क्षय कैसे हो जाता हैैं ? इसकी रोकथाम करने के लिए क्या करना चाहिए ? इनैमल किसका बना होता हैं ? मुँह का pH मान कितना होता हैं ?

उत्तर: भोजन के बाद मुँह साफ करने से इससे बचाव किया जा सकता है। मुँह की सफाई के लिए क्षारकीय दंत-मंजन का उपयोग करने से अम्ल की आधिक्य मात्रा को उदासीन किया जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप दंत क्षय को रोका जा सकता है।

दाँतों का इनैमेल कैल्शियम फॉस्फेट का बना होता है |

मुँह का pH मान 5.5 होता है |

प्रश्न 28: एक पदार्थ ‘A’ वाशिग सोडे की सिरके से क्रिया से प्राप्त होता हैं । पदार्थ A क्या हैं ?

उत्तर:  

प्रश्न 29: किसी टूटी हुई हड्डी को स्थिर रखने के लिए डॉक्टर श्वेत पाउडर की पानी में बनी वेस्ट का उपयोग करते हैं ।

(i) इस पदार्थ का नाम बताइए ।
(ii) इसका रासायनिक सूत्र लिखों ।
(iii) इस पदार्थ का एक विशेष गुण बताइए ।
(iv) इस पदार्थ को आर्द्र रोधी बर्तन में क्यो रखा जाना चाहिए ।

उत्तर: 

प्रश्न 30: सभी अम्लों मे क्या समानता है ? कोई एक समानता लिखिए |

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NCERT Solutions for Class 10 Science in Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

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Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी

प्रश्नावली 5.1

Ex 5.1 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?

(1) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15  रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |

Solution:

प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |

अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये

श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 …………………………..

जाँच:

a = 15

d1 = a2 – a1

= 23 – 15 = 8

d2 = a– a2

= 31 – 23 = 8

d3 = a– a3

= 39 – 31 = 8

चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है |

इसलिए दिया गया सूची A. P है |

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |

Solution:

माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 1

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |

Solution:

प्रथम मीटर का लागत = 150,

दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200

तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250

श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 ………………………

जाँच:

a = 150

d1 = a2 – a1

= 200 – 150 = 50

d2 = a– a2

= 250 – 200 = 50

d3 = a– a3

= 300 – 250 = 50

सार्व अंतर = 50

यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है |

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |

Solution:

पहले वर्ष की राशि = 10000

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 2

तीसरे वर्ष की राशि = 11664

श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 …………………

स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |

Ex 5.1 Class 10 गणित Q2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i)  = 10, = 10

Solution:

a = 10

a2 = a + d ⇒ 10 + 10 = 20

a3 = a + 2d ⇒ 10 + 2 × 10 = 30

a4 = a + 3d ⇒ 10 + 3 × 10 = 40

श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ………………….

प्रथम चार पद : 10, 20, 30 और 40

(ii) = –2, = 0

Solution:

a = –2

a2 = a + d ⇒ –2 + 0 = –2

a3 = a + 2d ⇒ –2 + 2 × 0 = –2

a4 = a + 3d ⇒ –2 + 3 × 0 = –2

श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ………………….

प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2

(iii) = 4, = – 3

Solution:

a = 4

a2 = a + d ⇒ 4 + – 3 = 1

a3 = a + 2d ⇒ 4 + 2 × – 3 = –2

a4 = a + 3d ⇒ 4 + 3 × – 3 = –5

श्रृंखला: 4, 1, – 3, –5 ………………….

प्रथम चार पद : 4, 1, – 3 और –5

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 3

(v) = – 1.25, = – 0.25

Solution:

a = – 1.25

a2 = a + d ⇒ – 1.25 + – 0.25 = – 1.5

a3 = a + 2d ⇒ – 1.25 + 2 × – 0.25 = –1.75

a4 = a + 3d ⇒ – 1.25 + 3 × – 0.25 = –2

श्रृंखला: – 1.25, – 1.5, –1.75, –2 ………………….

प्रथम चार पद : – 1.25, – 1.5, –1.75 और –2

Ex 5.1 Class 10 गणित Q4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

(i) 3, 1, – 1, – 3, . . .

Solution:

d1 = a2 – a1

= 1 – 3 = – 2

d2 = a– a2

= -1 – (1) = – 2

d3 = a– a3

= -3 – (-1) = -3 + 1 = – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = 3 + 4×(- 2) = 3 – 8 = – 5

a6 = a + 4d = 3 + 5×(- 2) = 3 – 10 = – 7

a7 = a + 4d = 3 + 6×(- 2) = 3 – 12 = – 9

– 5, – 7, – 9

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 4

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .

Solution:

a = – 1.2

d1 = a2 – a1

= –3.2 – (–1.2 )

= – 3.2 + 1.2 =  – 2

d2 = a– a2

= –5.2 – (–3.2 )

= – 5.2 + 3.2 =  – 2

d3 = a– a3

= –7.2 – (–5.2 )

= – 7.2 + 5.2 =  – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 1.2  + 4×(- 2) = – 1.2 – 8 = – 9.2

a6 = a + 4d = – 1.2  + 5×(- 2) = – 1.2  – 10 =  – 11.2

a7 = a + 4d = – 1.2  + 6×(- 2) = – 1.2  – 12 = – 13.2

⇒ – 9.2, – 11.2, – 13.2

(iv) – 10, – 6, – 2,  2, . . .

Solution:

a = – 10

d1 = a2 – a1

= –6 – (–10 )

= – 6 + 10 =  4

d2 = a– a2

= –2 – (–6 )

= – 2 + 6 =  4

d3 = a– a3

= 2 – (–2 )

= 2 + 2 =  4

सार्व अंतर = 4

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 10 + 4×(4) = – 10 + 16 = 6

a6 = a + 4d = – 10 + 5×(4) = – 10 + 20 =  10

a7 = a + 4d = – 10 + 6×(4) = – 10 + 24 = 14

⇒ 6, 10, 14

प्रश्नावली 5.2

कक्षा – 10 (NCERT Solution)

Ex 5.2 Class 10 गणित Q1.  निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है: 

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 5

Solution:

(i) a = 7, d = 3, n = 8 an = ?

an = a + (n – 1)d

a8 = 7 + (8 – 1)3

= 7 + 7 ×3 = 7 + 21

= 28

(ii) a = – 18, n = 10, an = 0, d = ?,

an = a + (n – 1)d

a10 = – 18 + (10 – 1)d

0    = -18 + 9d

9d = 18

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 6

(iii)  d = -3, n = 18, an = -5, a = ?

an = a + (n – 1)d

a18 = a + (18 – 1)d

-5   = a + 17(- 3)

-5 + 51 = a

a = 46

(iv) a = – 18.9,  d = 2.5,  an = 3.6  n = ?

an = a + (n – 1)d

3.6 = – 18.9 + (n – 1)2.5

3.6 + 18.9   = (n – 1)2.5

(n – 1)2.5  = 22.5

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 7

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, a= ?

an = a + (n – 1)d

= 3.5 + (105 – 1)0

= 3.5 + 0

= 3.5

Ex 5.2 Class 10 गणित Q2.  निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P: 10, 7, 4, …………………. का 30 वाँ पद है:

(A) 97         (B)  77      (C) –77     (D)  – 87

Solution:

a = 10, d = 7 – 10 = -3

30 वाँ पद = ?

a30 = a + 29d

= 10 + 29(-3)

= 10 – 87

= – 77

Correct Answer: (C) – 77

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 8
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 9
Correct Answer: (B) 22

Ex 5.2 Class 10 गणित Q3.  निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए | 

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 10

(i) a = 2, b = ?, c = 26 

Solution: 

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 11

Solution: (ii)  a2 = 13,

∴   a + d = 13  ……………. (1)

a4 = 3

∴   a + 3d = 3  ……………..(2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 3d – (a + d) = 3 – 13

a + 3d – a – d = -10

2d = – 10

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 12

d = -5

d  का मान समीo (1) में रखने पर

a + d = 13

a + (- 5) = 13

a = 13 + 5

a = 18

a3 = a + 2d = 18 + 2 (-5)

= 18 – 10 = 8

अत: 18, 13, 8, 3

Ex 5.2 Class 10 गणित Q4.  A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

Solution:

a = 3, d = 8 – 3 = 5, a= 78

a = a + (n – 1) d

78 = 3 + (n – 1) 5

78 – 3 = (n – 1) 5

75 = (n – 1) 5

n – 1 = 75/5

n – 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

अत: 16 वाँ पद 78 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q5.  निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

(i) 7, 13, 19, …………….. , 205

Solution:

a = 7, d = 13 – 7 = 6, a= 205

a = a + (n – 1) d

205 = 7 + (n – 1) 6

205 – 7 = (n – 1) 6

198 = (n – 1) 6

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 13

n – 1 = 33

n = 33 + 1

n = 34

इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 14

इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q6.  क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद – 150 है ? क्यों ?

Solution:

a = 11, d = 8 – 11 = – 3 और a= – 150

a = a + (n – 1) d

– 150 = 11 + (n – 1) – 3

– 150 – 11 = (n – 1) -3

– 161 = (n – 1) – 3

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 15

n – 1 = 53. 66

n = 53.66 + 1

n = 54.66

यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है

इसलिए – 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिएजिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Solution:

31वाँ पद = ?

a11 = 38

⇒a + 10d = 38 ………………… (1)

a16 = 73

⇒ a + 15d = 73 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 15d – (a + 10d ) = 73 – 38

a + 15d – a – 10d = 35

5d = 35

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 16

d = 7

समीo (1) में d का मान 7 रखने पर

a + 10d = 38

a = 10 (7) = 38

a = 38 – 70

a = – 32

अब, a31 = a + 30d

⇒ a31 = – 32 + 30(7)

⇒ a31 = – 32 + 210

⇒ a31 = 178

अत: 31 वाँ पद 178 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q8. एक A.P में 50 पद हैंजिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

A.P में 50 पद हैं |

अत: n = 50

a3 = 12

⇒ a + 2d = 12 ………………… (1)

और अंतिम पद 106 है।

a= 106

या a50 = 106

⇒ a + 49d = 106 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 49d – (a + 2d ) = 106 – 12

a + 49d – a – 2d = 94

47d = 94

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 17

d = 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 12

a = 2(2) = 12

a = 12 – 4

a = 8

अब, a29 = a + 28d

⇒ a29 = 8 + 28(2)

⇒ a29 = 8 + 56

⇒ a29 = 64

अत: 29 वाँ पद 64 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q9.  यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और –8 हैंतो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

Solution:

a3 = 4

⇒ a + 2d = 4 ………………… (1)

और नौवा पद – 8 है।

a= – 8

⇒ a + 8d = – 8 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 8d – (a + 2d ) = – 8 – 4

a + 8d – a – 2d = – 12

6d = – 12

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 18

d = – 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 4

a = 2(-2) = 4

a = 4 + 4

a = 8

अत: a = 8, और d = – 2

माना n वाँ पद शून्य है |

an = 0

a = a + (n – 1) d

⇒ 0 =  8  + (n – 1) -2

⇒ – 8 = (n – 1) -2

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 19

⇒ n – 1 = 4

⇒ n = 4 + 1 = 5

अत: 5 वाँ पद शून्य है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q10.  किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Solution:

चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।

∴ a17  – a10 = 7

⇒ a + 16d – (a + 9d) = 7

⇒a + 16d – a – 9d = 7

⇒ 7d = 7

⇒ d = 1

सार्व अंतर = 1

Ex 5.2 Class 10 गणित Q11.  A.P. : 3, 15, 27,  39, ……… का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

Solution:

a = 3, d = 15 – 3 = 12

a54 = a + 53d

= 3 + 53(12)

= 3 + 636

= 639

वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा

an = a54 + 132

= 639 + 132

= 771

a = a + (n – 1) d

⇒ 771 =  3  + (n – 1) 12

⇒ 771 – 3 = (n – 1) 12

⇒ 768 = (n – 1) 12

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 20
⇒ n – 1 = 64

⇒n = 64 + 1 = 65

अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q12.  दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 हैतो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

Solution:

माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a

और दुसरे A.P का प्रथम पद = a’ है |

और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है

प्रश्नानुसार,

a100 – a’100 = 100

a + 99d – (a’ + 99d) = 100

a + 99d – a’ – 99d = 100

a – a’ = 100 ……………. (1)

a1000 – a’1000 = a + 999d – (a’ + 999d)

= a + 999d – a’ – 999d

= a + a’

चूँकि a + a’ = 100 है समीo (1) से

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q13.  तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Solution:

तीन अंको की संख्या 100 ……………… 999 के बीच होती है |

अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:

105, 112, 119, …………………… 994

इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |

∴ a = 105, d = 7 और an = 994

a = a + (n – 1) d

⇒ 994 =  105  + (n – 1) 7

⇒ 994 – 105 = (n – 1) 7

⇒ 889 = (n – 1) 7

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 21

⇒ n – 1 = 127

⇒ n = 127 + 1 = 128

अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q14.  10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

Solution:

10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |

12, 16, 20, …………………… 248

∴ a = 12, d = 4 और an = 248

a = a + (n – 1) d

⇒ 248 =  12  + (n – 1) 4

⇒ 248 – 12 = (n – 1) 4

⇒ 236 = (n – 1) 4

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 22

⇒ n – 1 = 59

⇒ n = 59 + 1 = 60

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q15.  n के किस मान के लिएदोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, ………. और 3, 10, 17, ……………… के n वें पद बराबर होंगे?

Solution:

प्रथम A.P:  63, 65, 67, ……….

जिसमें, a = 63, d = 65 – 63 = 2

a = a + (n – 1) d

= 63 + (n – 1) 2

= 63 + 2n – 2

= 61 + 2n ……………….. (1)

द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ………………

जिसमें , a = 3, d = 10 – 3 = 7

a = a + (n – 1) d

= 3 + (n – 1) 7

= 3 + 7n – 7

= – 4 + 7n ……………….. (1)

चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से

61 + 2n = – 4 + 7n

61 + 4 = 7n – 2n

5n = 65

n = 65/5

n = 13

अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q16.  वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

Solution:

माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,

a3 = 16

a + 2d = 16 ………………… (1)

a7 – a= 12

⇒ a + 6d – (a + 4d) = 12

⇒ a + 6d – a – 4d = 12

⇒ 2d = 12

⇒ d = 6

अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर ‘

a + 2d = 16

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 16 – 12

a = 4

a, a + d, a + 2d, a + 3d ………………

⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ……………

अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 …………………………

Ex 5.2 Class 10 गणित Q17. A.P. : 3, 8, 13, …, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

दिया गया A.P. : 3, 8, 13, …, 253 है |

प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 – 3 = 5

परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,

और सार्व अंतर d = – 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]

a20 = a + 19d

= 253 + 19(-5)

= 253 – 95

= 158

अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q18. किसी A.P.  के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.  के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

a4 + a8 = 24

या    a + 3d + a + 7d = 24

या    2a + 10d = 24

या    2(a + 5d) = 24

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 23

या    a + 5d = 12  ……………………. (1)

इसीप्रकार,

A6 + a10 = 44

या    a + 5d + a + 9d = 44

या    2a + 14d = 44

या    2(a + 7d) = 44

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 24

या    a + 7d = 22  ……………………. (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

(a + 7d) – (a + 5d)  = 22  – 12

या    a + 7d – a – 5d  = 10

या    2d = 10

या    d = 5

समीकरण (1) में d = 5 रखने पर

a + 5(5) = 12

या    a + 25 = 12

या    a = 12 – 25

या    a = – 13

अत: A.P के प्रथम 3 पद है :

-13, -13 + 5, -13 + 2(5)

-13, – 8, – 3

Ex 5.2 Class 10 गणित Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?

Solution:

दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :

A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000

a = 5000, d = 200, an = 7000

an = a + (n – 1)d

7000 = 5000 + (n – 1)200

7000 – 5000 = (n – 1)200

2000 = (n – 1)200

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 25

n – 1 = 20

n = 20 + 1

n = 21 वर्ष

अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |

1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

Solution:

इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :

A.P: 5, 6.75, 8.50, ………………………, 20.75

A = 5, d = 1.75, an = 20.75

an = a + (n – 1)d

20.75 = 5 + (n – 1)1.75

20.75 – 5 = (n – 1)1.75

15.75 = (n – 1)1.75

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 26

n – 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10

प्रश्नावली 5.3

Ex 5.3 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

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NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium 5.1 28

Solution:

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12

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Solution:

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,

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Ex 5.3 Class 10 गणित Q2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:

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(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution: 

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(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

Solution:

a = 34, d = 32 – 34 = -2, an = 10

a= a + (n -1)d

10 = 34 + (n – 1)-2

10 – 34 = (n – 1)-2

-24 = (n – 1)-2

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 35

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution:

a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, an =  –230

a= a + (n -1)d

–230 = –5 + (n – 1)–3

–230 + 5 = (n – 1) –3

–225= (n – 1)–3

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 36

Ex 5.3 Class 10 गणित Q3. एक A.P. में,

(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है  n और Sn ज्ञात कीजिए 

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 37

(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और S13 ज्ञात कीजिए ।

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 38

(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और S12 ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 39

अत: a = 4 और S12 = 246 है |

(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और a10 ज्ञात कीजिए ।

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 40

प्रतिस्थापन विधि से समीकरण (i) और (ii) का हल करने पर

समीकरण (i) से

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 41

(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।

हल : d = 5 और S9 = 75 दिया है

S9 = 75

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 42
NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 43

(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और an ज्ञात कीजिए ।

हल : a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है ।

Sn = 90

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 44

(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और d ज्ञात कीजिए ।

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 45

अत: अंतिम पद = 62 और सार्वअंतर = 54/5

(viii) an = 4, d = 2 और S= –14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 46

=> n = 7 और  n = – 2 (Not Applicable क्योंकि n हमेशा धनात्मक होता है)

अत: n = 7

n = 7 का मान (i) में रखने पर

a = 6 – 2n   …………… (i)

a = 6 – 2(7)

a = 6 – 14

a = – 8

अत: n = 7 और a = – 8 है |

(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 47

(x) = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 48

Ex 5.3 Class 10 गणित Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25 ……….. के कितने पद लेने चाहिए ?

हल : दिया है : A.P. : 9, 17, 25 ………..

a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636 और n = ?

अब, Sn = 636

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 49

Ex 5.3 Class 10 गणित Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल : दिया है : a = 5, an = 45 और Sn = 400

अब, an = 45

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium 5.1 50

Ex 5.3 Class 10 गणित Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

हल : a1 = 17, an = 350 और d = 9

अब, an = 350

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 51

Ex 5.3 Class 10 गणित Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

हल : दिया है : a22 = 149 d = 7 और n = 22

a22 = a + 21 d

149 = a + 21×7

149 = a + 147

a = 149 – 147

a = 2

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 52

Ex 5.3 Class 10 गणित Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

हल : दिया है :

a2 = 14

=> a + d = 14  ………… (i)

a3  = 18

d = a3 – a2

= 18 – 14

= 4

d का मान समीकरण (i) में रखने पर

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Ex 5.3 Class 10 गणित Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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Ex 5.3 Class 10 गणित Q10. दर्शाइए कि a1, a2, . . ., an, . . . से एक A.P. बनती हैयदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:

(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n

साथ हीप्रत्येक स्थिति मेंप्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 56
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 57

Ex 5.3 Class 10 गणित Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 हैतो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1 ) क्या है?  प्रथम दो पदों का योग क्या है?  दूसरा पद क्या है?  इसी प्रकार,  तीसरे10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है

Sn = 4n – n2 ………… (i)

n की जगह n  1 रखने पर

Sn-1 = 4(n 1) – (n  1)2

= 4n  4 – (n2  2n + 1)

= 4n  4 – n2 + 2n  1

= – n2 + 6n  5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = Sn  Sn-1

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है

Sn = 4n – n2 ………… (i)

n की जगह n  1 रखने पर

Sn-1 = 4(n 1) – (n  1)2

= 4n  4 – (n2  2n + 1)

= 4n  4 – n2 + 2n  1

= – n2 + 6n  5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = 4n – n2  (– n2 + 6n  5)

=> (an) = 4n – n2 + n2  6n + 5

=> (an) =  2n + 5

अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 – 4 = 4

(an) =  2n + 5

दूसरा पद (a2) =  2(2) + 5  =  4 + 5 = 1

तीसरा पद (a3) =  2(3) + 5  =  6 + 5 = 1

10 वाँ पद (a10) =  2(10) + 5  =  20 + 5 = 15

(an) = 4n – n2  (– n2 + 6n  5)

=> (an) = 4n – n2 + n2  6n + 5

=> (an) =  2n + 5

अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 – 4 = 4

(an) =  2n + 5

दूसरा पद (a2) =  2(2) + 5  =  4 + 5 = 1

तीसरा पद (a3) =  2(3) + 5  =  6 + 5 = 1

10 वाँ पद (a10) =  2(10) + 5  =  20 + 5 = 15

Ex 5.3 Class 10 गणित Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 58

Ex 5.3 Class 10 गणित Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 59

Ex 5.3 Class 10 गणित Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 60

Ex 5.3 Class 10 गणित Q15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके मेंएक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिएजुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रुदूसरे दिन के लिए 250 रुतीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादिअर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगीयदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 61

Ex 5.3 Class 10 गणित Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम हैतो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 62

Ex 5.3 Class 10 गणित Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा  यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा  उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा  प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं  इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?

हल :

कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक अनुभाग इस प्रकार पेड़ लगाता है ।

अत: 1, 2, 3, 4, …………………. 12

चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है ।

अत: अब प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ हो जायेंगे ।

इसलिए, 3(1), 3(2), 3(3), 3(4) ……………………. 3(12)

या      3, 6, 9, 12, ………………….. 36

a = 3, d = 3 और n = 12

कुल पेड़ों की संख्या = S12

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 63

Ex 5.3 Class 10 गणित Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm …. वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 64

हल : दिया है अर्धवृतों की लम्बाईयाँ l1, l2, l3, l4 क्रमश:  इत्यादि अर्धवृत्त हैं ।

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 65
NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 66

Ex 5.3 Class 10 गणित Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे,  उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे,  इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 67
CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 68

यहाँ  4 संभव नहीं है अत: अंतिम अर्थात सबसे उपरी पंक्ति में लठ्ठों की संख्या 5 है और पंक्तियों की संख्या 16 है |

Ex 5.3 Class 10 गणित Q20. एक आलू दौड़ (potato race) मेंप्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई हैजो पहले आलू से 5m की दूरी पर हैतथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती हैनिकटतम आलू को उठाती हैउसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती हैदूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती हैउसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती हैजब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 69

प्रश्नावली 5.4

Ex 5.4 Class 10 गणित Q1. A.P : 121,117,113,…., का कौन -सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?

[संकेत : an<0 के लिए n ज्ञात कीजिए | ]

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Ex 5.4 Class 10 गणित Q2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है | इस A.P.             के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए |
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Ex 5.4 Class 10 गणित Q3.  एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं| (देखिए आकृति 5.7) |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 70

डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है         और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दुरी           2,1/2 m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ?

[संकेत : डंडों की संख्या = 250/ 25 हैं |]
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Ex 5.4 Class 10 गणित Q4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है |                  दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का          योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है | x का मान ज्ञात कीजिए |

[ संकेत : Sx – 1 = S49  – S है | ]
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Ex 5.4 Class 10 गणित Q5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं | इन                      सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट ( concrete) की बनी है प्रत्येक              सीढ़ी में 1/4 m की चौड़ाई है और 1/2 m का फैलाव  (चौड़ाई) है | (देखिए आकृति 5.8 )| इस

चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए |

[ संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = 1/4 x 1/2 x 50m3 है |]

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 71
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