NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers (Hindi Medium)

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Chapter 1. वास्तविक संख्याएँ

अभ्यास 1.1

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये | 

 (i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255

हल:  

(1)    135 और 225

a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

225 = 135 ×1 + 90

135 = 90 ×1 + 45

90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 45

हल:

(ii)    196 और 38220

a = 38220, b = 196  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196      {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

हल:

(iii)   867 और 255

a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

b = 196  {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}

HCF = 196

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र.2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |

हल:

दर्शाना है: a = 6q + 1, 6q+3 या  6q+5

माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है;  जहाँ b = 6 होगा,

जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;

जहाँ 0 ≤ r < b

यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |

शेषफल होगा 1 या 3 या 5

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;

a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है | दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है | उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?

हल:

स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)

a = 616, b = 32  {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }

युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से

a = bq + r (तब)

616 = 32 ×19 + 8  {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }

32 = 8 × 4 + 0

b = 8 {b का मान HCF होता है}

HCF = 8

इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |

हल :

दर्शाना है : a2 = 3m or 3m + 1

a = bq + r

माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3

तब a = 3q + r  कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0

इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2

अब हम पाते है;

⇒ a2 = (3q + 0)2 or (3q + 1)2 or (3q +2)2

⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 4

⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 3 + 1

⇒ a2 = 3(3q2) or 3(3q2 + 2q) + 1 or 3(3q2 + 4q + 1) + 1

यदि m = (3q2) or (3q2 + 2q)  or (3q2 + 4q + 1) हो तो

हम पाते है कि ;

a2 = 3m or 3m + 1 or 3m + 1

Ex 1.1 Class 10 गणित प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

हल:

माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;

युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;

a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b

b = 9 रखने पर

a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9

जब r = 0 हो;

a = 9q + 0 = 9q

a3  = (9q)3 = 9(81q3) या 9m जहाँ m = 81q3

जब r = 1 हो

a = 9q + 1

a3 = (9q + 1)3 = 9(81q3 + 27q2 + 3q) + 1

= 9m + 1  जहाँ m = 81q3 + 27q2 + 3q

जब r = 2 हो तो

a = 9q + 2

a3  = (9q + 2)3 = 9(81q3 + 54q2 + 12q) + 8

= 9m + 2  जहाँ m = 81q3 + 54q2 + 12q

अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |

प्रश्नावली 1.2

Ex 1.2 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140   

हल:

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140 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 5 × 7

(ii) 156

हल:

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156 का अभाज्य गुणनखंड
= 22 × 3 × 13

(iii) 3825

हल:

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3825 का अभाज्य गुणनखंड
= 32 × 52 × 17

(iv) 5005

हल:

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5005 का अभाज्य गुणनखंड
= 5 × 7 × 11 × 13

(v) 7429

हल:

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7429 का अभाज्य गुणनखंड
= 17 x 19 x 23

Ex 1.2 Class 10 गणित Q2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है| 

(i) 26 and 91

हल:

26 = 2 × 13

91 = 7 × 13

सार्व गुणनखंड = 13

∴ HCF = 13

LCM = 2 × 7 × 13 = 182

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

26 × 91 = 13 × 182

2366 =  2366

इति सिद्धम |

(ii) 510 and 92

हल:

510 = 2 × 3 × 5 × 17

92 = 2 × 2 × 23

सार्व गुणनखंड = 2

∴ HCF = 2

LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 =  23460

अब, जाँच,

दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

510 × 92 = 2 × 23460

46920 =  46920

इति सिद्धम |

(iii) 336 and 54

हल:

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7

54 = 2 × 3 × 3 × 3

सार्व गुणनखंड = 2 × 3

∴ HCF = 6

LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 =  3024

जाँच,

दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF

N1 × N2 = LCM × HCF

336 × 54 = 6 × 3024

18144 =  18144

इति सिद्धम |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |

(i) 12, 15 and 21

हल:

12 = 2 × 2 × 3

15 = 5 × 3

21 = 7 × 3

सार्व गुणनखंड = 3

HCF = 3

​LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420

(ii) 17, 23 and 29

हल:

17 = 1 × 17

23 = 1 × 23

29 = 1 × 29

HCF = 1

LCM = 17 × 23 × 29 = 11339

(iii) 8, 9 and 25

हल:

8 = 2 × 2 × 2

9 = 3 × 3

25 = 5 × 5

यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है |

∴ HCF = 1

LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

= 8 × 9 × 25

= 1800

Ex 1.2 Class 10 गणित Q4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए | 

हल:

HCF (306, 657) = 9

LCM × HCF = ​N1 × N2

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LCM = 22338

Ex 1.2 Class 10 गणित Q5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है | 

हल:

6n का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3 )n

जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5 )n के रूप का होता है |

अत:, 6n शून्य पर समाप्त नहीं होगी |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?

हल :

माना A = 7 × 11 × 13 + 13

= 13 (7 × 11 + 1)

= 13 (77 + 1)

= 13 × 78

अत: यह एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

इसीप्रकार,

माना B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)​

= 5 × (1008 + 1)

= 5  ×  1009

अत: यह भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |

Ex 1.2 Class 10 गणित Q7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल: 

एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |

रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |

वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे |

अत:

18 = 2 × 3 × 3

12 = 2 × 2 × 3

HCF = 2 × 3 = 6

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= 36 मिनट |

प्रश्नावली 1.3 

Ex 1.3 Class 10 गणित Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है |

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | 

इसलिए,

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यहाँ 5 aको विभाजित करता है अत: 5 a को भी विभाजित करेगा | ….(1)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: a = 5c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है अर्थात a का 5 कोई गुनाखंड है |]

5b2 = a2 में a = 5c रखने पर

⇒          5b2 = (5c)2

⇒          5b2 = 25c2

⇒            b2 = 5c2

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यहाँ 5 bको विभाजित करता है अत: 5 b को भी विभाजित करेगा | ….(2)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 5 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

अत: √5 एक अपरिमेय संख्या है |

Ex 1.3 Class 10 गणित Q2.  सिद्ध कीजिए  कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

हल :

इसके विपरीत मान लीजिए कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

हम किसी भी परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q  ≠ 0 है | 

इसलिए,

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और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं |

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चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 2 तथा 3 भी पूर्णांक है |

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इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि √5 परिमेय संख्या है |

ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है |

अत: 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है |

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यहाँ 2 bको विभाजित करता है अत: 2, b को भी विभाजित करेगा | ….(1)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

अत: b = 2c माना      [ क्योंकि a 5 द्वारा विभाजित होता है | ]

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यहाँ 2 aको विभाजित करता है अत: 2 a को भी विभाजित करेगा | ….(2)

प्रमेय 1.3 द्वारा ]

समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि 2 a तथा b दोनों को विभाजित करता है जिसमें 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है |

इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a तथा b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, क्योंकि हमने a तथा b को सह-अभाज्य प्राप्त किया था |

यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि

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प्रश्नावली 1.4 

Ex 1.4 Class 10 गणित Q1. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं :

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हल :

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हर का अभाज्य गुणनखंड 55 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 23 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 5 × 7 × 13 है और इसे 2× 5n के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है अत: यह एक असांत दशमलव प्रसार है |

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हर का अभाज्य गुणनखंड 26 × 52 है और यह 2× 5n के रूप में व्यक्त है अत: यह एक सांत दशमलव प्रसार है |

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Q2. ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं |

हल : प्रश्न संख्या 1 में सांत दशमलव प्रसार वाले प्रश्न निम्नलिखित हैं |

(i), (ii), (iii), (iv), (vi), (viii) और (ix)

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

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Chapter 3. दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3.1 

Ex 3.1 Class 10 गणित Q1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा |’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : 

माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष

7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y – 7 वर्ष

स्थित – I

x – 7 = 7(y – 7)

x – 7 = 7y – 49

x – 7y = 7 – 49

x – 7y = – 42   ……… (1)

3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष

स्थित – II

x + 3 = 3(y + 3)

x + 3 = 3y + 9

x – 3y = 9 – 3

x – 3y = 6 ……. (2)

बीजगणितीय रूप में :

x – 7y = – 42   ……… (1)

x – 3y = 6 ……. (2)

​ग्राफीय रूप में प्रदर्शन:

x – 7y = – 42

x = – 42 + 7y

 x  -7  0  7
 y  5  6  7

x – 3y = 6

x = 6 + 3y

 x  0  -3  6
 y  -2  -3  0

NCERT Solutions class 10 maths chapter 3 exercise 3.1 in Hindi medium PDF

Ex 3.1 Class 10 गणित Q2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 गेंदे खरीदी | बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं | इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये

और एक गेंद का मूल्य = y रुपये

अत: बीजगणितीय निरूपण

3x + 6y = 3900 ………. (1) और

x + 2y = 1300 ………. (2)

समी० (1) से

3x + 6y = 3900

3(x + 2y) = 3990

या x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

 x 700 500 300
 y 300 400 500

इसी प्रकार समी० (2) से

x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

 x 700 500 300
 y 300 400 500

ग्राफीय निरूपण 

class 10 maths solutions chapter 3 exercise 3.1 in Hindi

Ex 3.1 Class 10 गणित Q3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था एक महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |   

हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया

और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया

अत: बीजगणितीय निरूपण :

2x + y = 160  ……… (1)

4x + 2y = 300 …….. (2)

ग्राफीय निरूपण : 

समी० (1) से

2x + y = 160

y = 160 – 2x

अब समी० (2) से

4x + 2y = 300

या 2x + y = 150

y = 150 – 2x

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.1 in Hindi Medium

प्रश्नावली 3.2 

Ex 3.2 Class 10 गणित Q1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया | यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

माना लड़कियों की संख्या = x

तथा लड़कों की संख्या = y

प्रश्नानुसार,

लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है |

इसलिए,  x + y = 10  …….. (1)

लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |

इसलिए,  x – y = 4  …….. (2)

समी० (1) के लिए तालिका

x + y = 10

⇒ x = 10 – y

 x  5  6  7
 y  5  4  3

समी० (2) के लिए तालिका

x – y = 4

⇒ x = 4 + y

 x  5  6  7
 y  1  2  3

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 in Hindi

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (7, 3) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, लड़कियों कि संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है |

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रू. है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रू. है | एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए |

हल :

माना एक पेन्सिल का मूल्य = x रू०

और एक कलम का मूल्य = y रू०

प्रश्नानुसार,

5x + 7y = 50 ……… (1) और

7x + 5y = 46  ……..(2)

समी० (1) से

5x + 7y = 50

⇒ 5x = 50 – 7y

NCERT Solutions For Maths Class 10 Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 5
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 in Hindi Medium

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है |

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(i) 5x – 4y +8 = 0             

   7x + 6y – 9 = 0  

(ii) 9x +3y + 12 = 0               

   18x + 6y + 24 = 0

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

    2x – y + 9 = 0

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हल : 

(ii) 9x + 3y + 12 = 0 

    18x + 6y + 24 = 0

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हल :  

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

      2x – y + 9 = 0

a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10

a2 = 2, b2 = -1, c2 = 9

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हल : 

(i) 3x + 2y = 5;  2x  3y = 7      

a1 = 3, b1 = 2, c1 = 5

a2 = 2, b2 = -3, c2 = 7

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हल : 

(ii) 2x  3y = 8;  4x  6y = 9

a1 = 2, b1 = -3, c1 = 8

a2 = 4, b2 = -6, c2 = 9

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Ex 3.2 Class 10 गणित Q4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) x+y = 5,   2x +2y = 10

(ii) x – y = 8,  3x – 3y = 16

(iii) 2x + y -6 = 0, 4x- 2y – 4 = 0

(iv) 2x – 2y- 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0 

हल : 

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Ex 3.2 Class 10 गणित Q5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36m है | बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m

और  चौड़ाई = y m है |

अर्धपरिमाप = 36 m

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अत: बाग की लंबाई = 20 मीटर

और चौड़ाई = 16 मीटर

Ex 3.2 Class 10 गणित Q6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है | दी चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि 

(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों |           (ii) समांतर रेखाएँ हों|

(iii) संपाती रेखाएँ हों |

हल : 2x + 3y – 8 = 0  ………… (i)  (दिया है)

हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो

रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए

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Ex 3.2 Class 10 गणित Q7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए | x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए |

हल :

x – y + 1 = 0   …………. (i)

3x + 2y – 12 = 0 ………….(ii)

समीकरण (i) से

x – y + 1 = 0

या y = x + 1

अब x का मान 0, 1 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: 1, 2 और 3 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है –

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अब इसमें x का मान 0, 2 और 4 रखने पर y का मान क्रमश: 6, 3 और 0 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है |

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प्रश्नावली 3.3

Ex 3.3 Class 10 गणित Q1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

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हल Q1:

(i) x + y = 14  ………… (i)

   x – y = 4    ………… (ii)

प्रतिलोपन विधि से

समीकरण (ii) से

x – y = 4

x = 4 + y

अब समीकरण (i) में x का मान 4 + y रखने पर

x + y = 14

या (4 + y) + y = 14

या 4 + 2y = 14

या 2y = 14 – 4

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अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है –

x = 2 और y = 3 

Ex 3.3 Class 10 गणित Q2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |

हल :

2x + 3y = 11 …………. (i)

2x – 4y = – 24 ……….. (ii)

समीकरण (i) से

2x + 3y = 11

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अब m का मान प्राप्त करने के लिए x और y का मान y = mx + 3 में रखने पर

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Ex 3.3 Class 10 गणित Q3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :

(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल : माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है |

तो प्रश्नानुसार,

स्थिति (I)

x – y = 26 …………. (i)

स्थिति (II)

x = 3y     …………. (ii)

अब समीकरण (i) में x = 3y रखने पर

x – y = 26

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(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल :

माना दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण x है

और छोटा कोण y है |

अत: स्थिति (II)

x – y = 18°  …………… (i)

x + y = 180°  ……….. (ii)

(संपूरक कोणों का योग 180° होता है |)

अब समीकरण (i) से

x – y = 18°

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(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|

हल :

माना एक बल्ले का मूल्य x रुपये

और एक गेंद का मूल्य y रुपये है |

स्थित I

7 बल्ले + 6 गेंद = 3800

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अत: एक बल्ले का मूल्य 500 रुपया है और एक गेंद का मूल्य 50 रुपया है |

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा ज्ञात कीजिए और एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा?

हल : माना टैक्सी का नियत भाडा x रुपया है |

और प्रत्येक अतिरिक्त प्रति किलोमीटर के लिए भाडा y रुपया है |

स्थिति I

x + 10y = 105 ……….. (i)

स्थिति II

x + 15y = 155 ………… (ii)

समीकरण (i) से

x + 10y = 105

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अत: नियत भाडा 5 रुपया और अतिरिक्त किराया 10 रुपया है |

25 km के लिए भाडा = x + 25y

= 5 + 25(10)

= 5 + 250

= 255 रुपये

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(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है?   

हल : माना जैकब की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु y वर्ष है |

स्थिति I

पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु = x + 5 वर्ष

और उसके पुत्र की आयु = y + 5 वर्ष

अत: x + 5 = 3(y + 5)
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अत: जैकब की वर्त्तमान आयु 40 वर्ष और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु 10 वर्ष है |

प्रश्नावली 3.4 

Ex 3.4 Class 10 गणित Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ? 

(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4      

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7

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विलोपन विधि (Substitution Method) : इस विधि में समीकरण (i) और समीकरण (ii) के चर x या y किसी एक चर के गुणांकों (coefficients)को बराबर किया जाता है और फिर इन समीकरणों को एक दुसरे में से घटाया या जमा किया जाता है | घटाने पर जिस चर को हमने बराबर किया था वह विलोपित हो जाता है | और तब अन्य चर का मान प्राप्त करते है, और उस चर के मान को किसी भी समीकरण में रखने पर विलोपित चर का मान प्राप्त हो जाता है |

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अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1 ​

हल :(iii) 3x – 5y – 4 = 0

या       3x – 5y = 4 ……… (i)

9x = 2y + 7

या       9x – 2y + 7
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अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = – 3

Ex 3.4 Class 10 गणित Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :
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(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर

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(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?

हल : माना नूरी की आयु x वर्ष

और सोनू की आयु y वर्ष

स्थिति I

पाँच वर्ष पूर्व,

नूरी की आयु = x – 5 वर्ष

सोनू की आयु = y – 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x – 5 = 5(y – 5)

या  x – 5 = 5y – 25

या  x – 5y = 5 – 25

या  x – 5y = – 20 ………… (i)

स्थिति II

दस वर्ष बाद,

नूरी की आयु = x + 10 वर्ष

सोनू की आयु = y + 10 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x + 10 = 2(y + 10)

या  x + 10 = 2y + 20

या  x – 2y = 20 – 10

या  x – 2y = 10  ………… (ii)

(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर

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अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |

(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |

हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |

और दहाई का अंक y है |

तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,

और पलटी हुई संख्या = 10x + y

स्थित I

x + y = 9 ……….. (i)

स्थिति II

9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)

या     9(10y + x) = 2(10x + y)

या     90y + 9x = 20x + 2y

या     20x – 9x + 2y – 90y = 0

या     11x – 88y = 0

या     x – 8y = 0

या     x = 8y ……….. (ii)

समीकरण (i) में x = 8y रखने पर

x + y = 9

या   8y + y = 9

या    9y = 9

या     y =  = 1

y = 1 समीकरण दो में रखने पर

x = 8y = 8 × 1 = 8

अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x

= 10 × 1 + 8

= 18

(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |

हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |

और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |

स्थित I

कुल नोट की संख्या = 25

अत: x + y = 25  ……….. (i)

अब स्थित II

50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये

अत:  50x + 100y = 2000

या    x + 2y = 40   ……….. (ii) (सरल करने पर)

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 3.2 72

(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |

हल : 

माना नियत किराया = x रुपया

और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया

स्थिति I

x + 7y = 27  ……… (i)

स्थिति II

x + 5y = 21 ……….. (ii)

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 3.2 73

अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन

प्रश्नावली 3.5 

Ex 3.5 Class 10 गणित Q1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |

(i) x – 3y = 0

3x – 9y – 2 = 0

(ii) 2x + y = 5

3x + 2y = 8

(iii) 3x – 5y = 20

6 x – 10y =  40

(iv) x – 3y – 7 = 0

3x – 3y – 15 = 0

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Ex 3.5 Class 10 गणित Q2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

2x + 3y = 7

(a – b)x + ( a + b)y = 3a + b – 2

(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?

3x + y = 1

( 2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
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Ex 3.5 Class 10 गणित Q3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए |

किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?

8x + 5y = 9

3x + 2y = 4
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Ex 3.5 Class 10 गणित Q4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए |

(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1  घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब         हर में 8 जोड़ दिया जाता है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता | टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए |

(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है | आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए |
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प्रश्नावली 3.6 

Ex 3.6 Class 10 गणित Q1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

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Ex 3.6 Class 10 गणित Q2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है | उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए |

(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात  कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा |

(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं | रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए |
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Class 10 maths chapter 3 exercise 3.5 in hindi

प्रश्नावली 3.7 

Ex 3.7 Class 10 गणित Q 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है | अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है | कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है | अणि और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘ यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा |’ दूसरा उत्तर देता है ‘ यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km /h अधिक तेज  चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते | रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक                होते, तो | पंक्ति कम होती | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए |
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.6 in English medium
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q5. एक त्रिभुज ABC में,                           है | त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x  – y = 3 के ग्राफ खींचिए | इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | इस  प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए | 
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

(i) px + qy = p – q

qx – pq = p + q

(ii) ax + by = c

bx + ay = 1 + c

(iii) x/a –  y/b = 0

ax + by = a2 + b2

(iv) (a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2

(a + b) (x + y ) = a2 + b2

(v) 152x – 378y = -74

-378x + 152y = – 604
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए |
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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium)

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Chapter 4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.1

Ex 4.1 Class 10 गणित Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है: 

(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)

हल :

(x + 1)2 = 2(x – 3)

⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6

⇒ x2 + 2x – 2x + 1 + 6 = 0

⇒ x2 + 7 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)

हल :

x2 – 2x = – 6 + 2x

⇒ x2 – 2x – 2x + 6 = 0

⇒ x2 – 4x + 6 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = – 4 और c = 6 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)

हल :  (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)

⇒ x2 + x – 2x -2  = x2 + 3x – x – 3

​⇒ x2 – x2+ x + x – 2x + 3x -2 + 3 = 0

​⇒ 2x – x – 1  = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(iv) (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)

हल : (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)

⇒ 2x+ x – 6x – 3= x+ 5x

⇒ 2x– 5x – 3= x+ 5x

⇒  2x– x– 5x – 5x – 3  =  0

⇒  x– 10x – 3  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = – 10 और c = – 3 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(v) (2x – 1) 2(x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)

हल :  (2x – 1) 2(x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)

⇒ (2x – 1) (2x – 6 ) = (x + 5) (x – 1)

⇒ 4x– 12x – 2x + 6 = x+ 4x – 5

⇒ 4x– 14x + 6 = x2 – x + 4x – 5

⇒ 4x– x– 14x – 4x + 6 + 5 = 0

⇒  3x– 18x + 11  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 3, b = – 18 और c = 11 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)

हल : x2 + 3x + 1 = (x – 2)2

⇒  x2 + 3x + 1 = x– 2x +4

⇒x– x+ 4x + 3x + 1 – 4 = 0

⇒ 7x – 3 =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1) 

हल :(x + 2)3 = 2x( x– 1)

⇒ x+ 8 + 6 + 12x = 2x– 2x

⇒ 2x– x3 – 6-12x + 2x  – 8 = 0

⇒  x3 – 6x-10x – 8 =0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2 )3  

हल : x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2 )3

⇒x3 – 4x2 – x + 1  = x– 8 + 6x+ 12x

⇒ x– x3 –  4x2 + 6x-12x + 1 = 0

⇒  2x-13x + 1 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 2, b = – 13 और c = 1 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

Ex 4.1 Class 10 गणित Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 mहै | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |

हल :   एक  आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m

आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2x + 1 m 

आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

लंबाई x चौड़ाई = 528

(2x + 1)x = 528

2x2 + x = 528

2x2 + x – 528 = 0

2x2 + 33x – 32x – 528 = 0

x(2x + 33) – 16(2x + 33 ) = 0

(2x + 33) (x – 16) = 0

2x + 33 = 0 तथा x – 16 = 0

2x = – 33 तथा x = 16
x = – 33/2 तथा x = 16
चूँकि
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m

                        = 16 m

आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2X+ 1 m

= 2 x 16 + 1 m

= 32 + 1 m

= 33m

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306

माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306

पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306

(x + 1)x    = 306

x2 + x = 306

x2 + x – 306 = 0

2x2 + 18x – 17x – 306 = 0

x(x + ) – 17(x + 18 ) = 0

(x + 18) (x – 17) = 0

x + 18 = 0 तथा x – 17 = 0

x = – 18 तथा x = 17
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x

                   = 17

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1

= 17 + 1

= 18

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |

हल : माना रोहन की वर्तमान आयु  = x

रोहन की माँ की आयु  = x + 26

तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु  = x + 3

तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु   = x + 26 + 3

           = x + 29

दोनो की आयु का गुणनफल = 306

(x + 29)(x + 3) = 306

x2 + 29x + 3x + 87 = 306

x2 + 32x + 87 = 306

x2 + 32x = 273

x2 + 32x – 273 = 0

x+ 39x – 7x – 273 = 0

x+ 39x – 7x – 273 =0

x(x + 39) – 7(x + 39) = 0

(x + 39) (x – 7) = 0

x + 39 = 0 तथा x – 7 = 0

x = – 39 तथा x = 7
चूँकि
रोहन की वर्तमान आयु  = 7 वर्ष
रोहन की माँ की आयु  =  x + 26

                   =  7 + 26

= 33 वर्ष

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

हल : 

माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |

दुरी = 480 km

प्रश्नावली 4.2 

Ex 4.2 Class 10 गणित Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :  

(i) x– 3x – 10 = 0

हल : x– 3x – 10 = 0

x– 5x + 3x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

(x – 5)(x + 2)  = 0

x – 5 = 0 तथा x + 2 = 0

x = 5 तथा x = – 2

(ii) 2x​+ x – 6 = 0

हल :  2x​+ x – 6 = 0

2x2 + 4x – 3x – 6 = 0

x(x + 2 ) – 3(x + 2) = 0

(x + 2) (x – 3) = 0

x + 2= 0 तथा x – 3 = 0

x = – 2 तथा x = 3

(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0

हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0

√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x +  5) – √2(√2x + 5) = 0

(√2x +  5) (x – √2) = 0

√2 x +  5 = 0 तथा x – √2 = 0

√2x = – 5 तथा x = √2

x = – 5 /√2 तथा x = √2

(iv) 2x– x + 1/8 = 0 

हल :  2x​- x + 1/8 = 0

2x​- x + 1/8 = 0

(v) 100x– 20x + 1 = 0 

हल :   100x– 20x + 1 =  0

100x– 10x – 10x + 1 =  0

x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0

(x – 1)(10x – 1) = 0

10x – 1 = 0 तथा 10x – 1 = 0

10x = 1 तथा 10x = 1

x = 1/10तथा x = 1/10

Ex 4.2 Class 10 गणित Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|

1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

हल :  जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45

माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x

कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-

जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x – 5

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x – 5

= 40 – x

शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124

(x – 5)(40 – x) = 306 124

40x – x– 200 + 5x = 124

– x​+ 40x + 5x – 200 – 124 = 0

– x​+ 45x – 324 = 0

x​- 45x + 324 = 0

x​- 36x – 9x + 324 = 0

x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0

(x – 36)(x – 9) = 0

x – 36 = 0 तथा x – 9 = 0

x = 36 तथा x = 9

चूँकि x के दो मान है इसलिए
2. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निखमत करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ( रुपयों में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत =  55 – x रुपय

उस दिन कुल निर्माण लागत = 750

x(55 – x) = 750

55x – x2 = 750

– x​+ 55x – 750 = 0

x​- 55x + 750 = 0

x​- 30x – 25x + 750 = 0

x(x – 30 ) – 25(x – 30) = 0

(x – 30)(x – 25) = 0

x – 30 = 0 तथा x – 25 = 0

x = 30 तथा x = 25

माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
                                  = 25

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 – x

=  55 – 25

= 30 रूपय

Ex 4.2 Class 10 गणित Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |

हल : संख्याओं का योग = 27

संख्याओं का गुणनफल = 182

माना पहली संख्या = x

दूसरी संख्या = x + 1

दोनों संख्या का गुणनफल = 182

x(27 – x) = 182

27x – x2 = 182

– x​+ 27x – 182= 0

x​- 27x + 182 = 0

x​- 14x – 13x + 182 = 0

x(x – 14 ) – 13(x – 14) = 0

(x – 14)(x – 13) = 0

x – 14 = 0 तथा x – 13 = 0

x = 14 तथा x =13

पहली संख्या = x

= 13

दूसरी संख्या = x + 1

= 13 + 1

= 14

Ex 4.2 Class 10 गणित Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306

माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग  =  365

(x)2 + (x + 1)2    = 365

x2 + x+ 2x + 1 = 365

2x2  + 2x + 1 = 365

2x2 + 2x + 1 – 365 = 0

2x2 + 2x + 1 – 365 = 0

2x2 + 2x – 364 = 0

2(x2 + x – 182) = 0

x2 + x – 182 = 0/2

x2 + x – 182 = 0

x2 + 14x – 13x – 182 = 0

x(x + 14) – 13(x + 14) = 0

(x + 14) (x – 13) = 0

x + 14 = 0 तथा x – 13 = 0

x = – 14 तथा x = 13
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x

                   = 13

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1

= 13 + 1

= 14

Ex 4.2 Class 10 गणित Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7cm

समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm

पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2

AC2 = AB2 + BC)2

(13)2 = (x – 7)2 + (x)2

169 = x2 – 14x + 49 + x2

169 – 49= 2x2 – 14x

120 = 2(x2 – 7x)

x2 – 7x = 2/120

x2 – 7x – 60 = 0

x2 – 12x + 5x – 60 = 0

x(x – 12) + 5(x – 12) = 0

(x – 12) (x + 5) = 0

x – 12 = 0 तथा x + 5 = 0

x = 12 तथा x = – 5
चूँकि

समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

= 12 cm

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7 cm

                      = 12 – 7

= 5 cm

Ex 4.2 Class 10 गणित Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |

हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x

प्रत्येक नाग की निर्माण लागत =  2x + 3

उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये

x(2x + 3) = 90

2x+ 3x = 9

2x+ 3x – 90 = 0

2x​+ 15x – 12x – 90 = 0

x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0

(2x + 15)(x – 6) = 0

2x + 15 = 0 तथा x – 6 = 0

x = – 15 तथा x = 6
माना उस दिन निर्मित बर्तनों  की संख्या = x
                                  = 6

उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3

=  2 x 6 + 3

= 12 + 3

= 15 रूपये

प्रश्नावली 4.3

Ex 4.2 Class 10 गणित Q1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |

(i)  2x2 – 7x + 3 = 0

(ii)  2x2 + x – 4 = 0

(iii) 4x2 +4 3x + 3 = 0

(iv) 2x2 + x + 4 = 0

हल : 2x– 7x + 3 = 0

a = 2, b = -7 और c = 3

D = b– 4ac

D = (7)– 4x2x3

D = 49 – 24

D = 25

b– 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

2x– 7x + 3 = 0

दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर

8(2x– 7x + 3 = 0)

16x– 56x + 24 = 0

( (4x)– 2.4x.7 + (7)) – (7)2 + 24 = 0   ( a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 )

(4x – 7)– 49 + 24 = 0

(4x – 7)– 25 = 0

(4x – 7)= 25

4x – 7 = 25

NCERT Solutions For Class 10 Maths 4.3 1

हल : (ii)  2x+ x – 4 = 0

a = 2, b = 1 और c = -4

D = b– 4ac

D = (1)– 4x2x(-3)

D = 1 + 24

D = 25

b– 4ac > 0

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x – 4 = 0

दो से भाग देने पर

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 4.3 2
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अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x – 4 = 0

दो से भाग देने पर

Maths NCERT Solutions For Class 10 4.3 4

हल : (iv) 2x2 + x + 4 = 0

a = 2, b = 1, c = 4

D = b– 4ac

D = (1)– 4 × 2 × 4

D = 1 – 32

D = -31

b– 4ac < 0 अर्थात D < 0

अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |

Ex 4.3 Class 10 गणित Q2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात  कीजिए |

हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है –

(i)  2x2 – 7x + 3 = 0

(ii)  2x2 + x – 4 = 0

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium) 4.3 5

हल : (i)  2x2 – 7x + 3 = 0

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = – 7, c = 3

NCERT Solutions For Maths Class 10 4.3 6

हल : (ii)  2x2 + x – 4 = 0

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = 1, c = – 4

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Ex 4.3 Class 10 गणित Q3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

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द्विघाती सूत्र से –

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हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x – 3 वर्ष

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 4.3 13

=> x2 + 2x – 15 = 3(2x + 2)

=> x2 + 2x – 15 = 6x + 6

=> x2 + 2x – 6x – 15 – 6 = 0

=> x2 – 4x – 21 = 0

=> x2 – 7x + 3x – 21 = 0

=> x(x – 7) + 3(x – 7) = 0

=> (x – 7) (x + 3) = 0

=> x – 7 = 0, x + 3 = 0

=> x = 7 और x = – 3

अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है |

Ex 4.3 Class 10 गणित Q5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |

हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |

इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – x

प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 – x – 3) = 210

या   (x + 2) (27 – x) = 210

या   27x – x2 + 54 – 2x = 210

या   25x – x2 + 54 = 210

या   x2 – 25x + 210 – 54 = 0

या   x2 – 25x + 156 = 0

या   x2 – 12x – 13x + 156 = 0

या   x(x – 12) – 13(x – 12) = 0

या   (x – 12) (x – 13) = 0

या   x – 12 = 0, x – 13 = 0

या   x = 12 अथवा x = 13

अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 12 = 18

और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 13 = 17

Ex 4.3 Class 10 गणित Q6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

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हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m

तो बड़ी भुजा = x + 30 m और

विकर्ण = x + 60 m

प्रश्नानुसार,

चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,

पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से –

AC2 = AB2 + BC2

=> (x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2

=> x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900

=> x2 + 120x + 3600 = 2x2 + 60x + 900

=> 2x2 – x2 + 60x – 120x + 900 – 3600 = 0

=> x2 – 60x – 2700 = 0

=> x2 – 90x + 30x – 2700 = 0

=> x(x – 90) + 30(x – 90) = 0

=> (x – 90) (x + 30) = 0

=> x – 90 = 0, x + 30 = 0

=> x = 90 और x = – 30

चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती

अत: छोटी भुजा = 90 m

तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m

और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m

Ex 4.3 Class 10 गणित Q7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना बड़ी संख्या = x

तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x

प्रश्नानुसार,

बड़ी संख्या का वर्ग – छोटी संख्या का वर्ग = 180

x2 – 8x = 180

या  x2 – 8x – 180 = 0

=>  x2 – 18x + 10x – 180 = 0

=> x(x – 18) + 10(x – 18) = 0

=> (x – 18) (x + 10) = 0

=> x – 18 = 0, x + 10 = 0

=> x = 18 और x = -10

अत: बड़ी संख्या 18 है, x = – 10 नहीं लिया जा सकता |

अब (छोटी संख्या)2 = 8 × 18 = 144

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Ex 4.3 Class 10 गणित Q8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तय दुरी = 360 km

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चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है |

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चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h

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हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |

तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x – 10 घंटे में

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(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )

अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा – 25 घंटे में

तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 – 10 = 15 घंटे में

Ex 4.3 Class 10 गणित Q10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h

मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km

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– 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे

अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और

एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h

Ex 4.3 Class 10 गणित Q11  दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2  है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m

पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m

प्रश्नानुसार, स्थित I

4x – 4y = 24

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x = 18, x = – 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )

पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 – 6 = 12 m

प्रश्नावली 4.4

Ex 4.4 Class 10 गणित Q1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :

(i)  2x– 3x + 5 = 0 

(ii) 3x​ – 4√3x + 4 = 0 

(iii) 2x2 + 6x + 3 = 0  

{नोट – मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b2 – 4ac ज्ञात करेंगे |

यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति – दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति – दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |}

हल : (i)  2x– 3x + 5 = 0

a = 2, b = -3 और c = 5

D = b– 4ac

= (-3)2 – 4 × 2 × 5

= 9 – 40

= -31

चूँकि D का ऋणात्मक मान यह बताता है कि D < 0 से अत: द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है |

हल : (ii) 3x​ – 4√3x + 4 = 0

​a = 3, b = – 4√3 और c = 4

D = b2 – 4ac

= (-4√3)2 – 4 × 3 × 4

= 48 – 48

= 0

चूँकि D = 0 है अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |

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हल : (iii) 2x2 + 6x + 3 = 0

a = 2, b = 6 और c = 3

D = b2 – 4ac

= (6)2 – 4 × 2 × 3

= 36 – 24

= 12

चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

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Ex 4.4 Class 10 गणित Q2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों |

(i) 2x+ kx + 3 = 0 

(ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0

हल : (i) 2x+ kx + 3 = 0

a = 2, b = k और c = 3

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात

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हल : (ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0

=> kx2 – 2kx + 6 = 0

a = k, b = – 2k, c = 6

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 4.3 28

Ex 4.4 Class 10 गणित Q3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 mहो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई = x m

तो लंबाई = 2x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

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अत: चौड़ाई = 20 m और

लंबाई = 2x = 2 × 20 = 40 m

हाँ, ऐसी आम की बगिया संभव है |

Ex 4.4 Class 10 गणित Q4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |

हल : माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 – x वर्ष

4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल =

=>    (x – 4) (20 – x – 4) = 48

=>    (x – 4) (16 – x) = 48

=>    16x – x2 – 64 + 4x = 48

=>    20x – x2 – 64 – 48 = 0

=>    20x – x2 – 112 = 0

=>    x2 – 20x + 112 = 0

इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे |

a = 1, b = – 20 और c = 112

D = b2 – 4ac

= (-20)2 – 4(1)(112)

= 400 – 448

= – 48

चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है अत: यह संभव नहीं है |

Ex 4.4 Class 10 गणित Q5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400mके एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो  उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना पार्क का लंबाई = x m

और चौड़ाई = y m

तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप

2(x + y) = 80 m

x + y = 40 m

y = 40 – x m

अत: चौड़ाई = 40 – x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

x(40 – x) = 400

=> 40x – x2 = 400

=>  x2 – 40x + 400 = 0

=>  x2 – 20x – 20x + 400 = 0

=>  x(x – 20) – 20(x – 20) = 0

=>  (x – 20) (x -20) = 0

=>  x – 20 = 0, x – 20 = 0

=>  x = 20 और x = 20

अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 – 20 = 20 मीटर

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial (Hindi Medium)

Math is tough but solving them is impossible said no one ever!! Make use of these NCERT Solutions For Class 10 Maths in Hindi Medium for finding solutions and also note that NCERT Solutions for Class 10 Maths PDF are available online for extra reference. This chapter includes NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial (Hindi Medium). Practice more so you score more!!

Chapter 2. बहुपद

प्रश्नावली 2.1

Ex 2.1 Class 10 गणित Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |
NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial 2.1 1

Solution (i):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0;  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Chapter 2 Polynomial 2.1 2

Solution (ii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )
NCERT Maths Solutions For Class 10 Chapter 2 Polynomial 2.1 3

Solution (iii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;
Maths NCERT Solutions For Class 10 Chapter 2 Polynomial 2.1 4

Solution (iv):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;
NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium Chapter 2 Polynomial 2.1 5

Solution (v):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Chapter 2 Polynomial 2.1 6

Solution (vi):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 10 गणित Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |

(i) x2 – 2– 8

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a = 1, b = – 2, और c = – 8
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Ex 2.2 Class 10 गणित Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं : 

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प्रश्नावली 2.3 

Ex 2.3 Class 10 गणित Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

हल : (i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

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भागफल q(x) = x – 3 और शेषफल = 7x – 9 है |

हल : (ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

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भागफल q(x) = x2 + x – 3 और शेषफल = 8 है |

हल : (iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

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भागफल q(x) = – x2 – 2 और शेषफल = – 5x + 10  है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :

(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

हल : (i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Chapter 2 Polynomial 2.3 29

चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

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चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |

हल : (iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Chapter 2 Polynomial 2.3 31

चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |

अत: x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |

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हल :

दिया है : p(x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5

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अब 3x2 – 5 से 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 में भाग देने पर

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अत: p(x) = (3x2 – 5) (x2 + 2x + 1)

अब, x2 + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर –

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Ex 2.3 Class 10 गणित Q4. यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : भाज्य p(x) = x3 – 3x2 + x + 2

भागफल q(x) = x – 2,

शेषफल r(x) = – 2x + 4

भाजक g(x) = ?

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

x3 – 3x2 + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)

x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)

g(x) (x – 2) = x3 – 3x2 + 3x – 2

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अत: भाजक g(x) = x2 – x + 1 है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल :

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)  जहाँ q(x) ¹ 0 हो

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |

उदाहरण : माना p(x) = 2x2 – 6x + 3

और माना g(x) = 2

भाग देने पर

p(x) = 2x2 – 6x + 2 + 1

= 2(x2 – 3x + 1) + 1

अब  2(x2 – 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :

अत: q(x) = x2 – 3x + 1 और r(x) = 1

इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे –

माना p(x) = 2x2 + 6x + 7 और g(x) = x2 + 3x + 2

भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3

अत: घात q(x) = घात r(x) है |

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :

माना p(x) = x2 – 1 और g(x) = x + 1

विभाजित करने पर

q(x) = x – 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र. 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x3 + x2 – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 }\), 1, -2;
(ii) x3 – 4x2 + 5x – 2; 2, 1, 1
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Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
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Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 3. यवि बहुपव x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
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Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 4. यदि बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
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Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 5. यदि बहुपद x4 – 6x3 + 16x2 – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x2 – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
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