NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 Probability (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 Probability (Hindi Medium)

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Chapter 15. प्रायिकता

प्रायिकता 15.1

Ex 15.1 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = …………है |

(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………है | ऐसी घटना ………कहलाती है |

(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ………है | ऐसी घटना ………कहलाती है |

(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग……..है |

(v) किसी घटना की प्रायिकता……..से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा………से छोटी या उसके बराबर होती है |

उत्तर :

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = 1 है |

(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती  है | ऐसी घटना  असंभव घटना कहलाती है |

(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है  1  है | ऐसी घटना   निश्चित घटना कहलाती है |

(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग  1  है |

(v) किसी घटना की प्रायिकता  0  से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा  1  से छोटी या उसके बराबर होती है |

Ex 15.1 Class 10 गणित Q2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए |

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है | कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है |

उत्तर : समप्रायिक है |

(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबौल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है | वह बास्केट में बौल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है |

उत्तर : समप्रायिक है |

(iii)   एक सत्य – असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है | उत्तर सही है या गलत होगा |

उत्तर : समप्रायिक है |

(iv) एक बच्चे का जन्म होता है | वह एक लड़का है या एक लड़की है |

उत्तर : समप्रायिक है |

Ex 15.1 Class 10 गणित Q3. फुटबौल के खेल को प्रांरभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बौल लेगी, इसके लिए सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि क्योँ माना जाता है ?

उत्तर : क्योंकि सिक्का उछालना एक समप्रायिक घटना है |

Ex 15.1 Class 10 गणित Q4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?

(A) 2/3 

(B) -1.5

(C) 15%

(D) 0.7 

उत्तर : (B) -1.5  [क्योंकि किसी भी प्रायिकता की सीमा 0 से 1 के बीच होती है|]

Ex 15.1 Class 10 गणित Q5. यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं’ कि प्रायिकता क्या है ?

हल : दिया है (E) = 0.05

हम जानते हैं कि P(E) + P(E) नहीं = 1

=> 0.05 + P(E) नहीं = 1

=> P(E) नहीं = 1 – 0.05

=> P(E) नहीं = 0.95 उत्तर

Ex 15.1 Class 10 गणित Q6. एक थैले में केवल नींबू कि महक वाली मीठी गोलियाँ हैं | मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली

(i) संतरे कि महक वाली है ?

(ii) नींबू कि महक वाली है ?

हल : माना थैले में कुल गोलियों की संख्या = n

(i) संतरे कि महक वाली है ?

संतरे की महक वाली गोलियों की संख्या = 0

संतरे की महक वाली गोली निकलने की प्रायिकता

Ex 15.1 Class 10 गणित Q7. यह दिया हुआ है कि 3 विधार्थियों के एक समूह में से 2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने कि प्रायिकता 0.9992 है | इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विधार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हलः माना 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना E है।
माना 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन नहीं होने की घटना E है।
चूंकि P(E) + P(E नही) = 1.
परन्तु
P(E नही) = 0.992
P(E नही) + 0.992 = 1
P(E नही) = 1 – 0.992 = 0.008
अत: 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन होने की घटना की प्रायिकता 0.008 है।

Ex 15.1 Class 10 गणित Q8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं | इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है| इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद

(i) लाल हो

(ii) लाल नहीं हो ?
हलः थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 + 5 = 8
थैले में से एक गेंद निकालने की घटना के सभी संभव परिणामों की संख्या = 8
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं | इस डिब्बे में से एक कंचा 

(i) लाल है ?

(ii) सफेद है ?

(iii) हरा नहीं है ?
हलः डिब्बे में कंचों की संख्या = 5 लाल कंचे + 8 सफेद कंचे + 4 हरे कंचे = 17 कंचे।
डिब्बे में से एक कंचा निकालने की घटना के सम्भव परिणामों की संख्या = 17
(i) लाल गेंदों की संख्या = 5
डिब्बे में से निकाली गई गेंद का लाल होने की घटना के परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
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(ii) सफेद गेंदों की संख्या = 8
डिब्बे में से सफेद गेंद निकाली जाने की घटना के परिणामों की संख्या = 8
अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, 1 रू के पचास सिक्के हैं, 2 रू के बीस सिक्के गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का

(i) 50 पैसे का होगा ?

(ii) 5 रू का नहीं होगा ?
हलः पिग्गी-बैंक में कुल सिक्कों की संख्या = 50 पैसे के सिक्के + 1 के सिक्के + 2र के सिक्के + 5 के सिक्के
= 100 + 50 + 20 + 10 = 180
पिग्गी बैंक से सिक्का निकलने की घटना के परिणामों की संख्या = 180
(i) 50 पै. के सिक्कों की संख्या = 100
पिग्गी बैंक से 50 पैसे का सिक्का गिरने की घटना की संख्या = 100
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q11. गोपी अपने जल – जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है | दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति 15.4) | इसकी प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है ?
हलः मछलियों की कुल संख्या = (नर मछलियों की संख्या) + (मादा मछलियों की संख्या) = 5 + 8 = 13
कुंड में से मछली निकालने की घटना के परिणामों की कुल संख्या = 13
संभव परिणामों की संख्या = 13
चूंकि नर मछलियों की संख्या = 5
अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7, और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति 15.5 ) | यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित

(i) 8 को करेगा ?

(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?

(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?

(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?
हलः चूंकि विश्राम में आने पर तीर 1 से 8 तक की किसी भी संख्या को इंगित करता है।
संभव परिणामों की संख्या = 8
(i) चूंकि चक्र पर 8 का एक अंक है।
अंक 8 को इंगित करने की घटना के परिणामों की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ग्यत५ कीजिए :

(i) एक अभाज्य संख्या

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या

(iii) एक विषम संख्या
हलः
(i) एक पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं।
माना कि घटना E” एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना है।”
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
चूंकि पासे पर छः संख्याएँ [1, 2, 3, 45 और 6] होती हैं।
E के संभावित परिणामों की संख्या = 6
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q14. 52 पत्तों कि अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकला जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता

(iv) पान का गुलाम

(v) हुकुम का पत्ता 

(vi) एक ईंट कि बेगम
हलः चूंकि तास की एक गड्डी में 52 पत्ते होते हैं।
एक पत्ता 52 तरीकों से निकाला जा सकता है।
प्रत्येक अवस्था में सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
(i) माना घटना E, “लाल रंग का बादशाह प्राप्त करना है।
चूंकि एक गड्डी में लाल रंग के 2 बादशाह [1 पान (hearts) का और 1 ईंट (diamond) का]
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2,
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q15. ताश के पाँच पत्तों – ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का – को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है | फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है |

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |

(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य निकाला जाता

है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता

(a)   एक इक्का है ?

(b) एक बेगम है ?
हलः चूंकि कुल पत्ते (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का) पाँच हैं।
(i) माना घटना, E“ निकाला गया पत्ता एक बेगम है” को प्रदर्शित करता है।
कुल परिणामों की संख्या = 5
चूंकि इन पत्तों में केवल एक ही बेगम है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
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(ii) चूंकि बेगम के पत्ते को निकालकर एक ओर रखने पर, हमारे पास केवल चार पत्ते बचते हैं।
सभी संभव परिणामों की संख्या = 4
(a) चूंकि चार पत्तों में केवल 1 इक्का है।
घटना, E“ निकाला गया पत्ता एक इक्का है” के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
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(b) माना घटना E, “निकाला गया पत्ता एक बेगम है” को दर्शाता है।
P(E) = 0

Ex 15.1 Class 10 गणित Q16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं | केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है | इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है | निकले गए पेन कि अच्छा होने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए |
हलः कुल पेन = [अच्छे पेनों की संख्या] + [खराब पेनों की संख्या] = [132] + [12] = 144
अतः एक अच्छा पेन निकाले जाने के 144 परिणाम हो सकते हैं।
संभावित परिणामों की संख्या = 144
माना घटना E, “एक अच्छे पेन का निकलना” है।
और अच्छे पेनों की संख्या = 132
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = 132
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं | इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | निकाले गए पेन कि अच्छा है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?  
हलः
(i) कुल बल्बों की संख्या = 20
सम्भावित परिणामों की संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
माना घटना E, “निकाला गया बल्ब का खराब होना” है।
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(ii) चूंकि ऊपर निकाला गया बल्ब खराब नहीं है। और इसे दुबारा बल्बों के साथ नहीं मिलाया गया है।
शेष बल्बों की संख्या = 20 – 1 = 19;
खराब बल्बों की संख्या = 4
शेष बचे बल्बों में अच्छे बल्बों की संख्या = 19 – 4 = 15
इस प्रकार, एक अच्छे बल्ब के निकलने के लिए। अनुकूल परिणामों की संख्या = 15
चूंकि शेष बचे कुल बल्ब 19 है, इसलिए सभी संभव परिणामों की संख्या = 19
माना घटना E, ‘निकाला गया बल्ब खराब नहीं है’ को प्रदर्शित करता है।
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q18. एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं | यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :

(i) दो अंकों कि एक संख्या

(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या

(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |
हलः पेटी में डिस्कों की संख्या = 90
एक डिस्क निकालने के 90 सम्भव परिणाम हो सकते हैं।
(i) चूंकि प्रत्येक डिस्क पर एक अंक (1 से 90 तक) अंकित हैं।
ऐसी डिस्को की संख्या जिन पर 2 अंकों वाली संख्या अंकित हैं = 90 – (1 अंक वाली संख्याएँ) = 90 – 9 = 81
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 एक अंक वाली संख्याएँ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 81
माना घटना E” निकाली गई डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या का अंकित होना” है।
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(ii) चूंकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 90 पूर्ण वर्ग अर्थात् 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81 है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
माना घटना E, ‘निकाली गई डिस्क पर एक पूर्ण वर्ग अंकित होना है।
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(iii) चूंकि 1 से 90 तक की संख्याओं में 5 से विभाज्य संख्याएँ:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 और 90 हैं।
जिनकी संख्या 18 है। माना घटना E, “निकाली गई डिस्क पर अंकित संख्या 5 से विभाज्य” है।
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है :

NCERT Solutions For Class 10 Maths Probability 15.1 1

इस पासे को एक बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि 

(i) A प्राप्त हो ?

(ii) D प्राप्त हो ?
हलः चूंकि पासे के 6 फलकों पर अंकित अक्षर इस प्रकार हैं:
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 Probability page 337 19.1
फेंके जाने पर एक अक्षर छः प्रकार से प्राप्त होता है।
सम्भव परिणामों की कुल संख्या = 6
(i) चूंकि दो फलकों पर अक्षर A अंकित है।
अक्षर A दो प्रकार से प्राप्त हो सकता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
माना घटना E “अक्षर A का प्राप्त होना” है,
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 15 Probability page 337 19.2
(ii) चूंकि केवल एक फलक पर अक्षर D अंकित है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
माना घटना E “अक्षर D वाला फलक प्राप्त हो” है,
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q20. मान लीजिये आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा ?

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Ex 15.1 Class 10 गणित Q21. 144 बाल पेनों के एक समूह में 20 बाल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं | आप वाही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे | दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?

(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?
हलः बॉल पेनों की कुल संख्या = 144
1 पेन निकालने के संभावित परिणामों की संख्या = 144
(i) चूंकि खराब पेनों की संख्या = 20
अच्छे पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
अनुकूल परिणामों की संख्या = 124
माना घटना E, “अच्छा पेन खरीदना” है।
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q22. उदाहरण 13 को देखिए | (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Probability 15.1 3

(ii) एक विधार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है | अतः प्रत्येक कि प्रायिकता 1/11 है|’ क्या आप इस तर्क से सहमत है ? सकारण उत्तर दीजिए |
हलः जब नीला पासा ‘1’ दर्शाता है, तो सलेटी पासे पर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या हो सकती है। यही
तब भी होगा, जब नीले पासे पर ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’ या ‘6’ होगा। इस प्रयोग के संभावित परिणामों को नीचे सारणी में दिया गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म की पहली संख्या नीले पासे पर आने वाली संख्या है तथा दूसरी संख्या सलेटी पासे पर आने वाली संख्या है।
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q23. एक खेल में एक रूपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है | तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा | हनीफ के खेल में हार जाने कि प्रायिकता परिकलित कीजिए |
हलः एक सिक्के को उछालने पर, माना चित प्राप्त होना H और पट प्राप्त होना T है।
एक सिक्के को तीन बार उछालने पर हमें निम्नांकित परिणाम प्राप्त हो सकते हैं:
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q24.एक पासे को दो बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा ?

(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा ?

[संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है |]
हलः एक पासे को दो बार फेंकना या दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही घटना है।
सभी संभव परिणाम इस प्रकार हैं:
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Ex 15.1 Class 10 गणित Q25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है ? सकारण उत्तर दीजिए |

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम – दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं | अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम कि प्रायिकता 1/3 है |

(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम – एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं | अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है |
हुलः
(i) यह कथन असत्य है, [क्योंकि जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो ‘प्रत्येक में से एक’ दो प्रकार से परिणाम दे सकता है-पहले सिक्के से चित और दूसरे सिक्के पर पट या पहले सिके से पट और दूसरे से चित प्राप्त हो सकता है। इस प्रकार दो बार चित और दो बार पट आ सकता है] इस प्रकार प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता
\(\frac { 1 }{ 4 }\) है। \(\frac { 1 }{ 3 }\) नहीं।
(ii) हाँ, यह कथन सत्य है।

प्रश्नावली 15.2 

Ex 15.2 Class 10 गणित Q1. दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं ( मंगलवार से शनिवार तक ) | प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर

(i) एक ही दिन जाएँगे ?

(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे ?

(iii) भिन्न – भिन्न दिनों में जाएँगे ?
हलः यदि मंगलवार को T से, बुधवार को W से, वीरवार को Th से, तथा शनिवार को S से प्रकट करें, तो ग्राहकों श्याम और
एकता द्वारा एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह (मंगलवार से शनिवार) में जाने के सभी संभव परिणाम निम्नांकित हो सकते हैं:
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Ex 15.2 Class 10 गणित Q2. एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1,2,2,3,3, और 6 लिखी हुई हैं | इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं | दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ संभावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं इस सारणी को पूरा कीजिए |

Maths NCERT Solutions For Class 10 Probability 15.1 4

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग 

(i) एक सम संख्या होगा ?

(ii) 6 है ?

(iii) कम से कम 6 है ?
हलः पूरा करने पर सारणी इस प्रकार है:
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Ex 15.2 Class 10 गणित Q3. एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदे है यदि इस थैले में से नीली गेंद निकलने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता कि दुगुनी है, तो थैले में गेंदों कि संख्या ज्ञात
कीजिए |
हलः माना थैले में नीली गेदों की संख्या x है।
सभी संभव परिणामों की संख्या = (लाल गेंदों की संख्या) + (नीली गेदों की संख्या) = (5 + x)
यदि घटना “ थैले में से नीली गेंद निकालना” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = x
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Ex 15.2 Class 10 गणित Q4.एक पेटी में 12 गेंदे है, जिनमें से x गेंद काली है | यदि इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है |
हलः पेटी में गेदों की कुल संख्या = 12
सभी संभव परिणामों की संख्या = 12
अवस्था- I: यदि घटना “निकाली गई गेंद काली है” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = x [पेटी में x काली गेंदे हैं।]
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Ex 15.2 Class 10 गणित Q5. एक जार में 24 कंचे है जिनमे कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं | यदि इस जार में से यादृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने कि प्रायिकता 2/3 है | जार में नीले कंचों कि संख्या ज्ञात कीजिए | 
हलः चूंकि जार में 24 कंचे हैं।
सभी संभव परिणामों की संख्या = 4
माना जार में नीले कचे x हैं।
जार में हरे कंचों की संख्या = 24 – x
यदि घटना “निकाला गया कंचा हरा है” को E से व्यक्त करें, तो
E के अनुकूल परिणामों की संख्या = (24 – x)
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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium)

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Chapter 14. सांख्यिकी

प्रश्नावली 14.1

Ex 14.1 Class 10 गणित Q1. विधार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए | प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths Statistics 14.1 1

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ? 

NCERT Solutions For Class 10 Maths Statistics PDF 14.1 2

Ex 14.1 Class 10 गणित Q2. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Statistics 14.1 3

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए |

हल : प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग-चिन्ह को इस सूत्र से ज्ञात करेंगे

Maths NCERT Solutions For Class 10 Statistics 14.1 4
NCERT Solutions For Maths Class 10 Statistics 14.1 5

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = – 480 + – 280 + 0 + 120 + 400 = – 760 + 520 = – 240

Σfi = 50 और a = 150

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 6

Ex 14.1 Class 10 गणित Q3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के  बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है | माध्य जेबखर्च 18 रू है | लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए :

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 7

हल : 

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Statistics 14.1 8

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = 2f – 40,  Σfi = 44 + f और a = 18,

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 9

Ex 14.1 Class 10 गणित Q4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके ह्रदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई | एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 10

हल : 

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 11

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = 12,  Σfi = 30 और a = 75.5,

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 12

अत: महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9 है |

Ex 14.1 Class 10 गणित Q5. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहें थे | इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न – भिन्न थी | पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था : 

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 13
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

हल: 

दी गयी श्रृखला समावेशी (inclusive) है जहाँ वर्ग-अंतरालों में 1 का अंतर है | अत: दी गयी श्रृंखला को अपवर्जी (exclusive) श्रृंखला में बदलेंगे |

53 – 52 = 1

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 14

= 57 + 0.1875

= 57.1875 या 57.19

आमों की माध्य संख्या = 57.19

Ex 14.1 Class 10 गणित Q6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 15

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 16

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 7, Σfi = 25, h = 50 , a = 225

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 17

Ex 14.1 Class 10 गणित Q7. वायु में सल्फर डाई – ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में ) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गये, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium Statistics 14.1 18

वायु में SO2  की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 19

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 31, Σfi = 30, h = 0.04 , a = 0.14

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 20
वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO की सान्द्रता का माध्य = 0.099

Ex 14.1 Class 10 गणित Q8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पुरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विधार्थियों कि अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की | एक विधार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium Statistics 14.1 21

हल :

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विद्यार्थी की अनुपस्थित का माध्य = 12.48 दिन

Ex 14.1 Class 10 गणित Q9. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों कि साक्षरता दर (प्रतिशत में ) दर्शाती है | माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

NCERT Solutions For Class 10 Maths Statistics 14.1 23

 हल : 

NCERT Solutions For Class 10 Maths Statistics PDF 14.1 24

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 2, Σfi = 35, h = 10 , a = 70

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

NCERT Maths Solutions For Class 10 Statistics 14.1 25

अत: माध्य साक्षरता दर = 69.43 %

प्रश्नावली 14.2

Ex 14. Class 10 गणित Q1. विधार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए | प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Maths Class 10 Statistics 14.1 26

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ? 

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 27

Ex 14.2 Class 10 गणित Q2. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 28

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए |

हल : प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग-चिन्ह को इस सूत्र से ज्ञात करेंगे

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 29
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Statistics 14.1 30

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = – 480 + – 280 + 0 + 120 + 400 = – 760 + 520 = – 240

Σfi = 50 और a = 150

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 31

Ex 14.2 Class 10 गणित Q3. निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के  बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है | माध्य जेबखर्च 18 रू है | लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए :

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 32

हल : 

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 33

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = 2f – 40,  Σfi = 44 + f और a = 18,

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 34

Ex 14.2 Class 10 गणित Q4. किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके ह्रदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई | एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 35

हल : 

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 36

कल्पित माध्य विधि (Assume mean Method) से

Σfidi = 12,  Σfi = 30 और a = 75.5,

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 37

अत: महिलाओं के ह्रदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9 है |

Ex 14.2 Class 10 गणित Q5. किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहें थे | इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न – भिन्न थी | पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था : 

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 38

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए | आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है ?

हल: 

दी गयी श्रृखला समावेशी (inclusive) है जहाँ वर्ग-अंतरालों में 1 का अंतर है | अत: दी गयी श्रृंखला को अपवर्जी (exclusive) श्रृंखला में बदलेंगे |

53 – 52 = 1

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 39

= 57 + 0.1875

= 57.1875 या 57.19

आमों की माध्य संख्या = 57.19

Ex 14.2 Class 10 गणित Q6. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 40

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 41

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 7, Σfi = 25, h = 50 , a = 225

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 42

Ex 14.2 Class 10 गणित Q7. वायु में सल्फर डाई – ऑक्साइड (SO ) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में ) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गये, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

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वायु में SO2  की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए |

हल :

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पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 31, Σfi = 30, h = 0.04 , a = 0.14

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium Statistics 14.1 45

वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO की सान्द्रता का माध्य = 0.099

Ex 14.2 Class 10 गणित Q8. किसी कक्षा अध्यापिका ने पुरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विधार्थियों कि अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की | एक विधार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

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हल :

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 47

विद्यार्थी की अनुपस्थित का माध्य = 12.48 दिन

Ex 14.2 Class 10 गणित Q9. निम्नलिखित सारणी 35 नगरों कि साक्षरता दर (प्रतिशत में ) दर्शाती है | माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

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 हल : 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 49

पग-विचलन विधि (Step-deviation Method) से माध्य :

Σfiui = – 2, Σfi = 35, h = 10 , a = 70

पग-विचलन विधि के सूत्र में उपरोक्त मानों (values) को रखने पर

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अत: माध्य साक्षरता दर = 69.43 %

प्रश्नावली 14.3 

Ex 14. Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली कि मासिक खपत दर्शाता है | इन आँकड़ों के Ex माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए | इनकी तुलना कीजिए |

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 51
हल :

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 52

माध्यक (Median) के लिए : 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 53

34 संचयी बारंबारता के 42 में शामिल है |

इसलिए, माध्यक वर्ग 125 – 145 है |

अत: l = 125, f = 20, cf = 22 (माध्यक वर्ग से ठीक ऊपर वाला संचयी बारंबारता) और

h = 20, 

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 54

बहुलक के लिए :

सारणी से हमें ज्ञात होता है कि वर्ग 125 – 145 की बारंबारता सबसे अधिक है इसलिए बहुलक वर्ग 125 – 145 है

अत: l = 125, f0 = 13, f1 = 20, f2 = 14 और h = 20

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 55

माध्यक = 137, माध्य = 137.058 और बहुलक = 135.76 

Ex 14.3 Class 10 गणित Q2. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 56

हल : 

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 57

दिया है, माध्यक = 28.5,

अत: 28.5 वर्ग-अन्तराल 20 – 30 में शामिल है |

इसलिए, l = 20, f = 20, h = 10 और cf = 5 + x

N = 60,

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium Statistics 14.1 58

अब,  45 + x + y = 60

अथवा x + y = 60 – 45

x + y = 15

8 + y = 15   समी० (1) से

y = 15 – 8

y = 7

x = 8, और y = 7 

Ex 14.3 Class 10 गणित Q3. एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों कि आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है | माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है,  जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, 60 वर्ष से कम हो |

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 59

हल :

Ex 14.3 Class 10 गणित Q4. एक पौधे कि 40 पत्तियों कि लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरुपित किया जाता है :

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 60

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए |

संकेत : माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत मन गया है | तब ये वर्ग 117.5 – 126.5 – 135.5,…,171.5 – 180.5 में बदल जाते हैं |  

हल :

Ex 14.3 Class 10 गणित Q5. निम्नलिखित सारणी 400 नियाँन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है :

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium Statistics 14.1 61

  एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए |

हल :

Ex 14.3 Class 10 गणित Q6. एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ :

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हल :

कुलनामों में माध्यक अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए |  कुलनामों में माध्य अक्षरों कि संख्या ज्ञात कीजिए | साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

Ex 14.3 Class 10 गणित Q7. नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विधार्थियों के भार दर्शा रहा है | विधार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths Statistics 14.1 63

हल :

प्रश्नावली 14.4

Ex 14.4 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों कि दैनिक आय दर्शाता है :

NCERT Solutions For Class 10 Maths Statistics PDF 14.1 64

‘उपरोक्त बंटन को एक कम प्रकार ‘ के संचयी बारंबारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए |

हल : ‘से कम प्रकार’ का संचयी बारंबारता बंटन सारणी :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Statistics 14.1 65

‘से कम प्रकार’ के तोरण के लिए क्रमित युग्म (order pairs) :

(120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) और (200, 50)

Maths NCERT Solutions For Class 10 Statistics 14.1 66

Ex 14.4 Class 10 गणित Q2. किसी कक्षा के 35 विधार्थियों कि मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

NCERT Solutions For Maths Class 10 Statistics 14.1 67

उपरोक्त आँकड़ों के ‘लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए | इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए |

हल : ‘से कम प्रकार के‘ तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 68

से कम प्रकार’ के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :

(38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46, 14), (48, 28), (50, 32), (52, 35)

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 69

Ex 14.4 Class 10 गणित Q3. निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर (ha) गेंहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Statistics 14.1 70

इस बंटन को ‘अधिक के प्रकार के ‘ बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए |

हल : ‘से अधिक प्रकार के‘ तोरण के लिए संचयी बारंबारता सारणी:

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 14 Statistics (Hindi Medium) 14.1 71

‘से अधिक प्रकार’ के तोरण के लिए के लिए क्रमित युग्म (Order pairs) :

(50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54), (75, 16)

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 72

प्रश्नावली 14.5

अतिरिक्त एवं महत्वपूर्ण प्रश्न : 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q1. निम्न आँकडें आरोही क्रम में लिखे गए हैं। यदि आँकडों का माध्यक 14.5 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।

11, 12, 13, 7x, 7x + 1, 16, 16, 18, 20

Ex 14.5 Class 10 गणित Q2. 5 संख्याओं का माध्य 18 है | यदि एक संख्या निकल दी जाए, तो माध्य 16 हो जाता है | तो निकाली गयी संख्या ज्ञात कीजिए | 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q3. 20 संख्याओं का माध्य 17 है, यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाए तो नया माध्य ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q4. ‘से कम प्रकार’ तथा ‘से अधिक’ के तोरण के प्रतिच्छेदन बिन्दु का भुज किस केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप को दर्शाता है ?

Ex 14.5 Class 10 गणित Q5. यदि 2,3,5,4,2,6,3,5,5,2 और x का बहुलक 2 है, तो ‘x’ का मान ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q6. 2,3,6,0,1,4,8,2,5 की माध्यिका ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q7. x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 और x + 6 का माध्य ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q8. प्रथम 10 विषम संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए | 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q9. यदि आरोही क्रम में लिखे प्रेक्षणों 24, 25, 26, x + 3, 30, 31, 34 की माध्यिका 27.5 है, तो ‘x’ का मान ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q10. 40 प्रेक्षणों का माध्य 160 था | जाँच करने पर ज्ञात हुआ कि 165 गलती से 125 लिखा गया था, सही माध्य ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q11. एक मैचों की श्रृंखला में एक बास्केट बॉल टीम द्वारा हासिल किए गए मैचों में अंक इस प्रकार था :

  17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18 , 10, 24, 10, 8, 7, 10
  तो आंकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q12. 40, 42, 80, 69, 56, 47 का परिसर क्या है ?

Ex 14.5 Class 10 गणित Q13. यदि 25, 30, 32, x, 43 का समान्तर माध्य 34 है तो x का मान ज्ञात कीजिए | 

Ex 14.5 Class 10 गणित Q14. निम्नलिखित आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए |

     5, 7, 6, 5, 9, 8, 6, 7, 11, 10, 5, 7, 6, 8, 6, 9, 10.

Ex 14.5 Class 10 गणित Q15. 34, 32, x, x-1, 19, 15, 11 का माध्यक ज्ञात कीजिए जहाँ x आँकड़ें 10, 20, 30, 40, 50 का माध्य है |

Ex 14.5 Class 10 गणित Q20. एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकडें एकत्रित किए प्रति घर पौधों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए ।

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 73

Ex 14.5 Class 10 गणित Q21. किसी फैक्टरी के कुछ श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के बंटन का माध्य 145.20 है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 74

Ex 14.5 Class 10 गणित Q22. निम्न सारणी कुछ परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय का माध्य व्यय 211 रू है तो f का मान ज्ञात कीजिए ।

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 75

Ex 14.5 Class 10 गणित Q23. नीचे दिया हुआ बंटन एकदिवसीय क्रिकेट मैचों में, गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकटों का माध्य ज्ञात कीजिए ।

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 76

Ex 14.5 Class 10 गणित Q24. निम्न ऑकडों का माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 77

Ex 14.5 Class 10 गणित Q25. एक सर्वेक्षण के आँकडे दिए गए है जो दशवीं कक्षा के लडकियों का ऊँचाई है। निम्न आँकडों से माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।   

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Statistics 14.1 78

Ex 14.5 Class 10 गणित Q26. p का मान ज्ञात कीजिए यदि दिए गए बंटन का माध्य 20 हो |

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Statistics 14.1 79

Ex 14.5 Class 10 गणित Q27. निम्न आँकडों से माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए ।

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 80

Ex 14.5 Class 10 गणित Q28. निम्न आँकडों का माध्यक 525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium Statistics 14.1 81

Ex 14.5 Class 10 गणित Q29. उपयुक्त आँकडों से ‘से कम प्रकार’ का तोरण खींचिए। प्राप्त ग्राफ से माध्यक ज्ञात कीजिए |

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Statistics 14.1 82

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium)

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Chapter 9. त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

प्रश्नावली 9.1

Ex 9.1 Class 10 गणित Q1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंध हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)|

Solution: 

माना खंभे की ऊँचाई = h मीटर

NCERT Solutions For Class 10 Maths 9.1 1

डोरी की लंबाई = 20 मीटर

θ = 30

समकोण त्रिभुज ABC में;

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 9.1 2

Ex 9.1 Class 10 गणित Q2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30 का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना पेड़ की ऊँचाई BC’ है और पेड़ बिंदु A से टूटकर

NCERT Maths Solutions For Class 10 9.1 3

जमीन पर बिंदु C पर झुकी है |

θ = 30°, BC = 8 m

समकोण त्रिभुज ABC में, AB भुजा के लिए,

Maths NCERT Solutions For Class 10 9.1 4

Ex 9.1 Class 10 गणित Q3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

Solution: 

NCERT Solutions For Maths Class 10 9.1 5
Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 9.1 6

Ex 9.1 Class 10 गणित Q4. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium 9.1 7

माना मीनार AB की ऊँचाई = h मीटर

बिंदु C से मीनार के पाद बिंदु B की दुरी = 30 m

समकोण  ΔABC में,

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 9.1 8

Ex 9.1 Class 10 गणित Q5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध् दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 9.1 9
NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 9.1 10

Ex 9.1 Class 10 गणित Q6. 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

Solution:

माना कि वह लड़का x m दूर भवन की ओर गया |

लडके ऊंचाई छोड़कर भवन की ऊंचाई (AB) = 30 m – 1.5 m

= 28.5 m

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 9.1 11

समकोण त्रिभुज ABC में,

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 9.1 12

Ex 9.1 Class 10 गणित Q7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 9.1 13

Solution:

माना संचार मीनार की ऊंचाई (AD) = h m

भवन की ऊंचाई (DC) = 20 m

माना भूमि पर वह बिंदु B है |

भवन सहित मीनार की ऊंचाई (AC) = (20 + h) m

समकोण त्रिभुज BCD में,

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 9.1 14

Ex 9.1 Class 10 गणित Q8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी ¯बदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 9.1 15

Solution:

माना पेडस्टल की ऊंचाई h मीटर है |

मूर्ति की ऊंचाई = 1.6 m

समकोण त्रिभुज BCD में,

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 9.1 16

Ex 9.1 Class 10 गणित Q9. एक मीनार के पाद-बिंदु  से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30o है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 9.1 17

माना भवन की ऊंचाई = h m

समकोण त्रिभुज ABC में,

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 9.1 18

Ex 9.1 Class 10 गणित Q10. एक 80 m चैड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution:

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium 9.1 19

माना भूमि पर वह बिंदु B है |

और खंभों की ऊंचाई = h मीo,

B बिंदु से एक खंभे की दुरी = x m

तो दुसरे खंभे की दुरी = (80 – x) m

समकोण त्रिभुज ABC में,

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NCERT Solutions For Class 10 Maths Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium) 9.1 21

Ex 9.1 Class 10 गणित Q11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर उर्ध्वार्धर खड़ा है टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । टॉवर की ऊँचाई और नहर की चैड़ाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium) 9.1 22

माना टॉवर (AB) की ऊंचाई = h मीo

नहर BC की चौड़ाई = x मीo

समकोण त्रिभुज ABC में,

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Ex 9.1 Class 10 गणित Q12. 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45o है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution:

NCERT Solutions For Maths Class 10 Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium) 9.1 24

माना टॉवर की ऊँचाई = h मीटर

भवन DE की ऊंचाई = 7 मीo

DE = BC = 7 मीo

AB की लंबाई = h – 7 मीo

समकोण त्रिभुज EDC में,

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Some Applications of Trigonometry (Hindi Medium) 9.1 25

Ex 9.1 Class 10 गणित Q13.  समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution:

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium 9.1 26

माना दो जहाजों A तथा B है

जिनका अवनमन कोण क्रमश: 45° और 30° है |

लाइट-हाउस DC की ऊंचाई = 75 m

चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है |

∴ ∠DAC = 45o और ∠DBC = 30o

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 9.1 27

Ex 9.1 Class 10 गणित Q14.  1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है | इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी ज्ञात कीजिए | 

Solution:

लड़की की ऊंचाई = 1.2 m

भूमि से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 m

लड़की को छोड़कर गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 – 1.2

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Some Applications of Trigonometry 9.1 28

AB = DE = 87.0 m

तय दुरी = BE

समकोण DABC में,

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 9.1 29

अर्थात इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी 87√3 m है |

Ex 9.1 Class 10 गणित Q15.  एक सीध राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

Solution:

माना कार को बिंदु C से मीनार के पाद B तक पहुँचने में x सेके ण्ड लगता है |

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Chapter 9 9.1 30
NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 9.1 31

Ex 9.1 Class 10 गणित Q16.  मीनार के आधर से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो ¯बदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 9.1 32
Solution:

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर है |

समकोण त्रिभुज ABC में,
NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 9.1 33

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium)

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Chapter 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

प्रश्नावली 13.1

जब तक अन्यथा न कहा जाए,  π = 22/7 लीजिए |

Ex 13.1 Class 10 गणित Q1.दो घनों, जिनमे से प्रत्येक का आयतन 64 cm3 है, के सलंग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है | इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल: 

एक घन का आयतन = 64 cm3

एक किनारा = (64)1/3

=  4 cm

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes 13.1 1
दो घनों के फलकों को मिलाने पर

l = 4 + 4 = 8 cm

b = 4 cm

h = 4 cm

इसप्रकार इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + lh)

= 2(8×4 + 4×4 + 8×4)

​= 2(32 + 16 + 32)

= 2×80

= 160 cm2

अत: इस घनाभ का प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 cm2 है |

Ex 13.1 Class 10 गणित Q2. कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है | अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है | इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 2

Ex 13.1 Class 10 गणित Q3. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्ध गोले पर अध्यारोपित है | इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है | इस खिलोने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 3

हल:

अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या r = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या r = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की ऊँचाई h = 15.5 – 3.5 = 12 cm

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 4

Ex 13.1 Class 10 गणित Q4. भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लाक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है | अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 5

हल :

घनाकार ब्लॉक का एक किनारा = 7 cm

अर्धगोले का अधिकतम व्यास d = 7 cm

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes (Hindi Medium) 13.1 6

ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाकार ब्लॉक का क्षेत्रफल + अर्धगोले का क्षेत्रफल – अर्धगोले से ढके एक वृत्त का क्षेत्रफल

⇒ ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2 + 2πr2 – πr2

= 6a2 + πr2   [ a = घन का एक किनारा ]

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 7

Ex 13.1 Class 10 गणित Q5 एक घनाकार ब्लाक के एक फलक को अन्दर की ओर से काट कर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है की अर्धगोले का व्यास घन के एक किनारे के बराबर है | शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 8
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 9

( चूँकि घन का किनारा अर्धगोले के ब्यास के बराबर है )

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = घनाकार ब्लॉक का क्षेत्रफल + अर्धगोले का क्षेत्रफल – अर्धगोले से ढके एक वृत्त का क्षेत्रफल

= 6a2 + 2πr2 – πr2 [ a = घन का एक किनारा ]

= 6a2 + πr2

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes

Ex 13.1 Class 10 गणित Q6. दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक – एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति 13.10) | पुरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |  

हल : 

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 11

यहाँ बेलन का ब्यास, अर्धगोले के ब्यास के बराबर है |

अत: अर्धगोले का ब्यास D = 5 mm

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 12

कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (अर्धगोलों का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 × 2πr2 + 2πrh

= 2πr(2r + h)

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 13

Ex 13.1 Class 10 गणित Q7. कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु  आध्यारोपित है | यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और क्रमशः 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | साथ ही, 500 रू प्रति m2 की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए | (ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है |)

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 14

हल :

तम्बू के बेलनाकार भाग का ब्यास = 4 cm

अत: त्रिज्या r = 2 cm

बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 2.1 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 cm

ब्यास = 4 cm

और त्रिज्या r = 2 cm

इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल

= बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + πrl

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 15

Ex 13.1 Class 10 गणित Q8. ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है |शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 16

बेलन की ऊँचाई h = 2.4 cm

बेलन का ब्यास = 1.4 cm

अत: बेलन की त्रिज्या r = 0.7 cm

काटे गए शंकु की ऊँचाई h = 2.4 cm

और त्रिज्या r = 0.7 cm

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Areas Related to Circles 13.1 17

शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के पेंदी का क्षेत्रफल

= 2πrh + πrl + πr2

= πr(2h + l + r)

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 18

Ex 13.1 Class 10 गणित Q9. लकड़ी के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसाकि आकृति 13.11 में दर्शाया गया है | यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 19

हल : 

बेलन की ऊँचाई = 10 cm

आधार की त्रिज्या = 3.5 cm

अर्धगोले की त्रिज्या = 3.5 cm

वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

= बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + उपरी अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + निचली अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2πrh + 2πr2 + 2πr2

= 2πr(h + r + r )

= 2πr(h + 2r )

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 20
अत: वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 374 cm2 है |

प्रश्नावली 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.2 Class 10 गणित Q1. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है | इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए |

हल :

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 21

Ex 13.2 Class 10 गणित Q2. एक इंजीनियरिंग के विधार्थी रचेल से एक पतली एल्युमिनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों | इसा मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लंबाई 12 cm है | यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए|

(यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर है |)

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 22

Ex 13.2 Class 10 गणित Q3. एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है | 45 गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई 5  cm और व्यास 2.8 cm है ( देखिए आकृति 13.15) |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 23

सभी 45 गुलाब जामुनों का आयतन = 45(अर्धगोले का आयतन + बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन)

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 24
CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 25

Ex 13.2 Class 10 गणित Q4. एक कमलदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना हा जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं | घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैं | प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है | पुरे कमलदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.16) |

हल :

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 26

धनाभ की लंबाई l = 15 cm

घनाभ की चौड़ाई b = 10 cm

घनाभ की ऊँचाई h = 3.5 cm

शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

ऊँचाई (h) = 1.4 cm

पूरे कमलदान की लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – चरों शंक्वाकार गढ्ढे का आयतन

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 27

Ex 13.2 Class 10 गणित Q5. एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है | इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है ) की त्रिज्या 5 cm त्रिज्या है | यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है | जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमे प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है | बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 28

शंकु की ऊँचाई (h) = 8 cm

शंकु की त्रिज्या (R) = 5 cm

गोली की त्रिज्या (r) = 0.5 cm

माना बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या = n

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 29

अत: गोलियों की संख्या 100 है |

Ex 13.2 Class 10 गणित Q6. ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का स्तंभ बना है | इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cmलोहे का द्रव्यमान लगभग 8 g होता है | (π = 3.14 लीजिए |)

हल :

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 30

मोटे बेलन की ऊँचाई (H) = 220 cm

व्यास (d) = 24 cm

अत: त्रिज्या (R) = 12 cm

पतले बेलन की ऊँचाई (h) = 60 cm

त्रिज्या (r) = 8 cm

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 31

Ex 13.2 Class 10 गणित Q7. एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है | इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे | यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 32

ठोस के शंकु की ऊँचाई (h) = 120 cm

ठोस के शंकु की त्रिज्या (r) = 60 cm

ठोस के अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 60 cm

बड़े बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm

बड़े बेलन की की त्रिज्या (r) = 60 cm

शेष बचे पानी का आयतन = बड़े बेलन का आयतन – ठोस का आयतन

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 33

Ex 13.2 Class 10 गणित Q8. एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लंबाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है | इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm3 है | जाँच कीजिए कि बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए की उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और π = 3.14 |  

हल :

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 34
NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 35

इसमें भरे जा सकने वाले पानी का आयतन = गोले का आयतन + बेलन का आयतन

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 36

प्रश्नावली 13.3

(जब तक अन्यथा न कहा जाए,π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.3 Class 10 गणित Q1. त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है | बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

हल : 

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 37

धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 4.2 cm

बेलन की त्रिज्या (R) = 6 cm और

माना बेलन की ऊँचाई h cm है |

बेलन का आयतन = गोले का आयतन

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes 13.1 38

Ex 13.3 Class 10 गणित Q2. क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है | इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths Surface Areas and Volumes PDF 13.1 39

Ex 13.3 Class 10 गणित Q3. व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है | इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 40

Maths NCERT Solutions For Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 41

Ex 13.3 Class 10 गणित Q4. व्यास 3 m वाला 14 m गहरा की गहराई तक खोदा जाता है | इससे निकली हुई मिट्टी को कुँए के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है | इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Maths Class 10 Surface Areas and Volumes 13.1 42
Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 43

Ex 13.3 Class 10 गणित Q5. व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है | इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा | उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं |

NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 44
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 45
Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 46

Ex 13.3 Class 10 गणित Q6. विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए, 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा ?

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 47

Ex 13.3 Class 10 गणित Q7. 32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है | इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेते की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है | यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 48

अत: ढेरी की त्रिज्या = 36 cm  और  तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है |

Ex 13.3 Class 10 गणित Q8. 6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km /h की चाल से बह रहा है | 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के ल;इए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है |

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 49

Ex 13.3 Class 10 गणित Q9. एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आंतरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है | यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जाएगी ?  

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 50

प्रश्नावली 13.4

(जब तक अन्यथा न कहा जाए,π = 22/7 लीजिए |)

Ex 13.4 Class 10 गणित Q1. पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है | दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं | इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए |

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium Surface Areas and Volumes 13.1 51

Ex 13.4 Class 10 गणित Q2. एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं | इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

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Ex 13.4 Class 10 गणित Q3. एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्नक के आकर की है (देखिये आकृति 13.24) | यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

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Ex 13.4 Class 10 गणित Q4. धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं | 20 रू प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए | साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य 8 रू प्रति 100 cmकी दर से ज्ञात कीजिए | ( π = 3.14 लीजिए |) 

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Ex 13.4 Class 10 गणित Q5. 20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle ) 60 एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचोंबीच से होकर जाते हुए एक ताल से दो भागों में काटा गया है, जबकि ताल शंकु के आधार के समांतर है | यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास 1/16 cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो की लंबाई ज्ञात कीजिए | 

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प्रश्नावली 13.5

Ex 13.5 Class 10 गणित Q1. व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लंबे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है | तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cmहै |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q2. एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त ), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है | इस प्रकार प्राप्त द्वी -शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय  क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q3. एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150 cm x 120 cm x 110 cm हैं, में 129600 cmपानी में कुछ छिद्र वाली ईंटे तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि ताकि पूरी ऊपर तक भर न जाए | प्रत्येक ईंट अपने आयतन का   1/17 पानी सोख लेती है | यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटे डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे ?

Ex 13.5 Class 10 गणित Q4. किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई | यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 kmहै, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q5. टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है | यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 13.25) |

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Ex 13.5 Class 10 गणित Q6. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं |

Ex 13.5 Class 10 गणित Q7. शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते  हुए, आयतन का वह सूत्र कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है |

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium)

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Chapter 5. समान्तर श्रेढ़ी

प्रश्नावली 5.1

Ex 5.1 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?

(1) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15  रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |

Solution:

प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |

अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये

श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 …………………………..

जाँच:

a = 15

d1 = a2 – a1

= 23 – 15 = 8

d2 = a– a2

= 31 – 23 = 8

d3 = a– a3

= 39 – 31 = 8

चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है |

इसलिए दिया गया सूची A. P है |

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |

Solution:

माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 1

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |

Solution:

प्रथम मीटर का लागत = 150,

दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200

तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250

श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 ………………………

जाँच:

a = 150

d1 = a2 – a1

= 200 – 150 = 50

d2 = a– a2

= 250 – 200 = 50

d3 = a– a3

= 300 – 250 = 50

सार्व अंतर = 50

यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है |

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |

Solution:

पहले वर्ष की राशि = 10000

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 2

तीसरे वर्ष की राशि = 11664

श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 …………………

स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |

Ex 5.1 Class 10 गणित Q2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i)  = 10, = 10

Solution:

a = 10

a2 = a + d ⇒ 10 + 10 = 20

a3 = a + 2d ⇒ 10 + 2 × 10 = 30

a4 = a + 3d ⇒ 10 + 3 × 10 = 40

श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ………………….

प्रथम चार पद : 10, 20, 30 और 40

(ii) = –2, = 0

Solution:

a = –2

a2 = a + d ⇒ –2 + 0 = –2

a3 = a + 2d ⇒ –2 + 2 × 0 = –2

a4 = a + 3d ⇒ –2 + 3 × 0 = –2

श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ………………….

प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2

(iii) = 4, = – 3

Solution:

a = 4

a2 = a + d ⇒ 4 + – 3 = 1

a3 = a + 2d ⇒ 4 + 2 × – 3 = –2

a4 = a + 3d ⇒ 4 + 3 × – 3 = –5

श्रृंखला: 4, 1, – 3, –5 ………………….

प्रथम चार पद : 4, 1, – 3 और –5

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 3

(v) = – 1.25, = – 0.25

Solution:

a = – 1.25

a2 = a + d ⇒ – 1.25 + – 0.25 = – 1.5

a3 = a + 2d ⇒ – 1.25 + 2 × – 0.25 = –1.75

a4 = a + 3d ⇒ – 1.25 + 3 × – 0.25 = –2

श्रृंखला: – 1.25, – 1.5, –1.75, –2 ………………….

प्रथम चार पद : – 1.25, – 1.5, –1.75 और –2

Ex 5.1 Class 10 गणित Q4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

(i) 3, 1, – 1, – 3, . . .

Solution:

d1 = a2 – a1

= 1 – 3 = – 2

d2 = a– a2

= -1 – (1) = – 2

d3 = a– a3

= -3 – (-1) = -3 + 1 = – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = 3 + 4×(- 2) = 3 – 8 = – 5

a6 = a + 4d = 3 + 5×(- 2) = 3 – 10 = – 7

a7 = a + 4d = 3 + 6×(- 2) = 3 – 12 = – 9

– 5, – 7, – 9

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 4

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . .

Solution:

a = – 1.2

d1 = a2 – a1

= –3.2 – (–1.2 )

= – 3.2 + 1.2 =  – 2

d2 = a– a2

= –5.2 – (–3.2 )

= – 5.2 + 3.2 =  – 2

d3 = a– a3

= –7.2 – (–5.2 )

= – 7.2 + 5.2 =  – 2

सार्व अंतर = – 2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 1.2  + 4×(- 2) = – 1.2 – 8 = – 9.2

a6 = a + 4d = – 1.2  + 5×(- 2) = – 1.2  – 10 =  – 11.2

a7 = a + 4d = – 1.2  + 6×(- 2) = – 1.2  – 12 = – 13.2

⇒ – 9.2, – 11.2, – 13.2

(iv) – 10, – 6, – 2,  2, . . .

Solution:

a = – 10

d1 = a2 – a1

= –6 – (–10 )

= – 6 + 10 =  4

d2 = a– a2

= –2 – (–6 )

= – 2 + 6 =  4

d3 = a– a3

= 2 – (–2 )

= 2 + 2 =  4

सार्व अंतर = 4

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a5 = a + 4d = – 10 + 4×(4) = – 10 + 16 = 6

a6 = a + 4d = – 10 + 5×(4) = – 10 + 20 =  10

a7 = a + 4d = – 10 + 6×(4) = – 10 + 24 = 14

⇒ 6, 10, 14

प्रश्नावली 5.2

कक्षा – 10 (NCERT Solution)

Ex 5.2 Class 10 गणित Q1.  निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद an है: 

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 5

Solution:

(i) a = 7, d = 3, n = 8 an = ?

an = a + (n – 1)d

a8 = 7 + (8 – 1)3

= 7 + 7 ×3 = 7 + 21

= 28

(ii) a = – 18, n = 10, an = 0, d = ?,

an = a + (n – 1)d

a10 = – 18 + (10 – 1)d

0    = -18 + 9d

9d = 18

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 6

(iii)  d = -3, n = 18, an = -5, a = ?

an = a + (n – 1)d

a18 = a + (18 – 1)d

-5   = a + 17(- 3)

-5 + 51 = a

a = 46

(iv) a = – 18.9,  d = 2.5,  an = 3.6  n = ?

an = a + (n – 1)d

3.6 = – 18.9 + (n – 1)2.5

3.6 + 18.9   = (n – 1)2.5

(n – 1)2.5  = 22.5

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 7

(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, a= ?

an = a + (n – 1)d

= 3.5 + (105 – 1)0

= 3.5 + 0

= 3.5

Ex 5.2 Class 10 गणित Q2.  निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:

(i) A.P: 10, 7, 4, …………………. का 30 वाँ पद है:

(A) 97         (B)  77      (C) –77     (D)  – 87

Solution:

a = 10, d = 7 – 10 = -3

30 वाँ पद = ?

a30 = a + 29d

= 10 + 29(-3)

= 10 – 87

= – 77

Correct Answer: (C) – 77

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 8
Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 9
Correct Answer: (B) 22

Ex 5.2 Class 10 गणित Q3.  निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ी में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए | 

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 10

(i) a = 2, b = ?, c = 26 

Solution: 

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 11

Solution: (ii)  a2 = 13,

∴   a + d = 13  ……………. (1)

a4 = 3

∴   a + 3d = 3  ……………..(2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 3d – (a + d) = 3 – 13

a + 3d – a – d = -10

2d = – 10

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 12

d = -5

d  का मान समीo (1) में रखने पर

a + d = 13

a + (- 5) = 13

a = 13 + 5

a = 18

a3 = a + 2d = 18 + 2 (-5)

= 18 – 10 = 8

अत: 18, 13, 8, 3

Ex 5.2 Class 10 गणित Q4.  A.P. : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है ?

Solution:

a = 3, d = 8 – 3 = 5, a= 78

a = a + (n – 1) d

78 = 3 + (n – 1) 5

78 – 3 = (n – 1) 5

75 = (n – 1) 5

n – 1 = 75/5

n – 1 = 15

n = 15 + 1

n = 16

अत: 16 वाँ पद 78 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q5.  निम्नलिखित समांतर श्रेढियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं ?

(i) 7, 13, 19, …………….. , 205

Solution:

a = 7, d = 13 – 7 = 6, a= 205

a = a + (n – 1) d

205 = 7 + (n – 1) 6

205 – 7 = (n – 1) 6

198 = (n – 1) 6

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 13

n – 1 = 33

n = 33 + 1

n = 34

इस श्रेढ़ी में 34 पद हैं |

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 14

इस श्रेढ़ी में 27 पद हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q6.  क्या A.P., 11, 8, 5, 2 . . . का एक पद – 150 है ? क्यों ?

Solution:

a = 11, d = 8 – 11 = – 3 और a= – 150

a = a + (n – 1) d

– 150 = 11 + (n – 1) – 3

– 150 – 11 = (n – 1) -3

– 161 = (n – 1) – 3

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 15

n – 1 = 53. 66

n = 53.66 + 1

n = 54.66

यहाँ n एक भिन्नात्मक संख्या है जो n के लिए संभव नहीं है

इसलिए – 150 दिए गए A.P का पद नहीं है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q7. उस A.P का 31वाँ पद ज्ञात कीजिएजिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Solution:

31वाँ पद = ?

a11 = 38

⇒a + 10d = 38 ………………… (1)

a16 = 73

⇒ a + 15d = 73 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 15d – (a + 10d ) = 73 – 38

a + 15d – a – 10d = 35

5d = 35

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 16

d = 7

समीo (1) में d का मान 7 रखने पर

a + 10d = 38

a = 10 (7) = 38

a = 38 – 70

a = – 32

अब, a31 = a + 30d

⇒ a31 = – 32 + 30(7)

⇒ a31 = – 32 + 210

⇒ a31 = 178

अत: 31 वाँ पद 178 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q8. एक A.P में 50 पद हैंजिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

A.P में 50 पद हैं |

अत: n = 50

a3 = 12

⇒ a + 2d = 12 ………………… (1)

और अंतिम पद 106 है।

a= 106

या a50 = 106

⇒ a + 49d = 106 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 49d – (a + 2d ) = 106 – 12

a + 49d – a – 2d = 94

47d = 94

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 17

d = 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 12

a = 2(2) = 12

a = 12 – 4

a = 8

अब, a29 = a + 28d

⇒ a29 = 8 + 28(2)

⇒ a29 = 8 + 56

⇒ a29 = 64

अत: 29 वाँ पद 64 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q9.  यदि किसी A.P के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और –8 हैंतो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

Solution:

a3 = 4

⇒ a + 2d = 4 ………………… (1)

और नौवा पद – 8 है।

a= – 8

⇒ a + 8d = – 8 ………………… (2)

समीo (2) में से (1) घटाने पर

a + 8d – (a + 2d ) = – 8 – 4

a + 8d – a – 2d = – 12

6d = – 12

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 18

d = – 2

समीo (1) में d का मान 2 रखने पर

a + 2d = 4

a = 2(-2) = 4

a = 4 + 4

a = 8

अत: a = 8, और d = – 2

माना n वाँ पद शून्य है |

an = 0

a = a + (n – 1) d

⇒ 0 =  8  + (n – 1) -2

⇒ – 8 = (n – 1) -2

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 19

⇒ n – 1 = 4

⇒ n = 4 + 1 = 5

अत: 5 वाँ पद शून्य है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q10.  किसी A.P का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Solution:

चूँकि 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है।

∴ a17  – a10 = 7

⇒ a + 16d – (a + 9d) = 7

⇒a + 16d – a – 9d = 7

⇒ 7d = 7

⇒ d = 1

सार्व अंतर = 1

Ex 5.2 Class 10 गणित Q11.  A.P. : 3, 15, 27,  39, ……… का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

Solution:

a = 3, d = 15 – 3 = 12

a54 = a + 53d

= 3 + 53(12)

= 3 + 636

= 639

वह पद जो 54 वें पद से 132 अधिक होगा

an = a54 + 132

= 639 + 132

= 771

a = a + (n – 1) d

⇒ 771 =  3  + (n – 1) 12

⇒ 771 – 3 = (n – 1) 12

⇒ 768 = (n – 1) 12

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 20
⇒ n – 1 = 64

⇒n = 64 + 1 = 65

अत: 65 वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q12.  दो समांतर श्रेढि़यों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 हैतो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

Solution:

माना प्रथम A.P का प्रथम पद = a

और दुसरे A.P का प्रथम पद = a’ है |

और सार्व अंतर d है [चूँकि सार्व अंतर समान है ] दिया है

प्रश्नानुसार,

a100 – a’100 = 100

a + 99d – (a’ + 99d) = 100

a + 99d – a’ – 99d = 100

a – a’ = 100 ……………. (1)

a1000 – a’1000 = a + 999d – (a’ + 999d)

= a + 999d – a’ – 999d

= a + a’

चूँकि a + a’ = 100 है समीo (1) से

इसलिए, 1000वें पदों का अंतर भी 100 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q13.  तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Solution:

तीन अंको की संख्या 100 ……………… 999 के बीच होती है |

अत: 7 से विभाज्य संख्यायें है:

105, 112, 119, …………………… 994

इससे हमें एक A.P प्राप्त होता है |

∴ a = 105, d = 7 और an = 994

a = a + (n – 1) d

⇒ 994 =  105  + (n – 1) 7

⇒ 994 – 105 = (n – 1) 7

⇒ 889 = (n – 1) 7

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 21

⇒ n – 1 = 127

⇒ n = 127 + 1 = 128

अत: तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्या 128 हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q14.  10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

Solution:

10 और 250 के बीच 4 के गुणज के लिए A.P है |

12, 16, 20, …………………… 248

∴ a = 12, d = 4 और an = 248

a = a + (n – 1) d

⇒ 248 =  12  + (n – 1) 4

⇒ 248 – 12 = (n – 1) 4

⇒ 236 = (n – 1) 4

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 22

⇒ n – 1 = 59

⇒ n = 59 + 1 = 60

10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q15.  n के किस मान के लिएदोनों समांतर श्रेढि़यों 63, 65, 67, ………. और 3, 10, 17, ……………… के n वें पद बराबर होंगे?

Solution:

प्रथम A.P:  63, 65, 67, ……….

जिसमें, a = 63, d = 65 – 63 = 2

a = a + (n – 1) d

= 63 + (n – 1) 2

= 63 + 2n – 2

= 61 + 2n ……………….. (1)

द्वितीय A.P: 3, 10, 17, ………………

जिसमें , a = 3, d = 10 – 3 = 7

a = a + (n – 1) d

= 3 + (n – 1) 7

= 3 + 7n – 7

= – 4 + 7n ……………….. (1)

चूँकि n वाँ पद बराबर हैं, इसलिए (1) तथा (2) से

61 + 2n = – 4 + 7n

61 + 4 = 7n – 2n

5n = 65

n = 65/5

n = 13

अत: दोनों A.P का 13 वाँ पद बराबर हैं |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q16.  वह A.P ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

Solution:

माना प्रथम पद = a, और सार्व अंतर = d तो,

a3 = 16

a + 2d = 16 ………………… (1)

a7 – a= 12

⇒ a + 6d – (a + 4d) = 12

⇒ a + 6d – a – 4d = 12

⇒ 2d = 12

⇒ d = 6

अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर ‘

a + 2d = 16

a + 2(6) = 16

a + 12 = 16

a = 16 – 12

a = 4

a, a + d, a + 2d, a + 3d ………………

⇒ 4, 4 + 6, 4 + 2(6), 4 + 3(6), ……………

अत: अभीष्ट A.P: ⇒ 4, 10, 16, 22 …………………………

Ex 5.2 Class 10 गणित Q17. A.P. : 3, 8, 13, …, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

दिया गया A.P. : 3, 8, 13, …, 253 है |

प्रथम पद की ओर से a = 3, d = 8 – 3 = 5

परन्तु अंतिम पद से a = 253, n = 20,

और सार्व अंतर d = – 5, [चूँकि अंतिम पद से d का मान ऋणात्मक हो जायेगा ]

a20 = a + 19d

= 253 + 19(-5)

= 253 – 95

= 158

अत: अंतिम पद से 20 वाँ पद 158 है |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q18. किसी A.P.  के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.  के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

Solution:

a4 + a8 = 24

या    a + 3d + a + 7d = 24

या    2a + 10d = 24

या    2(a + 5d) = 24

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 23

या    a + 5d = 12  ……………………. (1)

इसीप्रकार,

A6 + a10 = 44

या    a + 5d + a + 9d = 44

या    2a + 14d = 44

या    2(a + 7d) = 44

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 24

या    a + 7d = 22  ……………………. (2)

समीकरण (2) में से (1) घटाने पर

(a + 7d) – (a + 5d)  = 22  – 12

या    a + 7d – a – 5d  = 10

या    2d = 10

या    d = 5

समीकरण (1) में d = 5 रखने पर

a + 5(5) = 12

या    a + 25 = 12

या    a = 12 – 25

या    a = – 13

अत: A.P के प्रथम 3 पद है :

-13, -13 + 5, -13 + 2(5)

-13, – 8, – 3

Ex 5.2 Class 10 गणित Q19. सुब्बा राव ने 1995 में D 5000 के मासिक वेतन पद कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन D 7000 हो गया?

Solution:

दिए गए सुचना से हमें एक A.P प्राप्त होता है :

A.P: 5000, 5200, 5400, ………………….. 7000

a = 5000, d = 200, an = 7000

an = a + (n – 1)d

7000 = 5000 + (n – 1)200

7000 – 5000 = (n – 1)200

2000 = (n – 1)200

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 25

n – 1 = 20

n = 20 + 1

n = 21 वर्ष

अत: 21 वर्ष बाद उसका वेतन 7000 हो जायेगा |

1995 + 21 = 2016 में हो जायेगा |

Ex 5.2 Class 10 गणित Q20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में D 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत D 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत D 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

Solution:

इस सुचना से एक A.P प्राप्त होती है :

A.P: 5, 6.75, 8.50, ………………………, 20.75

A = 5, d = 1.75, an = 20.75

an = a + (n – 1)d

20.75 = 5 + (n – 1)1.75

20.75 – 5 = (n – 1)1.75

15.75 = (n – 1)1.75

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 26

n – 1 = 9

n = 9 + 1

n = 10

प्रश्नावली 5.3

Ex 5.3 Class 10 गणित Q1. निम्नलिखित समांतर श्रेढियों का योग ज्ञात कीजिए :

(i) 2, 7, 12, . . ., 10 पदों तक

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 27
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium 5.1 28

Solution:

(ii) –37, –33, –29, . . ., 12 पदों तक

a = –37, d = –33 – (–37) = –33 + 37 = 4, n = 12

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 29

Solution:

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 पदों तक

a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1, n = 100,

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 30
NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium 5.1 31

Ex 5.3 Class 10 गणित Q2. नीचे दिए हुए योग्फालों को ज्ञात कीजिये:

Download NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 32

(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution: 

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 33
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 34

(ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10

Solution:

a = 34, d = 32 – 34 = -2, an = 10

a= a + (n -1)d

10 = 34 + (n – 1)-2

10 – 34 = (n – 1)-2

-24 = (n – 1)-2

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 35

(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)

Solution:

a = –5, d = (–8) – (–5) = –8 + 5 = –3, an =  –230

a= a + (n -1)d

–230 = –5 + (n – 1)–3

–230 + 5 = (n – 1) –3

–225= (n – 1)–3

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 36

Ex 5.3 Class 10 गणित Q3. एक A.P. में,

(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है  n और Sn ज्ञात कीजिए 

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 37

(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और S13 ज्ञात कीजिए ।

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 38

(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और S12 ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 39

अत: a = 4 और S12 = 246 है |

(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और a10 ज्ञात कीजिए ।

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 40

प्रतिस्थापन विधि से समीकरण (i) और (ii) का हल करने पर

समीकरण (i) से

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 5.1 41

(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।

हल : d = 5 और S9 = 75 दिया है

S9 = 75

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 42
NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 43

(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और an ज्ञात कीजिए ।

हल : a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है ।

Sn = 90

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 44

(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और d ज्ञात कीजिए ।

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 45

अत: अंतिम पद = 62 और सार्वअंतर = 54/5

(viii) an = 4, d = 2 और S= –14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 46

=> n = 7 और  n = – 2 (Not Applicable क्योंकि n हमेशा धनात्मक होता है)

अत: n = 7

n = 7 का मान (i) में रखने पर

a = 6 – 2n   …………… (i)

a = 6 – 2(7)

a = 6 – 14

a = – 8

अत: n = 7 और a = – 8 है |

(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 47

(x) = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । ज्ञात कीजिए ।

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 48

Ex 5.3 Class 10 गणित Q4. 636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P. : 9, 17, 25 ……….. के कितने पद लेने चाहिए ?

हल : दिया है : A.P. : 9, 17, 25 ………..

a = 9, d = 17 – 9 = 8, Sn = 636 और n = ?

अब, Sn = 636

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 49

Ex 5.3 Class 10 गणित Q5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

हल : दिया है : a = 5, an = 45 और Sn = 400

अब, an = 45

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium 5.1 50

Ex 5.3 Class 10 गणित Q6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

हल : a1 = 17, an = 350 और d = 9

अब, an = 350

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 51

Ex 5.3 Class 10 गणित Q7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

हल : दिया है : a22 = 149 d = 7 और n = 22

a22 = a + 21 d

149 = a + 21×7

149 = a + 147

a = 149 – 147

a = 2

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 5.1 52

Ex 5.3 Class 10 गणित Q8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

हल : दिया है :

a2 = 14

=> a + d = 14  ………… (i)

a3  = 18

d = a3 – a2

= 18 – 14

= 4

d का मान समीकरण (i) में रखने पर

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium 5.1 53

Ex 5.3 Class 10 गणित Q9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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Ex 5.3 Class 10 गणित Q10. दर्शाइए कि a1, a2, . . ., an, . . . से एक A.P. बनती हैयदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:

(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n

साथ हीप्रत्येक स्थिति मेंप्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions For Class 10 Maths 5.1 56
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 5.1 57

Ex 5.3 Class 10 गणित Q11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 हैतो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1 ) क्या है?  प्रथम दो पदों का योग क्या है?  दूसरा पद क्या है?  इसी प्रकार,  तीसरे10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है

Sn = 4n – n2 ………… (i)

n की जगह n  1 रखने पर

Sn-1 = 4(n 1) – (n  1)2

= 4n  4 – (n2  2n + 1)

= 4n  4 – n2 + 2n  1

= – n2 + 6n  5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = Sn  Sn-1

हल : प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है

Sn = 4n – n2 ………… (i)

n की जगह n  1 रखने पर

Sn-1 = 4(n 1) – (n  1)2

= 4n  4 – (n2  2n + 1)

= 4n  4 – n2 + 2n  1

= – n2 + 6n  5      …………… (ii)

अत: n वाँ पद (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = Sn  Sn-1

=> (an) = 4n – n2  (– n2 + 6n  5)

=> (an) = 4n – n2 + n2  6n + 5

=> (an) =  2n + 5

अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 – 4 = 4

(an) =  2n + 5

दूसरा पद (a2) =  2(2) + 5  =  4 + 5 = 1

तीसरा पद (a3) =  2(3) + 5  =  6 + 5 = 1

10 वाँ पद (a10) =  2(10) + 5  =  20 + 5 = 15

(an) = 4n – n2  (– n2 + 6n  5)

=> (an) = 4n – n2 + n2  6n + 5

=> (an) =  2n + 5

अब, S1 = 4(1) – (1)2 = 4 – 1 = 3

प्रथम दो पदों का योग (S2) = 4(2) – (2)2 = 8 – 4 = 4

(an) =  2n + 5

दूसरा पद (a2) =  2(2) + 5  =  4 + 5 = 1

तीसरा पद (a3) =  2(3) + 5  =  6 + 5 = 1

10 वाँ पद (a10) =  2(10) + 5  =  20 + 5 = 15

Ex 5.3 Class 10 गणित Q12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

NCERT Maths Solutions For Class 10 5.1 58

Ex 5.3 Class 10 गणित Q13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

Maths NCERT Solutions For Class 10 5.1 59

Ex 5.3 Class 10 गणित Q14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions For Maths Class 10 5.1 60

Ex 5.3 Class 10 गणित Q15. निर्माण कार्य से सम्बन्धी किसी ठेके मेंएक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिएजुर्माना लगाने का प्रावधन इस प्रकार है: पहले दिन के लिए 200 रुदूसरे दिन के लिए 250 रुतीसरे दिन के लिए 300 रु इत्यादिअर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगीयदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है ?

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 5.1 61

Ex 5.3 Class 10 गणित Q16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु कम हैतो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 5.1 62

Ex 5.3 Class 10 गणित Q17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोंचा  यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा  उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग एक पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा ही कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा  प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं  इस विद्यालय के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?

हल :

कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक अनुभाग इस प्रकार पेड़ लगाता है ।

अत: 1, 2, 3, 4, …………………. 12

चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग है ।

अत: अब प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ हो जायेंगे ।

इसलिए, 3(1), 3(2), 3(3), 3(4) ……………………. 3(12)

या      3, 6, 9, 12, ………………….. 36

a = 3, d = 3 और n = 12

कुल पेड़ों की संख्या = S12

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 5.1 63

Ex 5.3 Class 10 गणित Q18. केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm …. वाले उत्तरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? 

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions (Hindi Medium) 5.1 64

हल : दिया है अर्धवृतों की लम्बाईयाँ l1, l2, l3, l4 क्रमश:  इत्यादि अर्धवृत्त हैं ।

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Ex 5.3 Class 10 गणित Q19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे,  उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे,  इत्यादि (देखिए आकृति )। ये 200 लठ्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 67
CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 5.1 68

यहाँ  4 संभव नहीं है अत: अंतिम अर्थात सबसे उपरी पंक्ति में लठ्ठों की संख्या 5 है और पंक्तियों की संख्या 16 है |

Ex 5.3 Class 10 गणित Q20. एक आलू दौड़ (potato race) मेंप्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई हैजो पहले आलू से 5m की दूरी पर हैतथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति) । प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती हैनिकटतम आलू को उठाती हैउसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती हैदूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती हैउसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती हैजब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 5.1 69

प्रश्नावली 5.4

Ex 5.4 Class 10 गणित Q1. A.P : 121,117,113,…., का कौन -सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा ?

[संकेत : an<0 के लिए n ज्ञात कीजिए | ]

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Ex 5.4 Class 10 गणित Q2. किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है | इस A.P.             के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए |
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Ex 5.4 Class 10 गणित Q3.  एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दुरी पर हैं| (देखिए आकृति 5.7) |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 5.1 70

डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है         और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है | यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दुरी           2,1/2 m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी ?

[संकेत : डंडों की संख्या = 250/ 25 हैं |]
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Ex 5.4 Class 10 गणित Q4. एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है |                  दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का          योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है | x का मान ज्ञात कीजिए |

[ संकेत : Sx – 1 = S49  – S है | ]
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Ex 5.4 Class 10 गणित Q5. एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढीयाँ बनी हुई हैं | इन                      सीढीयों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है वह ठोस कंक्रीट ( concrete) की बनी है प्रत्येक              सीढ़ी में 1/4 m की चौड़ाई है और 1/2 m का फैलाव  (चौड़ाई) है | (देखिए आकृति 5.8 )| इस

चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए |

[ संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = 1/4 x 1/2 x 50m3 है |]

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry (Hindi Medium)

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Chapter 7. निर्देशांक ज्यामिति

प्रश्नावली 7.1 

Ex 7.1 Class 10 गणित Q1. बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :

(i) (2,3),(4,1)

(ii) (-5,7), (-1,3)

(iii) (a,b), (-a,-b)

Ex 7.1 Class 10 गणित Q2. बिन्दुओं (0,0) और (36,15) के बीच की दुरी ज्ञात कीजिए | क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं ?

Ex 7.1 Class 10 गणित Q3. निर्धारित कीजिए की क्या बिन्दु (1,5), (2,3) और (-2,-11) सरेंखी हैं|

Ex 7.1 Class 10 गणित Q4. जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5,-2), (6,4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q5. किसी कक्षा में. चार मित्र बिन्दुओं A,B,C और D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है | चंपा और चमेली कक्षा के अन्दर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने तक के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है ?’ चमेली इससे सहमत नहीं है ?’ दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q6. निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चर्तुभुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथाअपने उतर के लिए करण भी दीजिए :

(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)

(ii) (–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, – 4)

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

हल :

(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)

माना बिन्दुएँ A(– 1, – 2), B(1, 0), C(– 1, 2), तथा D(– 3, 0) हैं |

NCERT Solutions For Class 10 Maths 7.1 1

इसी प्रकार,

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 7.1 2
NCERT Maths Solutions For Class 10 7.1 3

बिन्दुएँ A(– 1, – 2), B(1, 0), C(– 1, 2), तथा D(– 3, 0)बनने वाला चर्तुभुज वर्ग हैं | क्योंकि इन बिन्दुओं बनने वाले चर्तुभुज की भुजा बराबर है अर्थात AB = BC = CD = AD हैं |

हल : (ii)(–3, 5), (3, 1), (–1, – 4)

माना बिन्दुएँ A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), तथा D(–1, – 4) हैं |

Maths NCERT Solutions For Class 10 7.1 4

इसी प्रकार दुरी सूत्र से,

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NCERT Solutions of Maths For Class 10 Hindi Medium 7.1 7

बिन्दु A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), तथा D(–1, – 4) से बनने वाला चर्तुभुज एक विषमबाहु चर्तुभुज हैं | क्योंकि इन बिन्दुओं से बनने वाले चर्तुभुज की भुजा बराबर नहीं है और किसी भी चर्तुभुज के गुण के सामान नहीं है,

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 7.1 8

हल : (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3),

माना बिन्दुएँ A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), तथा D(1, 2)हैं |

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 7.1 9

इसी प्रकार,

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 7.1 10
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CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 7.1 12

बिन्दु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), तथा D(1, 2)से बनने वाला चर्तुभुज आयात तथा समांतर चर्तुभुज हैं |क्योंकि इन बिन्दुओं से बनने वाले चर्तुभुज की दो भुजाओं के युग्म बराबर है,

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Ex 7.1 Class 10 गणित Q7. x- अक्ष मान पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2,9) से समदूरस्थ हैं|

हल : माना A(2, –5), B(–2, 9), तथा X-अक्ष पर बिंदु P(x, 0), हैं |

अत: AP2 = BP2 (चूँकि A तथा B बिंदु P से समदूरस्थ है)

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 7.1 14

अत: X-अक्ष पर बिंदु P (-7, 0) है |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिन्दु P(2,-3) और Q(10,y ) के बीच की दुरी 10 मात्रक है |

हल : बिंदु P(2, – 3) और Q(10, y) हैं तथा दोनों बिन्दुओं का मात्रक 10 हैं |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 7.1 15

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
102 = (10 – 2)2 + (y + 3)2

100 = 82 + y2 + 6y + 9

100 = 64 + y2 + 6y + 9

100 = 73 + y2 + 6y

100 – 73 = y2 + 6y

y2 + 6y = 27

y2 + 6y – 27 = 0

y2 + 9y – 3y – 27 = 0

y(y + 9) – 3(y + 9) = 0

(y + 9) (y – 3) = 0

y + 9 = 0 तथा y – 3 = 0

अत: y = -9 तथा y = 3

अतः y का एक मान 3 तथा -9 हैं |

Ex 7.1 Class 10 गणित Q9. यदि Q(0,1) बिन्दुओं P(5,-3) और R(x,6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए | दुरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए |

हल : बिन्दु Q(0, 1), P(5, –3) और R(x, 6)से समदूरस्थ हैं |

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 7.1 16
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Ex 7.1 Class 10 गणित Q10. x और y में एक ऐसा संबध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो |

हल : माना बिदुएँ P(x, y) तथा A(3, 6) और B(-3, 4)

AP तथा BP समदूरस्थ हैं |

इसलिए,  AP = BP

दोनों तरफ वर्ग करने पर

AP2 = BP2

(x – 3)2 + (y – 6)2 = (x + 3)2 + (y – 4)2

x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16

-6x – 12y + 36 = 6x – 8y + 16

36 – 16 = 6x + 6x – 8y +  12y

20 = 12x + 4y

12x + 4y = 20

4(3x + y) = 20

3x + y =

3x + y = 5

3x + y – 5 = 0

प्रश्नावली 7.2

Ex 7.2 Class 10 गणित Q1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है |
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q2. बिन्दुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q3. आपके स्कूल में खेल -कूद  क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है | निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q4. बिन्दुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है|
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Ex 7.2 Class 10 गणित  Q5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए |
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q6. यदि बिन्दु (1,2),(4,y),(x,6) और (3,5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं|
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q8. यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = 3/7 AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो |
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q9.बिन्दुओं A(-2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
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Ex 7.2 Class 10 गणित Q10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3,0), (4,5), (-1,4) और (-2,-1) हैं)
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प्रश्नावली 7.3
Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 1. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
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Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘4’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों|
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
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Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 3. शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ। अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 4. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
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Ex 7.3 Class 10 गणित प्र. 5. कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A (4, -6), B (3, -2) और C (5, 2) हैं।
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प्रश्नावली 7.4
Ex 7.4 Class 10 गणित Q1. बिन्दुओं A(2,-2) और B(3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y – 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए |
हलः माना दिए गये बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB को रेखा 2x + y – 4 = 0 बिन्दु C पर है k : 1 के अनुपात में विभाजित करती है।
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Ex 7.4 Class 10 गणित Q2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (x,y), (1,2) और (7,0) सरेंखी हैं|
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 page 189 2

Ex 7.4 Class 10 गणित Q3.बिन्दुओं (6,-6),(3,7) और (3,3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए |
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 page 189 3

Ex 7.4 Class 10 गणित Q4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1,2) और (3,2) हैं) वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 page 189 4

Ex 7.4 Class 10 गणित Q5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति 7.14 में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं |

(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज PQR के निर्देशांक क्या होंगे | साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | आप क्या देखते हैं ?
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हलः (i) A को मूल बिन्दु (origin) और AD तथा AB के निर्देशांक अक्ष लेने पर हमें प्राप्त होता है कि
P के निर्देशांक (4, 6), Q के निर्देशांक (3, 2), R के निर्देशांक (6, 5) ΔPQR के शीर्ष हैं।
(ii) बिन्दु C के मूल बिन्दु और CB तथा CD को निर्देशांक-अक्ष लेने पर ΔPQR के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
P (12, 2), Q (13, 6) और R (10, 3)
अब, क्षे. (ΔPQR) [जबकि P(4, 6), Q(3, 2) और R(6, 5) हैं]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 – 3 + 24] = \(\frac { 9 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
क्षे. (ΔPQR)
[जब P(12, 2), २(13, 6) और R(10, 3) हैं]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [36 + 13 – 40] = \(\frac { 9 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
इस प्रकार, दोनों अवस्थाओं में ΔPQR का क्षेत्रफल एक ही है।

Ex 7.4 Class 10 गणित Q6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की AD/AB  AE/AC  1/4 है | त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल से कीजिए |     
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Ex 7.4 Class 10 गणित Q7. मान लीजिए A (4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |

(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2:1 हो |

(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो |

(iv) आप क्या देखते हैं ?

[नोट : वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है |]

(v) यदि A(xy) B(Xy) और C(xy3) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |
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Ex 7.4 Class 10 गणित Q8. बिन्दुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4)  और D(5,-1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिन्दु हैं | क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए |
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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles (Hindi Medium)

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chapter- 6. त्रिभुज

प्रश्नावली 6.1

Ex 6.1 Class 10 गणित Q1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए : 

(i) सभी वृत्त ……..होते है | (सर्वांगसम, समरूप)

(ii) सभी वर्ग……होते हैं| (समरूप, सर्वांगसम)

(iv) सभी …….. त्रिभुज समरूप होते है | (समद्विबाहु, समबाहु)

(v ) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण ……..हो तथा
(ii) उनकी संगत ……भुजाएँ हों | (बराबर, समानुपाती|

Ex 6.1 Class 10 गणित Q2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न -भिन्न उदाहरण दीजिए :

(i) समरूप आकृतियाँ

(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं |

Ex 6.1 Class 10 गणित Q3. बताइए की निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप है या नहीं :

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प्रश्नावली 6.2

Ex 6. Class 10 गणित Q1. आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC में AD ज्ञात कीजिए :

हल: (i)

Δ ABC में

DE || BC   दिया है |

अत: आधारभूतिक समानुपातिक प्रमेय से

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Ex 6.2 Class 10 गणित Q2. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु और स्थित हैं |  निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिएबताइए कि क्या EF|| QR है |

(i)   PE = 3.9 cm, EQ= 3cm, PF = 3.6 और FR= 2.4 cm

(ii)     PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm

(iii)     PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, 0.18 cm और PF = 0.36 cm

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इसलिए, EF|| QR नहीं है |

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Ex 6.2 Class 10 गणित Q7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य -बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्धिभाजित करती है  | (याद कीजिए की आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं|)

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Ex 6.2 Class 10 गणित Q8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए की एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है | (याद कीजिए की आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं ) |

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Proved

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प्रश्नावली 6.3

Ex 6.3 Class 10 गणित Q1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप  त्रिभुजों को सांकेतिक रूप  में व्यक्त कीजिए |

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हल : (i) 

ΔABC तथा ΔPQR में

∠ABC = ∠PQR = 80°

∠BAC = ∠QPR = 60°

∠ACB = ∠PRQ = 40°

∴ AAA समरूपता कसौटी से

ΔABC ~ ΔPQR

हल : (ii) 

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हल : (iii) 

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त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |

हल : (iv) 

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त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |

हल : (v) 

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त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |

हल : (vi) 

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Ex 6.3 Class 10 गणित Q2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125और ∠CDO = 70 है | ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए |

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हल : ∠DOC + ∠BOC = 180°  (रैखिक युग्म)

⇒ ∠DOC +125o = 180°

⇒ ∠DOC = 180° -125o

⇒ ∠DOC = 55o

अब ΔDOC  में,

∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°   (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

⇒ 55o + 70o + ∠DCO = 180°

⇒ 125o ∠DCO = 180°

⇒ ∠DCO = 180° – 125o

⇒ ∠DCO = 55o

ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)

∴ ∠OAB = ∠DCO = 55o

समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं|)

Ex 6.3 Class 10 गणित ​Q3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,

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Ex 6.3 Class 10 गणित Q5. DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि P = RTS है | दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS  है |

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हल:

दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर

क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं

कि ∠P = ∠RTS है |

सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,

∠P = ∠RTS   (दिया है )

∠R = ∠R      (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

ΔRPQ ~ ΔRTS

Ex 6.3 Class 10 गणित Q6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है | 

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Ex 6.3 Class 10 गणित Q7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :  

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

हल:

दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

प्रमाण :

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 41

(i)  Δ AEP तथा Δ CDP में,

∠AEP = ∠CDP  (प्रत्येक 90°)

∠APE = ∠CPD  (शीर्षाभिमुख कोण)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ AEP ~ Δ CDP

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(ii) Δ ABD तथा CBE में

∠ADB = ∠CEB  (प्रत्येक 90°)

∠B = ∠B     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABD ~ Δ CBE

(iii)  Δ AEP तथा Δ ADB में

∠AEP = ∠ADB  (प्रत्येक 90°)

∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ AEP ~ Δ ADB

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(iv) Δ PDC तथा Δ BEC में

∠PDC = ∠BEC  (प्रत्येक 90°)

∠C = ∠C     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ PDC ~ Δ BEC

Ex 6.3 Class 10 गणित Q8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है | 

हल:

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 6.1 44

दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : Δ ABE ~ Δ CFB

प्रमाण : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |

∠AEB = ∠CBE  …. (1) एकान्तर कोण

Δ ABE तथा Δ CFB में,

∠AEB = ∠CBE  समी० (1) से

∠A = ∠C  (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABE ~ Δ CFB

Ex 6.3 Class 10 गणित Q9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं | सिद्ध कीजिए कि :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP 

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हल:

दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP

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प्रमाण :

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

∠ABC = ∠AMP  (प्रत्येक 90°)

∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABC ~ Δ AMP

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(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)

Ex 6.3 Class 10 गणित Q10. CD और GH क्रमश:  ACB  और  EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ΔFEG है, तो दर्शाइए कि : 

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 6.1 49
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(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF

हल:

दिया है : CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है |

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 51

(समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं |)

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

(ii)  Δ DCB तथा Δ HGE में,

∠B = ∠E  समी० (2) से

∠BCD = ∠EGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

A.A समरूपता कसौटी से

Δ DCB ~ Δ HGE

(iii) Δ DCA तथा Δ HGF में
∠A = ∠F  समी० (1) से

∠ACD = ∠FGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

A.A समरूपता कसौटी से

Δ DCA ~ Δ HGF   Proved

Ex 6.3 Class 10 गणित Q11. आकृति 6.40 में, AB = AC वालेएक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित एक बिन्दु है यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है |

हल:

दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 6.1 52

सिद्ध करना है :

ΔABD ~ ΔECF

प्रमाण :

ΔABC में,

AB = AC दिया है;

∴ ∠B = ∠C    ……… (1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ….)

अब, ΔABD तथा ΔECF में

∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)

∠B = ∠C    समी० (1) से

A.A समरूपता कसौटी से

ΔABD ~ ΔECF    Proved

Ex 6.3 Class 10 गणित Q12एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है 

हल:

दिया है : त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं |

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 6.1 53

सिद्ध करना है :

ΔABC ~ ΔPQR

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 6.1 54

(चूँकि माध्यिकाएँ AD तथा PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं |)

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 55

Ex 6.3 Class 10 गणित Q13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ADC = BAC है | दर्शाइए कि CA= CB.CD है |

हल :

दिया है : त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है |

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium 6.1 56

सिद्ध करना है : CA= CB.CD

प्रमाण :

अब, ΔADC तथा ΔBAC में

∠ADC = ∠BAC ( दिया है )

∠C = ∠C    (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

ΔADC ~ ΔBAC

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 57(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)

या   CA= CB.CD  (बाई-क्रॉस गुणा करने पर)

Proved 

Ex 6.3 Class 10 गणित Q14. एक त्रिभुज ABC की  भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ΔPQR है |

NCERT Textbook Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 58

हल : 

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths PDF Hindi Medium 6.1 59

यहाँ माध्यिकाएँ समान अनुपात में हैं इसलिए समान अनुपात की माध्यिकायें जिस भुजा को समद्विभाजित करती है वह भी समानुपाती होता है

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Ex 6.3 Class 10 गणित Q15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m हैजबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions For Class 10 Maths 6.1 61
NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 6.1 62

प्रश्नावली 6.4 

Ex 6.4 Class 10 गणित Q1. मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm2  और 121 cmहैं यदि EF = 15.4 cmहोतो BC ज्ञात कीजिए |

Maths NCERT Solutions For Class 10 6.1 63
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 6 Exercise 6.4.

Ex 6.4 Class 10 गणित Q2. एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC हैंके विकर्ण परस्पर बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि AB = 2 CD हो तो ΔAOB और ΔCOD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए |

हल :

दिया है :  ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC हैं,

के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं | और AB = 2 CD है |

AB = 2 CD  ( दिया है )

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 6 optional Exercise 6.4in English Medium PDF

Ex 6.4 Class 10 गणित Q3. आकृति 6.44 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं | यदि AD,BC कोप O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए की ar(ABC) /ar(DBC)  AO/DO है |
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 6 optional Exercise 6.4Question 1, 2, 3, 4, 5
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 6 Optional Exercise6.4 in Hindi Medium PDF

Ex 6.4 Class 10 गणित Q4.यदि दो समरूप तत्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वान्गसम होते हैं|
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 5 Optional Exercise6.4 Aichchhik
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 6 Optional Exercise6.4 for CBSE and UP Board

Ex 6.4 Class 10 गणित Q5. एक त्रिभुज ABC  की भुजाओं AB,BC और CA के मध्य – बिन्दु क्रमशः D, E और F हैं |  त्रिभुज DEF और त्रिभुज ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|
Chapter 5 Exercise 6.4 Solutions for CBSE Board
Exercise 6.4 Questions Answers solutions

Ex 6.4 Class 10 गणित Q6. सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है |
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Ex 6.4 Class 10 गणित Q7. सिद्ध कीजिए कि दो एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी  वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है |
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Ex 6.4 Class 10 गणित Q8. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कोई भुजद BC का मध्य – बिन्दु है |  त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है:

(A) 2:1             (B)  1:2           (C) 4:1    (D) 1:4
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चूंकि सभी समबाहु त्रिभुजें समरूप होती हैं।
ΔABC ~ ΔBDE
इनके क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के समान होता है।
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Ex 6.4 Class 10 गणित Q9. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं | इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :

(A) 2:3      (B) 4:9       (C) 81:16     (D) 16: 81
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प्रश्नावली 6.5 

Ex 6.5 Class 10 गणित Q1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm (ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm (iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल :

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

252 = 72 + 242

625 = 49 + 576

625 = 625

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 25 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

82 = 32 + 62

64 = 9 + 36

64 = 45

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

1002 = 502 + 802

10000 = 2500 + 6400

10000 = 8900

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर नहीं है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की नहीं है |

(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल: निम्न मानों को पाइथागोरस प्रमेय में रखने पर

कर्ण2 = लंब2 + आधार2

132 = 52 + 122

169 = 25 + 144

169 = 169

चूँकि वायां पक्ष और दायां पक्ष बराबर है |

इसलिए ये भुजाएँ समकोण त्रिभुज की है |

अत: कर्ण = 13 cm (सबसे बड़ी भुजा कर्ण होती है )

Ex 6.5 Class 10 गणित Q2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM2 = QM . MR है |

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 6.1 66

हल:

दिया है : PQR एक समकोण त्रिभुज है

जिसका कोण P समकोण है तथा QR

पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि  PM ⊥ QR है |

सिद्ध करना है : PM2 = QM . MR

प्रमाण : PM ⊥ QR दिया है |

इसलिए प्रमेय 6.7 से

ΔPMQ ~ ΔPRQ   …… (1)

इसीप्रकार,

ΔPMR ~ ΔPRQ   …… (1)

समीकरण (1) तथा (2) से

ΔPMQ ~ ΔPMR

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 6 Triangles (Hindi Medium) 6.1 67

Ex 6.5 Class 10 गणित Q3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC  BD है | दर्शाइए कि 

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 6.1 68

(i) AB2 = BC . BD

(ii) AC2 = BC . DC

(iii) AD2 = BD . CD

हल :

दिया है : ABD एक समकोण त्रिभुज है | जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है |

सिद्ध करना है :

NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 69

(i) AB2 = BC . BD

(ii) AC2 = BC . DC

(iii) AD2 = BD . CD

प्रमाण : (i) ABD एक समकोण त्रिभुज है और

AC ⊥ BD दिया है |

ΔABC ~ ΔABD …… प्रमेय 6.7

NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 6.1 70

Ex 6.5 Class 10 गणित Q4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है | सिद्ध कीजिए कि AB2 = 2AC2 है |

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 6.1 71

हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसका कोण C समकोण है |

सिद्ध करना है : AB2 = 2AC2

प्रमाण : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

AC = BC  ………. (i)

और ABC एक समकोण त्रिभुज है |

पाइथागोरस प्रमेय से

AB2 = BC+ AC2

अथवा AB2 = AC+ AC2  (समी० 1 से)

अथवा AB2 = 2AC2 Proved

Ex 6.5 Class 10 गणित Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है | यदि AB2 = 2AC2 है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है |

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 72

हल :

दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

जिसमें AC = BC है और  AB2 = 2AC2 है

सिद्ध करना है : ABC एक समकोण त्रिभुज है |

प्रमाण : AC = BC ….(1) दिया है

और   AB2 = 2AC2     ……… (दिया है)

अथवा AB2 = AC+ AC2

अथवा AB2 = BC+ AC2  ( समी० 1 से )

अत: पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.9) से

ABC एक समकोण त्रिभुज है | Proved

Ex 6.5 Class 10 गणित Q6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल : समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है |

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 6.1 73

AB = BC = AC = 2a

रचना : AD ⊥ BC डाला |

अत: समकोण त्रिभुज ACD में

पाइथागोरस प्रमेय से,

AC2 = AD+ DC2

(2a)2 = AD2 + (a)2

4a2 = AD2 + a2

AD2 = 4a2 – a2

AD2 = 3a2

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Ex 6.5 Class 10 गणित Q7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 6.1 75

हल:

दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसकी

भुजाएँ AB, BC, CD तथा AD है | और विकर्ण

AC तथा BD एक दुसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है : AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2

प्रमाण : समचतुर्भुज के विकर्ण एक दुसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं | इसलिए,

समकोण ΔAOB में पाइथागोरस प्रमेय से,

AB2 = AO2 + BO2  …………… (1)

इसीप्रकार ΔBOC, ΔCOD और ΔAOD में,

BC2 = CO2 + BO2  …………… (2)

CD2 = CO2 + DO2  …………… (3)

AD2 = AO2 + DO2  …………… (4)

समी० (1) (2) (3) और (4) जोड़ने पर

AB2+BC2+CD2+AD2=AO2+BO2+CO2+BO2+CO2+DO2+AO2+DO2

RHS = 2AO2 + 2BO2 + 2CO2 + 2DO2

= 2(AO2 + BO2 + CO2 + DO2)

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 76

Ex 6.5 Class 10 गणित Q8. आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है | 

दर्शाइए कि 

(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF Free Hindi Medium 6.1 77
हल: ​

​दिया है : ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD⊥ BC, OE⊥AC और OF⊥ AB है |

सिद्ध करना है : 

(i) OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2

प्रमाण: 

समकोण Δ AOF में, पाइथागोरस प्रमेय से

OA2 = AF2 + OF2  ……………………. (I)

समकोण Δ BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से

OB2 = BD2 + OD2  ……………………. (II)

समकोण Δ COE में, पाइथागोरस प्रमेय से

OC2 = CE2 + OE2  ……………………. (III)

समीकरण (I), (II) तथा (III) को जोड़ने पर

OA2 + OB2 + OC2 = AF2 + OF2 + BD2 + OD+ CE2 + OE2

OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2  Proved I

अब, पुन:

OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2 = AF2 + BD2 + CE2  

या  AF2 + BD2 + CE= OA2 + OB2 + OC2 – OD2 – OE2 – OF2

या  AF2 + BD2 + CE= (OA2 – OE2 ) + (OB2  – OF2 ) + (OC2 – OD2)

या AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2  पाइथागोरस प्रमेय से

Ex 6.5 Class 10 गणित Q13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है |

सिद्ध कीजिए कि AE2 + BD2 = AB2 + DE2 है |

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 6.1 78

Ex 6.5 Class 10 गणित Q14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है |

सिद्ध कीजिए कि : 2AB2 = 2AC2 + BC2 है |

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Ex 6.5 Class 10 गणित Q16.  किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक  शीर्षलंब  के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है |

NCERT Maths Solutions For Class 10 6.1 84

प्रश्नावली 6.6

Ex 6.6 Class 10 गणित Q1. आकृति 6.56 में PS कोण QPR का समद्विभाजक है | सिद्ध कीजिए कि QS/SR PQ/PR है|

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Ex 6.6 Class 10 गणित Q2. आकृति 6.57 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है तथा DM |BC और DN | AB है | सिद्ध कीजिए कि

(i) DM= DN.MC

(ii) DN = DM.AN
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Ex 6.6 Class 10 गणित Q3. आकृति 6.58 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC >90हा तथा AD| CB है | सिद्ध  कीजिए की AC= AB+ BC+ 2BC.BD है |
NCERT Solutions For Maths Class 10 6.1 86
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Ex 6.6 Class 10 गणित Q4. आकृति 6.59 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें angle ABC <90है तथा AD| BC है | सिद्ध कीजिए कि AC= AB+ BC– 2 BC.BD है |
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Ex 6.6 Class 10 गणित Q5. आकृति 6.60 में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM|BC है | सिद्ध कीजिए की
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(i) AC= AD+ BC. DM + (BC/2)

(ii) AB2 = AD– BC.DM + (BC/2 )

(iii) AC+ AB= 2AD2  + 1/ 2 BC2          
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Ex 6.6 Class 10 गणित Q6. सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकार्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है |
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Ex 6.6 Class 10 गणित Q7. आकृति 6.61 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD परस्पर बिन्दु प पर प्रतिच्छेद करती  हैं| सिद्ध कीजिए कि

(i) त्रिभुज APC ~ त्रिभुज DPB

(ii) AP.PB = CP.DP

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Ex 6.6 Class 10 गणित Q8. आकृति 6.62 में एक वृत्त की दो जिवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर  प्रतिच्छेद करती हैं | सिद्ध कीजिए कि

(i) त्रिभुज PAC ~ त्रिभुज PDB

(ii) PA. PB = PC.PD

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Ex 6.6 Class 10 गणित Q9.  आकृति 6.63 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि  BD/CD AB/AC है | सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है |

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Ex 6.6 Class 10 गणित Q10. नाजिमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है | उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का  सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के  सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दुरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक  नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दुरी 2.4m है | यह मानते हुए कि उसकी  डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक ) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए आकृति 6.64) ? यदि वह डोरी को 5 cm /s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकंड  के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दुरी कितनी होगी ?

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

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Chapter 3. दो चरों वाले रखिक समीकरणों का युग्म

प्रश्नावली 3.1 

Ex 3.1 Class 10 गणित Q1. आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था | अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा |’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : 

माना आफ़ताब की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

और उसकी पुत्री की वर्त्तमान आयु = y वर्ष

7 वर्ष पूर्व आफ़ताब की आयु = x – 7 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y – 7 वर्ष

स्थित – I

x – 7 = 7(y – 7)

x – 7 = 7y – 49

x – 7y = 7 – 49

x – 7y = – 42   ……… (1)

3 वर्ष बाद आफ़ताब की आयु = x + 3 वर्ष

और उसकी पुत्री की आयु = y + 3 वर्ष

स्थित – II

x + 3 = 3(y + 3)

x + 3 = 3y + 9

x – 3y = 9 – 3

x – 3y = 6 ……. (2)

बीजगणितीय रूप में :

x – 7y = – 42   ……… (1)

x – 3y = 6 ……. (2)

​ग्राफीय रूप में प्रदर्शन:

x – 7y = – 42

x = – 42 + 7y

 x  -7  0  7
 y  5  6  7

x – 3y = 6

x = 6 + 3y

 x  0  -3  6
 y  -2  -3  0

NCERT Solutions class 10 maths chapter 3 exercise 3.1 in Hindi medium PDF

Ex 3.1 Class 10 गणित Q2. क्रिकेट टीम के एक कोच ने 3900 रू में 3 बल्ले तथा 6 गेंदे खरीदी | बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 2 गेंदे 1300 रू में खरीदीं | इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |

हल : माना एक बल्ले का मूल्य = x रुपये

और एक गेंद का मूल्य = y रुपये

अत: बीजगणितीय निरूपण

3x + 6y = 3900 ………. (1) और

x + 2y = 1300 ………. (2)

समी० (1) से

3x + 6y = 3900

3(x + 2y) = 3990

या x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

 x 700 500 300
 y 300 400 500

इसी प्रकार समी० (2) से

x + 2y = 1300

x = 1300 – 2y

 x 700 500 300
 y 300 400 500

ग्राफीय निरूपण 

class 10 maths solutions chapter 3 exercise 3.1 in Hindi

Ex 3.1 Class 10 गणित Q3. 2kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन 160 रू था एक महीने बाद 4 kg सेब और दो kg अंगूर का मूल्य 300 रू हो जाता है |इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए |   

हल : माना एक किलों सेब का मूल्य = x रुपया

और एक किलो अंगूर का मूल्य = y रुपया

अत: बीजगणितीय निरूपण :

2x + y = 160  ……… (1)

4x + 2y = 300 …….. (2)

ग्राफीय निरूपण : 

समी० (1) से

2x + y = 160

y = 160 – 2x

अब समी० (2) से

4x + 2y = 300

या 2x + y = 150

y = 150 – 2x

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.1 in Hindi Medium

प्रश्नावली 3.2 

Ex 3.2 Class 10 गणित Q1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) कक्षा x के 10 विधार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया | यदि लड़कियों की संख्या लड़कों से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लडको और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए |

हल :

माना लड़कियों की संख्या = x

तथा लड़कों की संख्या = y

प्रश्नानुसार,

लड़के और लडकियाँ की कुल संख्या 10 है |

इसलिए,  x + y = 10  …….. (1)

लड़कों से लड़कियाँ 4 अधिक हैं |

इसलिए,  x – y = 4  …….. (2)

समी० (1) के लिए तालिका

x + y = 10

⇒ x = 10 – y

 x  5  6  7
 y  5  4  3

समी० (2) के लिए तालिका

x – y = 4

⇒ x = 4 + y

 x  5  6  7
 y  1  2  3

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 in Hindi

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (7, 3) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, लड़कियों कि संख्या = 7 और लड़कों की संख्या = 3 है |

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रू. है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रू. है | एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए |

हल :

माना एक पेन्सिल का मूल्य = x रू०

और एक कलम का मूल्य = y रू०

प्रश्नानुसार,

5x + 7y = 50 ……… (1) और

7x + 5y = 46  ……..(2)

समी० (1) से

5x + 7y = 50

⇒ 5x = 50 – 7y

NCERT Solutions For Maths Class 10 Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 5
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 in Hindi Medium

ग्राफीय विधि से हल के लिए हम जब बने ग्राफ को देखते हैं तो पाते हैं कि बिंदु (3, 5) दिए गए समीकरण के लिए प्रतिच्छेदन बिंदु है जो कि रैखिक समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है |

इसलिए, पेन्सिल का मूल्य = 3 और कलम का मूल्य = 5 है |

Class 10 MAths chapter 3 exercise 3.2

(i) 5x – 4y +8 = 0             

   7x + 6y – 9 = 0  

(ii) 9x +3y + 12 = 0               

   18x + 6y + 24 = 0

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

    2x – y + 9 = 0

Class 10 MAths chapter 3 exercise 3.2 in hindi medium

हल : 

(ii) 9x + 3y + 12 = 0 

    18x + 6y + 24 = 0

Class 10 MAths chapter 3 exercise 3.2 in Hindi PDF

हल :  

(iii) 6x – 3y + 10 = 0 

      2x – y + 9 = 0

a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10

a2 = 2, b2 = -1, c2 = 9

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 in hindi
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 Hindi medium

हल : 

(i) 3x + 2y = 5;  2x  3y = 7      

a1 = 3, b1 = 2, c1 = 5

a2 = 2, b2 = -3, c2 = 7

NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.2 PDF

हल : 

(ii) 2x  3y = 8;  4x  6y = 9

a1 = 2, b1 = -3, c1 = 8

a2 = 4, b2 = -6, c2 = 9

Class 10 Maths chapter 3 exercise 3.2 in Hindi medium
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Ex 3.2 Class 10 गणित Q4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत /असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए |

(i) x+y = 5,   2x +2y = 10

(ii) x – y = 8,  3x – 3y = 16

(iii) 2x + y -6 = 0, 4x- 2y – 4 = 0

(iv) 2x – 2y- 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0 

हल : 

Class 10 Maths chapter 3 exercise 3.2 in Hindi
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Ex 3.2 Class 10 गणित Q5. एक आयताकार बाग़ जिसकी लंम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36m है | बाग़ की विमाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना आयताकार बाग की लंबाई = x m

और  चौड़ाई = y m है |

अर्धपरिमाप = 36 m

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अत: बाग की लंबाई = 20 मीटर

और चौड़ाई = 16 मीटर

Ex 3.2 Class 10 गणित Q6. एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है | दी चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि 

(i) प्रतिछेद करती रेखाएँ हों |           (ii) समांतर रेखाएँ हों|

(iii) संपाती रेखाएँ हों |

हल : 2x + 3y – 8 = 0  ………… (i)  (दिया है)

हमें एक और ऐसी ही रैखिक समीकरण खींचना है जिससे प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाए हो

रेखाए प्रतिच्छेद करती हो इसके लिए

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Ex 3.2 Class 10 गणित Q7. समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए | x- अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए |

हल :

x – y + 1 = 0   …………. (i)

3x + 2y – 12 = 0 ………….(ii)

समीकरण (i) से

x – y + 1 = 0

या y = x + 1

अब x का मान 0, 1 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: 1, 2 और 3 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है –

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अब इसमें x का मान 0, 2 और 4 रखने पर y का मान क्रमश: 6, 3 और 0 प्राप्त होता है जिसकी तालिका निम्न है |

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प्रश्नावली 3.3

Ex 3.3 Class 10 गणित Q1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

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हल Q1:

(i) x + y = 14  ………… (i)

   x – y = 4    ………… (ii)

प्रतिलोपन विधि से

समीकरण (ii) से

x – y = 4

x = 4 + y

अब समीकरण (i) में x का मान 4 + y रखने पर

x + y = 14

या (4 + y) + y = 14

या 4 + 2y = 14

या 2y = 14 – 4

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अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है –

x = 2 और y = 3 

Ex 3.3 Class 10 गणित Q2. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |

हल :

2x + 3y = 11 …………. (i)

2x – 4y = – 24 ……….. (ii)

समीकरण (i) से

2x + 3y = 11

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अब m का मान प्राप्त करने के लिए x और y का मान y = mx + 3 में रखने पर

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Ex 3.3 Class 10 गणित Q3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :

(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल : माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है |

तो प्रश्नानुसार,

स्थिति (I)

x – y = 26 …………. (i)

स्थिति (II)

x = 3y     …………. (ii)

अब समीकरण (i) में x = 3y रखने पर

x – y = 26

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(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है | उन्हें ज्ञात कीजिए |

हल :

माना दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण x है

और छोटा कोण y है |

अत: स्थिति (II)

x – y = 18°  …………… (i)

x + y = 180°  ……….. (ii)

(संपूरक कोणों का योग 180° होता है |)

अब समीकरण (i) से

x – y = 18°

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 46

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे 3800 रू. में खरीदी | बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रू. में खरीदी | प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए|

हल :

माना एक बल्ले का मूल्य x रुपये

और एक गेंद का मूल्य y रुपये है |

स्थित I

7 बल्ले + 6 गेंद = 3800

CBSE NCERT Maths Solutions Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 47
NCERT Maths Textbook Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 48

अत: एक बल्ले का मूल्य 500 रुपया है और एक गेंद का मूल्य 50 रुपया है |

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दुरी पर भाडा सम्मिलित किया जाता है | 10 km दुरी के लिए 105 रू है तथा 15 km के लिए भाडा 155 रू है | नियत भाडा तथा प्रति km भाडा ज्ञात कीजिए और एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाडा देना होगा?

हल : माना टैक्सी का नियत भाडा x रुपया है |

और प्रत्येक अतिरिक्त प्रति किलोमीटर के लिए भाडा y रुपया है |

स्थिति I

x + 10y = 105 ……….. (i)

स्थिति II

x + 15y = 155 ………… (ii)

समीकरण (i) से

x + 10y = 105

NCERT Maths Textbook Solutions Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 49

अत: नियत भाडा 5 रुपया और अतिरिक्त किराया 10 रुपया है |

25 km के लिए भाडा = x + 25y

= 5 + 25(10)

= 5 + 250

= 255 रुपये

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(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी | पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की सात गुनी थी | उनकी वर्तमान आयु क्या है?   

हल : माना जैकब की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु y वर्ष है |

स्थिति I

पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु = x + 5 वर्ष

और उसके पुत्र की आयु = y + 5 वर्ष

अत: x + 5 = 3(y + 5)
NCERT Solutions for class 10 Maths Chapter 3 Exercise 3.7 in English
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 55

अत: जैकब की वर्त्तमान आयु 40 वर्ष और उसके पुत्र की वर्त्तमान आयु 10 वर्ष है |

प्रश्नावली 3.4 

Ex 3.4 Class 10 गणित Q1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए | कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है ? 

(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4      

(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium) 3.2 56

विलोपन विधि (Substitution Method) : इस विधि में समीकरण (i) और समीकरण (ii) के चर x या y किसी एक चर के गुणांकों (coefficients)को बराबर किया जाता है और फिर इन समीकरणों को एक दुसरे में से घटाया या जमा किया जाता है | घटाने पर जिस चर को हमने बराबर किया था वह विलोपित हो जाता है | और तब अन्य चर का मान प्राप्त करते है, और उस चर के मान को किसी भी समीकरण में रखने पर विलोपित चर का मान प्राप्त हो जाता है |

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Class 10 maths chapter 3 aikchhik prashnavali 3.7 solutions
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अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = 1 ​

हल :(iii) 3x – 5y – 4 = 0

या       3x – 5y = 4 ……… (i)

9x = 2y + 7

या       9x – 2y + 7
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अत: दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है x = 2 और y = – 3

Ex 3.4 Class 10 गणित Q2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए) :
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(यहाँ समीकरण (i) और (ii) में y के गुणांक पहले ही से बराबर है इसलिए इन्हें बराबर करने की जरुरत नहीं है |)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 3.2 70

(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी | दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी नूरी और सोनू की आयु में कितनी है ?

हल : माना नूरी की आयु x वर्ष

और सोनू की आयु y वर्ष

स्थिति I

पाँच वर्ष पूर्व,

नूरी की आयु = x – 5 वर्ष

सोनू की आयु = y – 5 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x – 5 = 5(y – 5)

या  x – 5 = 5y – 25

या  x – 5y = 5 – 25

या  x – 5y = – 20 ………… (i)

स्थिति II

दस वर्ष बाद,

नूरी की आयु = x + 10 वर्ष

सोनू की आयु = y + 10 वर्ष

प्रश्नानुसार,

x + 10 = 2(y + 10)

या  x + 10 = 2y + 20

या  x – 2y = 20 – 10

या  x – 2y = 10  ………… (ii)

(चूँकि x के गुणांक स्वत: बराबर है इसलिए गुणांक बराबर नहीं करेंगे|)

अब समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर

NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 3.2 71

अत: नूरी की आयु 30 वर्ष है और सोनू की आयु 10 वर्ष है |

(iii) दो अंको की संख्या के अंको का योग 9 है | इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंको को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है | वह संख्या ज्ञात कीजिए |

हल : माना संख्या के इकाई का अंक x है |

और दहाई का अंक y है |

तो वास्तविक संख्या = 10y + x होगी,

और पलटी हुई संख्या = 10x + y

स्थित I

x + y = 9 ……….. (i)

स्थिति II

9(संख्या) = 2(पलटी संख्या)

या     9(10y + x) = 2(10x + y)

या     90y + 9x = 20x + 2y

या     20x – 9x + 2y – 90y = 0

या     11x – 88y = 0

या     x – 8y = 0

या     x = 8y ……….. (ii)

समीकरण (i) में x = 8y रखने पर

x + y = 9

या   8y + y = 9

या    9y = 9

या     y =  = 1

y = 1 समीकरण दो में रखने पर

x = 8y = 8 × 1 = 8

अत: अभीष्ट संख्या = 10y + x

= 10 × 1 + 8

= 18

(iv) मीना 2000 रू निकालने के लिए एक बैंक गई| उसने खजाँची से 50 रू तथा 100 रू के नोट देने के लिए कहा | मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए | ज्ञात कीजिए की उसने 50 रू और 100 रू के कितने -कितने नोट प्राप्त किए |

हल : माना 50 रुपये के नोटों की संख्या = x है |

और 100 रुपये के नोटों की संख्या = y है |

स्थित I

कुल नोट की संख्या = 25

अत: x + y = 25  ……….. (i)

अब स्थित II

50 के x नोट + 100 के y नोट = 2000 रुपये

अत:  50x + 100y = 2000

या    x + 2y = 40   ……….. (ii) (सरल करने पर)

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 3.2 72

(v) किराए पर पुस्तके देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है| सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रू अदा किए, जबकि सुसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रुपए अदा किए | नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए |

हल : 

माना नियत किराया = x रुपया

और अतिरिक्त दिन का किराया = y रुपया

स्थिति I

x + 7y = 27  ……… (i)

स्थिति II

x + 5y = 21 ……….. (ii)

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 3.2 73

अत: नियत किराया = 6 रुपया और अतिरिक्त किराया = 3 रुपया/दिन

प्रश्नावली 3.5 

Ex 3.5 Class 10 गणित Q1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मो में से किसका एक अद्दितीय हल है, किसका कोई हल नहीं हा या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल है | अद्दितीय हल की स्थिति में, उसे ब्रज – गुणन विधि से ज्ञात कीजिए |

(i) x – 3y = 0

3x – 9y – 2 = 0

(ii) 2x + y = 5

3x + 2y = 8

(iii) 3x – 5y = 20

6 x – 10y =  40

(iv) x – 3y – 7 = 0

3x – 3y – 15 = 0

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Ex 3.5 Class 10 गणित Q2. (i) a और b के किन मानों के लिए, रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

2x + 3y = 7

(a – b)x + ( a + b)y = 3a + b – 2

(ii) kके किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है ?

3x + y = 1

( 2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
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Ex 3.5 Class 10 गणित Q3. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एंव व्रज – गुणन विधियों से हल कीजिए |

किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं ?

8x + 5y = 9

3x + 2y = 4
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Ex 3.5 Class 10 गणित Q4. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो ) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए :

(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है| जब एक विद्धार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रू छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते है, जबकि एक विधार्थी B को,जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रू अदा करने पड़ते है | नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए |

(ii) एक भिन्न 1/3 हो जाती है, जब उसके अंश से 1  घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब         हर में 8 जोड़ दिया जाता है | वह भिन्न ज्ञात कीजिए |

(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई | यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश ५०अन्क अर्जित करता | टेस्ट में कितने प्रश्न थे ?

(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दुरी पर है | एक कार A से तथा दूसरी कार b से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है | यदि ए कारे भिन्न भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती है, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं | दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए |

(v) एक आयात का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है| यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दे, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है | आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए |
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प्रश्नावली 3.6 

Ex 3.6 Class 10 गणित Q1. निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

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Ex 3.6 Class 10 गणित Q2. निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है | उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए |

(ii) 2 महिलाएँ एंव 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ- साथ 4 दिन में पूरा कर सकते है | जबकि 3 महिलाएँ एंव 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते है ज्ञात  कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक महिला कितना समय लेगी | पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा |

(iii) रूही 300 km दुरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दुरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दुरी बस द्वारा तय करती है | यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं | यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं | रेलगाड़ी एंव बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए |
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प्रश्नावली 3.7 

Ex 3.7 Class 10 गणित Q 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है | अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है | कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है | अणि और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘ यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा |’ दूसरा उत्तर देता है ‘ यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 km /h अधिक तेज  चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते | रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक                होते, तो | पंक्ति कम होती | यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q5. एक त्रिभुज ABC में,                           है | त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए |
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x  – y = 3 के ग्राफ खींचिए | इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए | इस  प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए | 
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

(i) px + qy = p – q

qx – pq = p + q

(ii) ax + by = c

bx + ay = 1 + c

(iii) x/a –  y/b = 0

ax + by = a2 + b2

(iv) (a – b)x + (a + b)y = a2 – 2ab – b2

(a + b) (x + y ) = a2 + b2

(v) 152x – 378y = -74

-378x + 152y = – 604
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Ex 3.7 Class 10 गणित Q8. ABCD एक चतुर्भुज है इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए |
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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium)

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Chapter 4. द्विघात समीकरण

प्रश्नावली 4.1

Ex 4.1 Class 10 गणित Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है: 

(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)

हल :

(x + 1)2 = 2(x – 3)

⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6

⇒ x2 + 2x – 2x + 1 + 6 = 0

⇒ x2 + 7 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)

हल :

x2 – 2x = – 6 + 2x

⇒ x2 – 2x – 2x + 6 = 0

⇒ x2 – 4x + 6 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = – 4 और c = 6 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(iii) (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)

हल :  (x – 2) (x + 1) = ( x – 1) (x + 3)

⇒ x2 + x – 2x -2  = x2 + 3x – x – 3

​⇒ x2 – x2+ x + x – 2x + 3x -2 + 3 = 0

​⇒ 2x – x – 1  = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(iv) (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)

हल : (x – 3) (2x +1) = x( x + 5)

⇒ 2x+ x – 6x – 3= x+ 5x

⇒ 2x– 5x – 3= x+ 5x

⇒  2x– x– 5x – 5x – 3  =  0

⇒  x– 10x – 3  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 1, b = – 10 और c = – 3 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(v) (2x – 1) 2(x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)

हल :  (2x – 1) 2(x – 3 ) = (x + 5) (x – 1)

⇒ (2x – 1) (2x – 6 ) = (x + 5) (x – 1)

⇒ 4x– 12x – 2x + 6 = x+ 4x – 5

⇒ 4x– 14x + 6 = x2 – x + 4x – 5

⇒ 4x– x– 14x – 4x + 6 + 5 = 0

⇒  3x– 18x + 11  =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 3, b = – 18 और c = 11 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)

हल : x2 + 3x + 1 = (x – 2)2

⇒  x2 + 3x + 1 = x– 2x +4

⇒x– x+ 4x + 3x + 1 – 4 = 0

⇒ 7x – 3 =  0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1) 

हल :(x + 2)3 = 2x( x– 1)

⇒ x+ 8 + 6 + 12x = 2x– 2x

⇒ 2x– x3 – 6-12x + 2x  – 8 = 0

⇒  x3 – 6x-10x – 8 =0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता  है |

... यह द्विघात समीकरण नहीं है |

(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2 )3  

हल : x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2 )3

⇒x3 – 4x2 – x + 1  = x– 8 + 6x+ 12x

⇒ x– x3 –  4x2 + 6x-12x + 1 = 0

⇒  2x-13x + 1 = 0

ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर

a = 2, b = – 13 और c = 1 प्राप्त होता है

चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |

Ex 4.1 Class 10 गणित Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 mहै | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |

हल :   एक  आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m

आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2x + 1 m 

आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2

लंबाई x चौड़ाई = 528

(2x + 1)x = 528

2x2 + x = 528

2x2 + x – 528 = 0

2x2 + 33x – 32x – 528 = 0

x(2x + 33) – 16(2x + 33 ) = 0

(2x + 33) (x – 16) = 0

2x + 33 = 0 तथा x – 16 = 0

2x = – 33 तथा x = 16
x = – 33/2 तथा x = 16
चूँकि
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m

                        = 16 m

आयताकार भूखंड की लंबाई  = 2X+ 1 m

= 2 x 16 + 1 m

= 32 + 1 m

= 33m

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306

माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306

पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306

(x + 1)x    = 306

x2 + x = 306

x2 + x – 306 = 0

2x2 + 18x – 17x – 306 = 0

x(x + ) – 17(x + 18 ) = 0

(x + 18) (x – 17) = 0

x + 18 = 0 तथा x – 17 = 0

x = – 18 तथा x = 17
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x

                   = 17

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1

= 17 + 1

= 18

(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |

हल : माना रोहन की वर्तमान आयु  = x

रोहन की माँ की आयु  = x + 26

तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु  = x + 3

तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु   = x + 26 + 3

           = x + 29

दोनो की आयु का गुणनफल = 306

(x + 29)(x + 3) = 306

x2 + 29x + 3x + 87 = 306

x2 + 32x + 87 = 306

x2 + 32x = 273

x2 + 32x – 273 = 0

x+ 39x – 7x – 273 = 0

x+ 39x – 7x – 273 =0

x(x + 39) – 7(x + 39) = 0

(x + 39) (x – 7) = 0

x + 39 = 0 तथा x – 7 = 0

x = – 39 तथा x = 7
चूँकि
रोहन की वर्तमान आयु  = 7 वर्ष
रोहन की माँ की आयु  =  x + 26

                   =  7 + 26

= 33 वर्ष

(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|

हल : 

माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |

दुरी = 480 km

प्रश्नावली 4.2 

Ex 4.2 Class 10 गणित Q1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :  

(i) x– 3x – 10 = 0

हल : x– 3x – 10 = 0

x– 5x + 3x – 10 = 0

x(x – 5) + 2(x – 5) = 0

(x – 5)(x + 2)  = 0

x – 5 = 0 तथा x + 2 = 0

x = 5 तथा x = – 2

(ii) 2x​+ x – 6 = 0

हल :  2x​+ x – 6 = 0

2x2 + 4x – 3x – 6 = 0

x(x + 2 ) – 3(x + 2) = 0

(x + 2) (x – 3) = 0

x + 2= 0 तथा x – 3 = 0

x = – 2 तथा x = 3

(iii)√2x2 + 7x + 5√2 = 0

हल : √2x2 + 7x + 5√2 = 0

√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0

x(√2x +  5) – √2(√2x + 5) = 0

(√2x +  5) (x – √2) = 0

√2 x +  5 = 0 तथा x – √2 = 0

√2x = – 5 तथा x = √2

x = – 5 /√2 तथा x = √2

(iv) 2x– x + 1/8 = 0 

हल :  2x​- x + 1/8 = 0

2x​- x + 1/8 = 0

(v) 100x– 20x + 1 = 0 

हल :   100x– 20x + 1 =  0

100x– 10x – 10x + 1 =  0

x(10x – 1) -1(10x – 1) = 0

(x – 1)(10x – 1) = 0

10x – 1 = 0 तथा 10x – 1 = 0

10x = 1 तथा 10x = 1

x = 1/10तथा x = 1/10

Ex 4.2 Class 10 गणित Q2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए|

1. जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनपफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

हल :  जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45

माना जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x

कुल कंचों पाँच-पाँच कंचे खो जाने के बाद :-

जॉन के पास कुल कंचों की संख्या हैं = x – 5

जीवंती के पास कुल कंचों की संख्या हैं = 45 – x – 5

= 40 – x

शेष कंचों की संख्या का गुणनपफल है = 124

(x – 5)(40 – x) = 306 124

40x – x– 200 + 5x = 124

– x​+ 40x + 5x – 200 – 124 = 0

– x​+ 45x – 324 = 0

x​- 45x + 324 = 0

x​- 36x – 9x + 324 = 0

x(x – 36 ) – 9(x – 36) = 0

(x – 36)(x – 9) = 0

x – 36 = 0 तथा x – 9 = 0

x = 36 तथा x = 9

चूँकि x के दो मान है इसलिए
2. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निखमत करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ( रुपयों में ) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत 750 रु थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल : माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत =  55 – x रुपय

उस दिन कुल निर्माण लागत = 750

x(55 – x) = 750

55x – x2 = 750

– x​+ 55x – 750 = 0

x​- 55x + 750 = 0

x​- 30x – 25x + 750 = 0

x(x – 30 ) – 25(x – 30) = 0

(x – 30)(x – 25) = 0

x – 30 = 0 तथा x – 25 = 0

x = 30 तथा x = 25

माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या = x
                                  = 25

उस दिन प्रत्येक निर्मित खिलौनों का लागत = 55 – x

=  55 – 25

= 30 रूपय

Ex 4.2 Class 10 गणित Q3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो |

हल : संख्याओं का योग = 27

संख्याओं का गुणनफल = 182

माना पहली संख्या = x

दूसरी संख्या = x + 1

दोनों संख्या का गुणनफल = 182

x(27 – x) = 182

27x – x2 = 182

– x​+ 27x – 182= 0

x​- 27x + 182 = 0

x​- 14x – 13x + 182 = 0

x(x – 14 ) – 13(x – 14) = 0

(x – 14)(x – 13) = 0

x – 14 = 0 तथा x – 13 = 0

x = 14 तथा x =13

पहली संख्या = x

= 13

दूसरी संख्या = x + 1

= 13 + 1

= 14

Ex 4.2 Class 10 गणित Q4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो |

हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल  = 306

माना पहला धनात्मक पूर्णाक  = x

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1  

दोनों क्रमागत संख्या के वर्गों का योग  =  365

(x)2 + (x + 1)2    = 365

x2 + x+ 2x + 1 = 365

2x2  + 2x + 1 = 365

2x2 + 2x + 1 – 365 = 0

2x2 + 2x + 1 – 365 = 0

2x2 + 2x – 364 = 0

2(x2 + x – 182) = 0

x2 + x – 182 = 0/2

x2 + x – 182 = 0

x2 + 14x – 13x – 182 = 0

x(x + 14) – 13(x + 14) = 0

(x + 14) (x – 13) = 0

x + 14 = 0 तथा x – 13 = 0

x = – 14 तथा x = 13
चूँकि
पहला धनात्मक पूर्णाक = x

                   = 13

दूसरा धनात्मक पूर्णाक  = x + 1

= 13 + 1

= 14

Ex 4.2 Class 10 गणित Q5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है | यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

हल : समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7cm

समकोण त्रिभुज में कर्ण = 13 cm

पाईथागोरस प्रमेय के प्रयोग से
(कर्ण)2 = (ऊँचाई)2 + (आधार)2

AC2 = AB2 + BC)2

(13)2 = (x – 7)2 + (x)2

169 = x2 – 14x + 49 + x2

169 – 49= 2x2 – 14x

120 = 2(x2 – 7x)

x2 – 7x = 2/120

x2 – 7x – 60 = 0

x2 – 12x + 5x – 60 = 0

x(x – 12) + 5(x – 12) = 0

(x – 12) (x + 5) = 0

x – 12 = 0 तथा x + 5 = 0

x = 12 तथा x = – 5
चूँकि

समकोण त्रिभुज का आधार = x cm 

= 12 cm

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = x – 7 cm

                      = 12 – 7

= 5 cm

Ex 4.2 Class 10 गणित Q6. एक कुटीर उधोग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है | एक विशेष दिन यह देखा गया की प्रत्येक नाग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी | यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रूपए थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नाग की लागत ज्ञात कीजिए |

हल : माना उस दिन निर्मित बर्तनों की संख्या = x

प्रत्येक नाग की निर्माण लागत =  2x + 3

उस दिन की कुल निर्माण लागत = 90 रुपये

x(2x + 3) = 90

2x+ 3x = 9

2x+ 3x – 90 = 0

2x​+ 15x – 12x – 90 = 0

x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0

(2x + 15)(x – 6) = 0

2x + 15 = 0 तथा x – 6 = 0

x = – 15 तथा x = 6
माना उस दिन निर्मित बर्तनों  की संख्या = x
                                  = 6

उ स दिन प्रत्येक निर्मित बर्तनों का लागत = 2x + 3

=  2 x 6 + 3

= 12 + 3

= 15 रूपये

प्रश्नावली 4.3

Ex 4.2 Class 10 गणित Q1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाए की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए |

(i)  2x2 – 7x + 3 = 0

(ii)  2x2 + x – 4 = 0

(iii) 4x2 +4 3x + 3 = 0

(iv) 2x2 + x + 4 = 0

हल : 2x– 7x + 3 = 0

a = 2, b = -7 और c = 3

D = b– 4ac

D = (7)– 4x2x3

D = 49 – 24

D = 25

b– 4ac > 0 अर्थात D > 0 अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

2x– 7x + 3 = 0

दोनों पक्षों में 8 से गुणा करने पर

8(2x– 7x + 3 = 0)

16x– 56x + 24 = 0

( (4x)– 2.4x.7 + (7)) – (7)2 + 24 = 0   ( a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 )

(4x – 7)– 49 + 24 = 0

(4x – 7)– 25 = 0

(4x – 7)= 25

4x – 7 = 25

NCERT Solutions For Class 10 Maths 4.3 1

हल : (ii)  2x+ x – 4 = 0

a = 2, b = 1 और c = -4

D = b– 4ac

D = (1)– 4x2x(-3)

D = 1 + 24

D = 25

b– 4ac > 0

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x – 4 = 0

दो से भाग देने पर

NCERT Solutions For Class 10 Maths PDF 4.3 2
NCERT Maths Solutions For Class 10 4.3 3

अत: इस समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे |

2x+ x – 4 = 0

दो से भाग देने पर

Maths NCERT Solutions For Class 10 4.3 4

हल : (iv) 2x2 + x + 4 = 0

a = 2, b = 1, c = 4

D = b– 4ac

D = (1)– 4 × 2 × 4

D = 1 – 32

D = -31

b– 4ac < 0 अर्थात D < 0

अत: इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है |

Ex 4.3 Class 10 गणित Q2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात  कीजिए |

हल : प्रश्न 1 में वे प्रश्न जिनका मूलों का अस्तित्व है –

(i)  2x2 – 7x + 3 = 0

(ii)  2x2 + x – 4 = 0

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium) 4.3 5

हल : (i)  2x2 – 7x + 3 = 0

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = – 7, c = 3

NCERT Solutions For Maths Class 10 4.3 6

हल : (ii)  2x2 + x – 4 = 0

द्विघाती सूत्र द्वारा :

a = 2, b = 1, c = – 4

Solutions For NCERT Maths Class 10 Hindi Medium 4.3 7
NCERT Solutions Of Maths For Class 10 Hindi Medium 4.3 8

Ex 4.3 Class 10 गणित Q3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

Maths Solutions For Class 10 NCERT Hindi Medium 4.3 9

द्विघाती सूत्र से –

Solutions For Maths NCERT Class 10 Hindi Medium 4.3 10
NCERT Books Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 4.3 11
NCERT Maths Book Solutions For Class 10 Hindi Medium 4.3 12

हल : माना रहमान की वर्त्तमान आयु x वर्ष है |

तो प्रश्नानुसार, 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x – 3 वर्ष

CBSE NCERT Maths Solutions For Class 10 Hindi Medium 4.3 13

=> x2 + 2x – 15 = 3(2x + 2)

=> x2 + 2x – 15 = 6x + 6

=> x2 + 2x – 6x – 15 – 6 = 0

=> x2 – 4x – 21 = 0

=> x2 – 7x + 3x – 21 = 0

=> x(x – 7) + 3(x – 7) = 0

=> (x – 7) (x + 3) = 0

=> x – 7 = 0, x + 3 = 0

=> x = 7 और x = – 3

अत: वर्त्तमान आयु धनात्मक संख्या 7 लेंगे | अत: रहमान की वर्त्तमान आयु 7 वर्ष है |

Ex 4.3 Class 10 गणित Q5. एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है | यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता | उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए |

हल : माना गणित में प्राप्त अंक x है |

इसलिए, अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – x

प्रश्नानुसार, (x + 2) (30 – x – 3) = 210

या   (x + 2) (27 – x) = 210

या   27x – x2 + 54 – 2x = 210

या   25x – x2 + 54 = 210

या   x2 – 25x + 210 – 54 = 0

या   x2 – 25x + 156 = 0

या   x2 – 12x – 13x + 156 = 0

या   x(x – 12) – 13(x – 12) = 0

या   (x – 12) (x – 13) = 0

या   x – 12 = 0, x – 13 = 0

या   x = 12 अथवा x = 13

अब यदि x = 12 तो गणित में प्राप्त अंक = 12 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 12 = 18

और यदि x = 13 तो गणित में प्राप्त अंक = 13 और अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 13 = 17

Ex 4.3 Class 10 गणित Q6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लंबा है | यदि बड़ी भुजा छोटी भुँजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए |

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium) 4.3 14

हल : माना सबसे छोटी भुजा = x m

तो बड़ी भुजा = x + 30 m और

विकर्ण = x + 60 m

प्रश्नानुसार,

चूँकि ABCD एक आयत है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है इसलिए ABC में,

पैथागोरस प्रमेय के प्रयोग से –

AC2 = AB2 + BC2

=> (x + 60)2 = (x)2 + (x + 30)2

=> x2 + 120x + 3600 = x2 + x2 + 60x + 900

=> x2 + 120x + 3600 = 2x2 + 60x + 900

=> 2x2 – x2 + 60x – 120x + 900 – 3600 = 0

=> x2 – 60x – 2700 = 0

=> x2 – 90x + 30x – 2700 = 0

=> x(x – 90) + 30(x – 90) = 0

=> (x – 90) (x + 30) = 0

=> x – 90 = 0, x + 30 = 0

=> x = 90 और x = – 30

चूँकि आयता की लंबाई धनात्मक होती है इसलिए x = 90 ऋणात्मक नहीं होती

अत: छोटी भुजा = 90 m

तो बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 m

और विकर्ण = 90 + 60 = 150 m

Ex 4.3 Class 10 गणित Q7. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है | छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुणा है | दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

हल : माना बड़ी संख्या = x

तो छोटी संख्या का वर्ग = 8x

प्रश्नानुसार,

बड़ी संख्या का वर्ग – छोटी संख्या का वर्ग = 180

x2 – 8x = 180

या  x2 – 8x – 180 = 0

=>  x2 – 18x + 10x – 180 = 0

=> x(x – 18) + 10(x – 18) = 0

=> (x – 18) (x + 10) = 0

=> x – 18 = 0, x + 10 = 0

=> x = 18 और x = -10

अत: बड़ी संख्या 18 है, x = – 10 नहीं लिया जा सकता |

अब (छोटी संख्या)2 = 8 × 18 = 144

NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium) 4.3 15

Ex 4.3 Class 10 गणित Q8. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दुरी तय करती है | यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती | रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना रेलगाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तय दुरी = 360 km

CBSE NCERT Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 4.3 16

चाल बढ़ने से समय घट जाता है चाल घटा देने से लिया गया समय बढ़ जाता है |

NCERT Maths Textbook For Class 10 Solutions Hindi Medium 4.3 17
NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium 4.3 18

चूँकि गाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती है इसलिए चाल = 40 km/h

NCERT Maths Textbook Solutions For Class 10 Hindi Medium 4.3 19

हल : माना छोटा नल, टंकी को अकेले x घंटे में भरता है |

तो बड़ा ब्यास वाला नल टंकी भरेगा = x – 10 घंटे में

NCERT Book Solutions For Class 10 Maths Hindi Medium 4.3 20
NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations (Hindi Medium) 4.3 21

(x = 30/8 संभव नहीं है क्योंकि यह 10 घंटा से भी कम है )

अत: छोटा ब्यास वाला नल अकेला भरेगा – 25 घंटे में

तो बड़ा व्यास वाला नल भरेगा 25 – 10 = 15 घंटे में

Ex 4.3 Class 10 गणित Q10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए )| यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ी की औसत चाल ज्ञात कीजिए |

हल : माना सवारी गाड़ी की समान्य चाल = x km/h

तो एक्सप्रेस गाड़ी की समान्य चाल = x + 11 km/h

मैसूर और बैंगलोर की बीच की दुरी = 132 km

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– 44 एक रेलगाड़ी की चाल नहीं हो सकता इसलिए x = 33 लेंगे

अत: सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h और

एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = 33 + 11 = 44 km/h

Ex 4.3 Class 10 गणित Q11  दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2  है | यदि उनके परिमापों का अन्तर 24m हो, तो दोनों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|

हल : माना एक वर्ग की एक भुजा = x m और दुसरे वर्ग की भुजा = y m

पहला का परिमाप = 4x m और दुसरे का परिमाप = 4y m

प्रश्नानुसार, स्थित I

4x – 4y = 24

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x = 18, x = – 12 (वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती इसलिए x = -12 नहीं ले सकते हैं )

पहले वर्ग की भुजा = 18 m तो दुसरे की भुजा = 18 – 6 = 12 m

प्रश्नावली 4.4

Ex 4.4 Class 10 गणित Q1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए :

(i)  2x– 3x + 5 = 0 

(ii) 3x​ – 4√3x + 4 = 0 

(iii) 2x2 + 6x + 3 = 0  

{नोट – मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b2 – 4ac ज्ञात करेंगे |

यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति – दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति – दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |}

हल : (i)  2x– 3x + 5 = 0

a = 2, b = -3 और c = 5

D = b– 4ac

= (-3)2 – 4 × 2 × 5

= 9 – 40

= -31

चूँकि D का ऋणात्मक मान यह बताता है कि D < 0 से अत: द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है |

हल : (ii) 3x​ – 4√3x + 4 = 0

​a = 3, b = – 4√3 और c = 4

D = b2 – 4ac

= (-4√3)2 – 4 × 3 × 4

= 48 – 48

= 0

चूँकि D = 0 है अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |

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हल : (iii) 2x2 + 6x + 3 = 0

a = 2, b = 6 और c = 3

D = b2 – 4ac

= (6)2 – 4 × 2 × 3

= 36 – 24

= 12

चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे |

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Ex 4.4 Class 10 गणित Q2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों |

(i) 2x+ kx + 3 = 0 

(ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0

हल : (i) 2x+ kx + 3 = 0

a = 2, b = k और c = 3

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात

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हल : (ii) kx (x – 2 ) + 6 = 0

=> kx2 – 2kx + 6 = 0

a = k, b = – 2k, c = 6

चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात

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Ex 4.4 Class 10 गणित Q3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 mहो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई = x m

तो लंबाई = 2x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

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अत: चौड़ाई = 20 m और

लंबाई = 2x = 2 × 20 = 40 m

हाँ, ऐसी आम की बगिया संभव है |

Ex 4.4 Class 10 गणित Q4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था |

हल : माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष

तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 – x वर्ष

4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल =

=>    (x – 4) (20 – x – 4) = 48

=>    (x – 4) (16 – x) = 48

=>    16x – x2 – 64 + 4x = 48

=>    20x – x2 – 64 – 48 = 0

=>    20x – x2 – 112 = 0

=>    x2 – 20x + 112 = 0

इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे |

a = 1, b = – 20 और c = 112

D = b2 – 4ac

= (-20)2 – 4(1)(112)

= 400 – 448

= – 48

चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है अत: यह संभव नहीं है |

Ex 4.4 Class 10 गणित Q5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400mके एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो  उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए |

हल : माना पार्क का लंबाई = x m

और चौड़ाई = y m

तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप

2(x + y) = 80 m

x + y = 40 m

y = 40 – x m

अत: चौड़ाई = 40 – x m

अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

x(40 – x) = 400

=> 40x – x2 = 400

=>  x2 – 40x + 400 = 0

=>  x2 – 20x – 20x + 400 = 0

=>  x(x – 20) – 20(x – 20) = 0

=>  (x – 20) (x -20) = 0

=>  x – 20 = 0, x – 20 = 0

=>  x = 20 और x = 20

अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 – 20 = 20 मीटर

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NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial (Hindi Medium)

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Chapter 2. बहुपद

प्रश्नावली 2.1

Ex 2.1 Class 10 गणित Q1. किसी बहुपद p(x) के लिए, p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया गया है | प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शुन्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए |
NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial 2.1 1

Solution (i):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 0;  (क्योंकि ग्राफ रेखा x अक्ष को नहीं काटती है )
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Solution (ii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 1; (क्योंकि ग्राफ x अक्ष को 1 बार काटती है )
NCERT Maths Solutions For Class 10 Chapter 2 Polynomial 2.1 3

Solution (iii):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;
Maths NCERT Solutions For Class 10 Chapter 2 Polynomial 2.1 4

Solution (iv):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 2;
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Solution (v):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 4;
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Solution (vi):

p(x) के शुन्यकों की संख्या = 3;

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 10 गणित Q1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए |

(i) x2 – 2– 8

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a = 1, b = – 2, और c = – 8
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Ex 2.2 Class 10 गणित Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शुन्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं : 

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प्रश्नावली 2.3 

Ex 2.3 Class 10 गणित Q1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

हल : (i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2

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भागफल q(x) = x – 3 और शेषफल = 7x – 9 है |

हल : (ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x

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भागफल q(x) = x2 + x – 3 और शेषफल = 8 है |

हल : (iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

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भागफल q(x) = – x2 – 2 और शेषफल = – 5x + 10  है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q2. पहले बहुपद से दुसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय का एक गुणनखंड है :

(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

हल : (i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12

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चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2

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चूँकि शेषफल r(x) = 0 है |

अत: x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 का एक गुणनखंड है |

हल : (iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

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चूँकि शेषफल r(x) = 2 है |

अत: x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है |

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हल :

दिया है : p(x) = 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5

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अब 3x2 – 5 से 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 में भाग देने पर

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अत: p(x) = (3x2 – 5) (x2 + 2x + 1)

अब, x2 + 2x + 1 को गुणनखंड कर शुन्यक ज्ञात करने पर –

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Ex 2.3 Class 10 गणित Q4. यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमश: x – 2 और – 2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : भाज्य p(x) = x3 – 3x2 + x + 2

भागफल q(x) = x – 2,

शेषफल r(x) = – 2x + 4

भाजक g(x) = ?

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

x3 – 3x2 + x + 2 = g(x) (x – 2) + (- 2x + 4)

x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4 = g(x) (x – 2)

g(x) (x – 2) = x3 – 3x2 + 3x – 2

NCERT Books For Class 10 Maths Solutions Hindi Medium Chapter 2 Polynomial 2.3 36

अत: भाजक g(x) = x2 – x + 1 है |

Ex 2.3 Class 10 गणित Q5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथम को संतुष्ट करते हों तथा

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल :

युक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)  जहाँ q(x) ¹ 0 हो

(i) घात p(x) = घात q(x) हो

भाज्य p(x) और भागफल q(x) की घात सामान तभी हो सकता है जब भाजक g(x)की घात 0 अर्थात कोई संख्या हो |

उदाहरण : माना p(x) = 2x2 – 6x + 3

और माना g(x) = 2

भाग देने पर

p(x) = 2x2 – 6x + 2 + 1

= 2(x2 – 3x + 1) + 1

अब  2(x2 – 3x + 1) + 1 को p(x) = g(x) × q(x) + r(x) से तुलना करने पर हम पाते हैं :

अत: q(x) = x2 – 3x + 1 और r(x) = 1

इससे घात p(x) = घात q(x) प्राप्त होता है |

(ii) घात q(x) = घात r(x) हो

हल : यह स्थिति तब आती है जब p(x) और g(x) का घात सामान हो जैसे –

माना p(x) = 2x2 + 6x + 7 और g(x) = x2 + 3x + 2

भाग देने पर : q(x) = 2 और r(x) = 3

अत: घात q(x) = घात r(x) है |

(iii) घात r(x) = 0 हो

हल : r(x) = 0 तब होता है जब p(x), g(x) से पूर्णत: विभाजित हो :

माना p(x) = x2 – 1 और g(x) = x + 1

विभाजित करने पर

q(x) = x – 1 और r(x) = 0 प्राप्त होता है |

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र. 1. सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध् को भी सत्यापित कीजिए:
(i) 2x3 + x2 – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 }\), 1, -2;
(ii) x3 – 4x2 + 5x – 2; 2, 1, 1
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 1
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UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 1.3

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 2. एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, -14 हों।
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 2

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 3. यवि बहुपव x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 3

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 4. यदि बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 4

Ex 2.4 Class 10 गणित प्र० 5. यदि बहुपद x4 – 6x3 + 16x2 – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x2 – 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 5
UP Board Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 page 40 5.1

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