NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles (Hindi Medium)
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chapter- 6. त्रिभुज
प्रश्नावली 6.1
Ex 6.1 Class 10 गणित Q1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ……..होते है | (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग……होते हैं| (समरूप, सर्वांगसम)
(iv) सभी …….. त्रिभुज समरूप होते है | (समद्विबाहु, समबाहु)
(v ) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण ……..हो तथा
(ii) उनकी संगत ……भुजाएँ हों | (बराबर, समानुपाती|
Ex 6.1 Class 10 गणित Q2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न -भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं |
Ex 6.1 Class 10 गणित Q3. बताइए की निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप है या नहीं :
प्रश्नावली 6.2
Ex 6. Class 10 गणित Q1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC में AD ज्ञात कीजिए :
हल: (i)
Δ ABC में
DE || BC दिया है |
अत: आधारभूतिक समानुपातिक प्रमेय से
Ex 6.2 Class 10 गणित Q2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं | निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF|| QR है |
(i) PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm
इसलिए, EF|| QR नहीं है |
Ex 6.2 Class 10 गणित Q7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य -बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्धिभाजित करती है | (याद कीजिए की आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं|)
Ex 6.2 Class 10 गणित Q8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए की एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है | (याद कीजिए की आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं ) |
Proved
प्रश्नावली 6.3
Ex 6.3 Class 10 गणित Q1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए |
हल : (i)
ΔABC तथा ΔPQR में
∠ABC = ∠PQR = 80°
∠BAC = ∠QPR = 60°
∠ACB = ∠PRQ = 40°
∴ AAA समरूपता कसौटी से
ΔABC ~ ΔPQR
हल : (ii)
हल : (iii)
त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |
हल : (iv)
त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |
हल : (v)
त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |
हल : (vi)
Ex 6.3 Class 10 गणित Q2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125o और ∠CDO = 70o है | ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए |
हल : ∠DOC + ∠BOC = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠DOC +125o = 180°
⇒ ∠DOC = 180° -125o
⇒ ∠DOC = 55o
अब ΔDOC में,
∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180° (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
⇒ 55o + 70o + ∠DCO = 180°
⇒ 125o ∠DCO = 180°
⇒ ∠DCO = 180° – 125o
⇒ ∠DCO = 55o
ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)
∴ ∠OAB = ∠DCO = 55o
समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं|)
Ex 6.3 Class 10 गणित Q3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,
Ex 6.3 Class 10 गणित Q5. DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है | दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है |
हल:
दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर
क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं
कि ∠P = ∠RTS है |
सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS
प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,
∠P = ∠RTS (दिया है )
∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
ΔRPQ ~ ΔRTS
Ex 6.3 Class 10 गणित Q6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है |
Ex 6.3 Class 10 गणित Q7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :
(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC
हल:
दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC
प्रमाण :
(i) Δ AEP तथा Δ CDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD तथा CBE में
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP तथा Δ ADB में
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC तथा Δ BEC में
∠PDC = ∠BEC (प्रत्येक 90°)
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ PDC ~ Δ BEC
Ex 6.3 Class 10 गणित Q8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है |
हल:
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है |
सिद्ध करना है : Δ ABE ~ Δ CFB
प्रमाण : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |
∠AEB = ∠CBE …. (1) एकान्तर कोण
Δ ABE तथा Δ CFB में,
∠AEB = ∠CBE समी० (1) से
∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ ABE ~ Δ CFB
Ex 6.3 Class 10 गणित Q9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं | सिद्ध कीजिए कि :
(i) Δ ABC ~ Δ AMP
हल:
दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं |
सिद्ध करना है :
(i) Δ ABC ~ Δ AMP
प्रमाण :
(i) Δ ABC तथा Δ AMP में
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
Δ ABC ~ Δ AMP
(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)
Ex 6.3 Class 10 गणित Q10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ΔFEG है, तो दर्शाइए कि :
(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF
हल:
दिया है : CD और GH क्रमश: ∠ ACB और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है |
(समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं |)
(i) Δ ABC तथा Δ AMP में
(ii) Δ DCB तथा Δ HGE में,
∠B = ∠E समी० (2) से
∠BCD = ∠EGH [चूँकि ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]
A.A समरूपता कसौटी से
Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA तथा Δ HGF में
∠A = ∠F समी० (1) से
∠ACD = ∠FGH [चूँकि ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]
A.A समरूपता कसौटी से
Δ DCA ~ Δ HGF Proved
Ex 6.3 Class 10 गणित Q11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है | यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है |
हल:
दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है
सिद्ध करना है :
ΔABD ~ ΔECF
प्रमाण :
ΔABC में,
AB = AC दिया है;
∴ ∠B = ∠C ……… (1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ….)
अब, ΔABD तथा ΔECF में
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
∠B = ∠C समी० (1) से
A.A समरूपता कसौटी से
ΔABD ~ ΔECF Proved
Ex 6.3 Class 10 गणित Q12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है |
हल:
दिया है : त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं |
सिद्ध करना है :
ΔABC ~ ΔPQR
(चूँकि माध्यिकाएँ AD तथा PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं |)
Ex 6.3 Class 10 गणित Q13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है | दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है |
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है |
सिद्ध करना है : CA2 = CB.CD
प्रमाण :
अब, ΔADC तथा ΔBAC में
∠ADC = ∠BAC ( दिया है )
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
A.A समरूपता कसौटी से
ΔADC ~ ΔBAC
(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)
या CA2 = CB.CD (बाई-क्रॉस गुणा करने पर)
Proved
Ex 6.3 Class 10 गणित Q14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ΔPQR है |
हल :
यहाँ माध्यिकाएँ समान अनुपात में हैं इसलिए समान अनुपात की माध्यिकायें जिस भुजा को समद्विभाजित करती है वह भी समानुपाती होता है
Ex 6.3 Class 10 गणित Q15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है | मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |
प्रश्नावली 6.4
Ex 6.4 Class 10 गणित Q1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm2 और 121 cm2 हैं | यदि EF = 15.4 cm2 हो, तो BC ज्ञात कीजिए |
Ex 6.4 Class 10 गणित Q2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |
हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC हैं,
के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | और AB = 2 CD है |
AB = 2 CD ( दिया है )
Ex 6.4 Class 10 गणित Q3. आकृति 6.44 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं | यदि AD,BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की ar(ABC) /ar(DBC) AO/DO है |
Ex 6.4 Class 10 गणित Q4.यदि दो समरूप तत्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वान्गसम होते हैं|
Ex 6.4 Class 10 गणित Q5. एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB,BC और CA के मध्य – बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं | त्रिभुज DEF और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|
Ex 6.4 Class 10 गणित Q6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है |
Ex 6.4 Class 10 गणित Q7. सिद्ध कीजिए कि दो एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |
Ex 6.4 Class 10 गणित Q8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कोई भुजद BC का मध्य – बिन्दु है | त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:
(A) 2:1 (B) 1:2 (C) 4:1 (D) 1:4
चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजें समरूप होती हैं।
ΔABC ~ ΔBDE
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
Ex 6.4 Class 10 गणित Q9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं | इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) 2:3 (B) 4:9 (C) 81:16 (D) 16: 81
प्रश्नावली 6.5
Ex 6.5 Class 10 गणित Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल :
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
252 = 72 + 242
625 = 49 + 576
625 = 625
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
82 = 32 + 62
64 = 9 + 36
64 = 45
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
1002 = 502 + 802
10000 = 2500 + 6400
10000 = 8900
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर
कर्ण2 = लंब2 + आधार2
132 = 52 + 122
169 = 25 + 144
169 = 169
चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |
इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |
अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )
Ex 6.5 Class 10 गणित Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है |
हल:
दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है
जिसका कोण P समकोण है तथा QR
पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है |
सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR
प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |
इसलिए प्रमेय 6.7 से
ΔPMQ ~ ΔPRQ …… (1)
इसीप्रकार,
ΔPMR ~ ΔPRQ …… (1)
समीकरण (1) तथा (2) से
ΔPMQ ~ ΔPMR
Ex 6.5 Class 10 गणित Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है | दर्शाइए कि
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
हल :
दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |
सिद्ध करना है :
(i) AB2 = BC . BD
(ii) AC2 = BC . DC
(iii) AD2 = BD . CD
प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और
AC ⊥ BD दिया है |
ΔABC ~ ΔABD …… प्रमेय 6.7
Ex 6.5 Class 10 गणित Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसका कोण C समकोण है |
सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2
प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AC = BC ………. (i)
और ABC एक समकोण त्रिभुज है |
पाइथागोरस प्रमेय से
AB2 = BC2 + AC2
अथवा AB2 = AC2 + AC2 (समी० 1 से)
अथवा AB2 = 2AC2 Proved
Ex 6.5 Class 10 गणित Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है
जिसमें AC = BC है और AB2 = 2AC2 है
सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |
प्रमाण : AC = BC ….(1) दिया है
और AB2 = 2AC2 ……… (दिया है)
अथवा AB2 = AC2 + AC2
अथवा AB2 = BC2 + AC2 ( समी० 1 से )
अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से
ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved
Ex 6.5 Class 10 गणित Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |
AB = BC = AC = 2a
रचना : AD ⊥ BC डाला |
अत: समकोण त्रिभुज ACD में
पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AD2 + DC2
(2a)2 = AD2 + (a)2
4a2 = AD2 + a2
AD2 = 4a2 – a2
AD2 = 3a2
Ex 6.5 Class 10 गणित Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी
भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण
AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2
प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,
समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB2 = AO2 + BO2 …………… (1)
इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,
BC2 = CO2 + BO2 …………… (2)
CD2 = CO2 + DO2 …………… (3)
AD2 = AO2 + DO2 …………… (4)
समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर
AB2+BC2+CD2+AD2=AO2+BO2+CO2+BO2+CO2+DO2+AO2+DO2
RHS = 2AO2 + 2BO2 + 2CO2 + 2DO2
= 2(AO2 + BO2 + CO2 + DO2)
Ex 6.5 Class 10 गणित Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
दर्शाइए कि
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
हल:
दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |
सिद्ध करना है :
(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2
प्रमाण:
समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से
OA2 = AF2 + OF2 ……………………. (I)
समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से
OB2 = BD2 + OD2 ……………………. (II)
समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से
OC2 = CE2 + OE2 ……………………. (III)
समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर
OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + BD2 + OD2 + CE2 + OE2
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2 Proved I
अब, पुन:
OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2
या AF2 + BD2 + CE2 = OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2
या AF2 + BD2 + CE2 = (OA2 – OE2 ) + (OB2 – OF2 ) + (OC2 – OD2)
या AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2 पाइथागोरस प्रमेय से
Ex 6.5 Class 10 गणित Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |
सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है |
Ex 6.5 Class 10 गणित Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |
सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2 है |
Ex 6.5 Class 10 गणित Q16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |
प्रश्नावली 6.6
Ex 6.6 Class 10 गणित Q1. आकृति 6.56 में PS कोण QPR का समद्विभाजक है | सिद्ध कीजिए कि QS/SR PQ/PR है|
Ex 6.6 Class 10 गणित Q2. आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM |BC और DN | AB है | सिद्ध कीजिए कि
(i) DM2 = DN.MC
(ii) DN2 = DM.AN
Ex 6.6 Class 10 गणित Q3. आकृति 6.58 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC >90o हा तथा AD| CB है | सिद्ध कीजिए की AC2 = AB2 + BC2 + 2BC.BD है |
Ex 6.6 Class 10 गणित Q4. आकृति 6.59 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC <90o है तथा AD| BC है | सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB2 + BC2 – 2 BC.BD है |
Ex 6.6 Class 10 गणित Q5. आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM|BC है | सिद्ध कीजिए की
(i) AC2 = AD2 + BC. DM + (BC/2)2
(ii) AB2 = AD2 – BC.DM + (BC/2 )2
(iii) AC2 + AB2 = 2AD2 + 1/ 2 BC2
Ex 6.6 Class 10 गणित Q6. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकार्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है |
Ex 6.6 Class 10 गणित Q7. आकृति 6.61 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु प पर प्रतिच्छेद करती हैं| सिद्ध कीजिए कि
(i) त्रिभुज APC ~ त्रिभुज DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
Ex 6.6 Class 10 गणित Q8. आकृति 6.62 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं | सिद्ध कीजिए कि
(i) त्रिभुज PAC ~ त्रिभुज PDB
(ii) PA. PB = PC.PD
Ex 6.6 Class 10 गणित Q9. आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD/CD AB/AC है | सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है |
Ex 6.6 Class 10 गणित Q10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है | उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक ) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64) ? यदि वह डोरी को 5 cm /s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी ?
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