NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials (बहुपद) (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 2.1 

Ex 2.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं  और कौन-कौन नहीं हैं ? कारण के साथ उत्तर दीजिए :
(i) 4x2 – 3x + 7 

(ii) y2 + √2
(iii)3√t + t√2
(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
(v) x10 + y3 + t50
हल:
(i) 4x2 – 3x + 7
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(ii) y2 + √2
यह एक चर में बहुपद है क्योंकि चर घात एक प्राकृत संख्या है |

(iii)3√t + t√2
यह एक चर में बहुपद नहीं है क्योंकि चर का घात एक भिन्नात्मक संख्या है कोई प्राकृत संख्या नहीं है |

(iv) y + \(\frac { 2 }{ y }\)
यह एक चर में बहुपद नहीं है |

(v) x10 + y3 + t​50
यह एक चर में बहुपद नहीं है | बल्कि यह तीन चर में बहुपद है |

Ex 2.1 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 का गुणांक लिखिए |
(i) 2 + x2 + x 
(ii) 2 – x2 + x3
iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x2 + x
(iv) √2x −1
हल: 
(i) 2 + x2 + x
x2 का गुणांक = 1

(ii) 2 – x2 + x3
x2 का गुणांक = –1 ​

(iii) \(\frac { \pi }{ 2 }\) x2 + x
x2 का गुणांक = \(\frac { \pi }{ 2 }\)

(iv) √2x −1
x2 का गुणांक = 0 [क्योंकि यहाँ xनहीं है इसलिए इसका गुणांक शून्य होगा |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q3. 35 घात के द्विपद का और 100 घात के एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए|
हल:
35 घात का एक द्विपदी
⇒ 2x35 + 5y ​
Note: द्विपदी का अर्थ दो पदों वाला व्यंजक जैसे –  x + 5, 3a – 2b, 3t + 7 आदि.
100 घात का एक एकपदी
⇒ 3y100
Note: एकपदी का अर्थ एक पद वाला व्यंजक जैसे- 3x, 5t, y, 3xy आदि.

Ex 2.1 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के घात लिखिए:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x

(ii) 4 – y2
(iii) 5t – √7
(iv) 3
हल:
(i) 5x3 + 4x2 + 7x
उत्तर: बहुपद का घात = 3
[नोट: बहुत का घात ज्ञात करने के लिए सभी घातों में से सबसे बड़ी घात को चुना जाता है |]

(ii) 4 – y​2
उत्तर: बहुपद का घात = 2

(iii) 5t – √7
उत्तर: बहुपद का घात = 1

(iv) 3
उत्तर: बहुपद का घात = 0
[नोट: चूँकि यहाँ कोई चर नहीं है इसलिए बहुपद का घात शून्य (0) है |]

Ex 2.1 Class 9 गणित Q5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x​2 + x 
(ii) x – x3 
(iii) y + y2 + 4
(iv) 1 + x
(v) 3t
(vi) r2 
(vii) 7x2
हल:
(i) x​2 + x
उत्तर: द्विघात बहुपद

(ii) x – x3
उत्तर: त्रिघात बहुपद

(iii) y + y2 + 4
उत्तर: द्विघात बहुपद

(iv) 1 + x
उत्तर: रैखिक बहुपद

(v) 3t
उत्तर: रैखिक बहुपद

(vi) r2
उत्तर: द्विघात बहुपद

(vii) 7x2
उत्तर: त्रिघात बहुपद

प्रश्नावली 2.2

Ex 2.2 Class 9 गणित प्र1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x – 4x2 + 3 के मान ज्ञात कीजिए :
(i) x = 0
(ii) x = –1
(iii) x = 2

हल:
(i) p(x) = 5x – 4x+ 3
बहुपद p(x) में x = 0 रखने पर
P(0) = 5(0) – 4(0)+ 3 = 0 – 0 + 3 = 3
अत: बहुपद का मान 3 है |

(ii) p(x) = 5x – 4x+ 3
बहुपद p(x) में x = -1 रखने पर
P(1) = 5(-1) – 4(-1)+ 3 = – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
अत: बहुपद का मान – 6 है |

(iii) p(x) = 5x – 4x+ 3
बहुपद p(x) में x = 2 रखने पर
P(2) = 5(2) – 4(2)+ 3 = 10 -16 + 3 = – 3
अत: बहुपद का मान – 3 है |

Ex 2.2 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए| 
(i)  p(y) = y2 – y + 1
(ii) p(t) = 2 + t + 2t 2 – t 3
(iii) p(x) = x3
(iv) p(x) = (x – 1) (x + 1)
हल:
(i) p(y) = y– y + 1
P(0) के लिए
P(0) = (0)2– 0 + 1 = 1
P(1) के लिए
P(1) = (1)2– 1 + 1
= 1 – 1 + 1 = 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)2– 2 + 1
= 4 – 2 + 1 = 3

(ii) p(t) = 2 + t + 2t2– t3
P(0) के लिए
P(0) = 2 + 0 + 2(0)2– (0)3 = 2
P(1) के लिए
P(1) = 2 + 1 + 2(1)– (1)3 = 4

P(2) के लिए
P(2) = 2 + 2 + 2(2)2– (2)3
= 4 + 8 – 8 = 4

(iii) p(x) = x3
P(0) के लिए
P(0) = (0)3 = 0
P(1) के लिए
P(1) = (1)= 1
P(2) के लिए
P(2) = (2)= 8

(iv) P(x) = (x – 1) (x + 1)
P(0) के लिए
P(0) = (0 – 1) (0 + 1) = (-1) (1) = -1
P(1) के लिए
P(1) = (1 – 1) (1 + 1) = 0 (1) = 0
P(2) के लिए
P(2) = (2 – 1) (2 + 1) = 1(3) = 3

Ex 2.2 Class 9 गणित Q3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शुन्यक हैं :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium 2.2 3
हल:  
(i) P(x) = 3x + 1
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p(x) = 0, अत: दिया गया x का मान बहुपद का शुन्यक है |
(ii) P(x) = 5x – π
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.2 3.2
= 5 – π
∵ ​P(x) ≠ 0
∴ x के लिए दिया गया मान P(x) का शुन्यक नहीं है|

(iii) P(x) = x– 1
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Ex 2.2 Class 9 गणित Q4. निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति मेंबहुपद का शुन्यक ज्ञात कीजिए :
(i) P(x) = x + 5
(ii) P(x) = x – 5
(iii) Px) = 2x + 5
(iv) P(x) = 3x – 2
(v) P(x) = 3x
(vi) P(x) = ax, a ≠ 0
हल (i) :
(i)   P(x) = x + 5
⇒ x + 5 = 0
⇒ x = – 5
बहुपद का शुन्यक – 5 हैं |

 हल (ii) :
(ii) P(x) = x – 5
⇒ x – 5  = 0
⇒ x = 5
बहुपद का शुन्यक 5 है|

Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.2 4
बहुपद का शुन्यक \(\frac { -5 }{ 2 }\) है |

(iv)  P(x) = 3x – 2
3x – 2 = 0 ≠
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.2 4.1
बहुपद का शुन्यक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है |
Maths NCERT Class 9 Solutions Polynomials Hindi Medium 2.2 4.2
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 2.2 4.3

प्रश्नावली 2.3

Ex 2.3 Class 9 गणित Q1. x3 + 3x2 + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए : 
(i) x + 1 
(ii) x – \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(iii) x 
(iv) x + θ
(v) 5 + 2x 
हल : (i) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर 
Polynomials Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 2.3 1
अत: भाग देने पर शेषफल 0 है|

Polynomials Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 2.3 1.1

हल : (iii)  x3 + 3x2 + 3x + 1 को x से भाग देने पर       
Class 9 NCERT Maths Polynomials Solutions Hindi Medium 2.3 1.2
अत: भाग देने पर शेषफल 1 है|

हल : (iv) x3 + 3x2 + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर 
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials PDF Hindi Medium 2.3 1.3
अत: भाग देने पर शेषफल – π3 + 3π2 – 3π + 1 है|
हल : (v) x3 + 3x2 + 3x + 1 को 5 + 2x से भाग देने पर
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Class 9th Maths NCERT Polynomials Solutions Hindi Medium 2.3 1.5
NCERT Maths Book Class 9 Polynomials Solutions Hindi Medium 2.3 1.6

Ex 2.3 Class 9 गणित Q2. x3  ax2 + 6x  a  को x  a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए |
हल : p(x) = x3 – ax2 + 6x – a  और g(x) = x – a है |
g(x) = x – a का शुन्यक
अत:  x – a = 0
x = a
अत: शेषफल प्रमेय से
p(x) को x – a से भाग देने पर शेषफल प्रमेय द्वारा शेषफल p(a) प्राप्त होगा |
इसलिए, p(a) = (a)3 – a(a)2 + 6(a) – a
= a3 – a3 + 6a – a = 5a
अत: शेषफल 5a है |

Class 9 NCERT Solutions Maths Polynomials Hindi Medium 2.3 3

प्रश्नावली 2.4

Ex 2.4 Class 9 गणित Q1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है|
(i) x3 + x2 + x + 1
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 – x3 – (2 + √2)x + √2
हल : (i) p(x) = x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक है और x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है इसलिए गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = – 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि x = -1 p(x) का शुन्यक है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
इसलिए -1 p(x) का शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड नहीं है |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.4 1
9th Class Maths NCERT Polynomials Hindi Medium Solutions 2.4 1.1

Ex 2.4 Class 9 गणित Q2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
हल : (i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक
⇒  x + 1 = 0
अत: x = – 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1  दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 – 1 = – 2 + 1 + 2 – 1 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए -1 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

हल : (ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक
⇒ x + 2 = 0
अत: x = – 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1  दिया है |
अब, p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
= -8 + 12 – 6 + 1 = 13 – 14 = – 1
चूँकि p(-2) = – 1 है इसलिए -2 p(x) का एक शुन्यक नहीं है अत: गुणनखंड प्रमेय से x + 2 p(x) का एक गुणनखंड भी नहीं है |

हल : (iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक
⇒ x – 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 – 4x2 + x + 6  दिया है |
अब, p(3) = (3)3 – 4(3)2 + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 36 – 36 = 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए 3 p(x) का एक शुन्यक है अत: गुणनखंड प्रमेय से x – 3 p(x) का एक गुणनखंड है |

Ex 2.4 Class 9 गणित Q3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x2 + x + k
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
हल : (i) p(x) = x2 + x + k
x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = x2 + x + k = 0
p(1) = (1)2 + (1) + k = 0
1 + 1 + k = 0
2 + k = 0
k = – 2

हल : (ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है|
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = 2x2 + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2  = 0
2 + k + √2 = 0
k = – 2 – √2
k = – (2 + √2)

हल : (iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0 => x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)2 – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
k = √2 – 1

हल : (iv) p(x) = kx2 – 3x + k
चूँकि x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |
इसलिए x – 1 = 0
⇒ x = 1
अत: 1 p(x) का शुन्यक है |
इसलिए p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – 3x + k = 0
p(1) = k(1)2 – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0
2k – 3 = 0
2k = 3
k = 3/2

Ex 2.4 Class 9 गणित Q4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x2 – 7x + 1
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
हल : (i) 12x2 – 7x + 1
⇒ 12x2 – 3x – 4x + 1
⇒ 3x(4x – 1) – 1(4x – 1)
⇒ (4x – 1) (3x – 1)

हल : (ii) 2x2 + 7x + 3
⇒ 2x2 + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3)
⇒ (x + 3) (2x + 1)

हल :  (iii) 6x2 + 5x – 6
⇒ 6x2 + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x – 2)

हल : (iv) 3x2 – x – 4
⇒ 3x2 – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) + 1(3x – 4)
⇒ (3x – 4) (x + 1)

Ex 2.4 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
हल : (i) x3 – 2x2 – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं – ±1 और ±2
अत: बहुपद x3 – 2x2 – x + 2 में x = 1 रखने पर
p(x) = (1)3 – 2(1)2 – (1) + 2
=  1 – 2 – 1 + 2 =  0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: 1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x – 1 p(x) का एक गुणनखंड है |

पहली विधि : x – 1 से x3 – 2x2 – x + 2 में भाग देने पर
CBSE Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium Solutions 2.4 5
अत: x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1) (x2 – x – 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x) ]
= (x – 1) (x– 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |

दूसरी विधि : हम यहाँ पर x – 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x – 1 प्राप्त है|
x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x -1) – x2 – x + 2
= x2(x -1) – x(x – 1) – 2x + 2
= x2(x -1) – x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1) (x2 – x – 2)
= (x – 1) (x– 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1(x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1)

तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, – 1, 2 और – 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x – 1 एक गुणनखंड है |

अब p(-1) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-1)3 – 2(-1)2 -(-1) + 2
= -1 – 2 + 1 + 2 = 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |

अब p(2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (2)3 – 2(2)2 -(2) + 2
= 8 – 8 – 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है अत: x – 2 p(x) का एक गुणनखंड है |

अब p(-2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-2)3 – 2(-2)2 -(-2) + 2
= -8 – 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0 अत: – 2 p(x) का शुन्यक नहीं है |
अत:  x3 – 2x2 – x + 2 के गुणनखंड है (x – 1) (x + 1) (x – 2)

हल : (ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x3 – 3x2 – 9x – 5
= (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5 = 9 – 9 = 0
अत: x = -1 p(x) का शुन्यक है इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x3 – 3x2 – 9x – 5 = x2(x + 1) – 4x2 – 9x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1) (x2 – 4x – 5)
= (x + 1) (x2 – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) +1(x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x – 5) और (x + 1) है |

हल : (iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = – 1 रखने पर
p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
= (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20 = 33 – 33 = 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x3 + 13x2 + 32x + 20 = x2(x + 1) + 12x2 + 32x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x2 + 12x + 20)
= (x + 1) (x2 + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है|

हल : (iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
= y2(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y2 – 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y – 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y – 1) और (2y + 1)हैं |

उपयोगी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ: 

  1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
  2. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
  3. x2 – y2 = (x + y) (x – y)
  4. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
  5. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
  6. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
  7. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
  8. x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
  9. (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
  10. x3 + y3 + z– 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)

प्रश्नावली 2.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q1. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) (x + 4) (x + 10)
(ii) (x + 8) (x – 10)
(iii) (3x + 4) (3x – 5)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
हल: 
(i) (x + 4) (x + 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 4) (x + 10) = x2 + (4 + 10)x + (4)(10)
= x2 + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x – 10) 
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(x + 8) (x – 10) = x2 + [8 + (-10)]x + (8)(-10)
= x2 – 2x – 80

(iii) (3x + 4) (3x – 5)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(3x + 4) (3x – 5) = (3x)2 + [4 + (-5)]3x + (4)(-5)
= 9x2 – 3x – 20
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1.1
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 1.2

(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर  ​
(3 – 2x) (3 + 2x) = (3)2 – (2x)2
= 9 – 4x2

Ex 2.5 Class 9 गणित Q2. सीधे गुना किये बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 103 × 107
(ii) 95 × 96
(iii) 104 × 96
हल:
(i) 103 × 107 = (100 + 3) (100 + 7)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(100 + 3) (100 + 7) = (100)2​ + (3 + 7)100 + 3×7
=10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96 = (90 + 5) (90 + 6)
सर्वसमिका  (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
(90 + 5) (90 + 6) = (90)2​ + (5 + 6)90 + 5×6
= 8100 + 990 + 30 = 9120

(iii)  104 × 96 = (100 + 4) (100 – 4)
सर्वसमिका (x + y) (x – y) = x2 – y2 का प्रयोग करने पर  ​
(100)2 – (4)2
= 10000 – 16 = 9984

Ex 2.5 Class 9 गणित 3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x2 + 6xy + y2 
(ii) 4y2 – 4y + 1
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 3.1
हल:
(i) 9x2 + 6xy + y2 
= (3x)2 + 2.3x.y + (y)2     [ ∵ x2 + 2xy + y2 = (x + y)2]
∴ = (3x + y)2
=  (3x + y)  (3x + y)

(ii) 4y2 – 4y + 1 
= (2y)2 – 2.2y.1 + (1)2     [ ∵ x2 – 2xy + y2 = (x – y)2]
∴ = (2y – 1)2
=  (2y – 1)  (2y – 1)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 3
NCERT Solutions For Class 9 Maths Polynomials Hindi Medium 2.5 3.2
[ ∵ x2 – y2 = (x + y) (x – y) ​]

Ex 2.5 Class 9 गणित Q4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:
(i) (x + 2y + 4z)2 
(ii) (2x – y + z)2 
(iii) (–2x + 3y + 2z)2
(iv) (3a – 7b – c)2 
(v) (–2x + 5y – 3z)2
हल:
(i) (x + 2y + 4z)2  
यहाँ माना कि a = x, b = 2y, c = 4z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (x + 2y + 4z)2 = (x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx

(ii) (2x – y + z)2 
यहाँ माना कि a = 2x, b = – y, c = z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (2x – y + z)2 = (2x)2 + (- y)2 + (z)2 + 2(2x)(- y) + 2(- y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4zx

(iii) (–2x + 3y + 2z)2
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 3y, c = 2z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 3y + 2z)2
= (-2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
= 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy  + 12yz – 8zx

(iv) (3a – 7b – c)2 
यहाँ माना कि x = 3a, y = -7b, z = -c और x, y तथा z का मान सर्वसमिका
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zxमें रखने पर
∴ (3a – 7b – c)2
= (3a)2 + (-7b)2 + (-c)2 + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
= 9a2 + 49b2 + c– 42ab  + 14bc – 6ac

(v) (-2x + 5y – 3z)2
यहाँ माना कि a = – 2x, b = 5y, c = -3z और a, b तथा c का मान सर्वसमिका
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca में रखने पर
∴ (-2x + 5y – 3z)2
= (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
= 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy  – 30yz + 12zx

Ex 2.5 Class 9 गणित Q5. गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz

हल:
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(4z) + 2(4z)(2x)
[∵ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2 ]
= (2x + 3y + 4z)2
= (2x + 3y + 4z) (2x + 3y + 4z)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 5
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 5.1

Ex 2.5 Class 9 गणित Q6. निम्नलिखित घनों को विस्तारित रूप में लिखिए :
(i) (2x + 1)3 

(ii) (2a – 3b)3
Class 9 Maths NCERT Polynomials Solutions Hindi Medium 2.5 6
NCERT Maths Solutions For Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 6.1
हल:
(i) (2x + 1)3 
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(2x + 1)3 = (2x)3 + 3 (2x)(1) + 3 (2x) (1)2 + (1)3
= 8x3 + 12x2 + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3]
(2a – 3b)3 = (2a)3 – 3 (2a)(3b) + 3(2a) (3b)2 – (3b)3
= 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 6.2
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Polynomials Solutions 2.5 6.3
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Polynomials Solutions 2.5 6.4
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
NCERT Solutions For Maths Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 6.5

Ex 2.5 Class 9 गणित Q7. उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग कर निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :
(i) (99)3 
(ii) (102)3 
(iii) (998)3
हल : 
(i) (99)3 
= (100 – 1)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(100 – 1)= (100)3 – 3(100)2(1) + 3(100)(1)2 – (1)3
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 1000300 – 30001 = 970299

(ii) (102)3 
= (100 + 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]
(100 + 2)= (100)3 + 3 (100)(2)+ 3 (100) (2)2 + (2)3
= 1000000 + 60000 + 1200 + 8 = 1061208

(iii) (998)3
= (1000 – 2)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3]
(1000 – 2)= (1000)3 – 3 (1000)(2)+ 3(1000) (2)2 – (2)3
= 1000000000 – 6000000 + 12000 – 8
= 1000012000 – 6000008
= 994011992

Ex 2.5 Class 9 गणित Q8. निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए :
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 (Hindi Medium) 2.5 8.1
हल:
(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2 
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x3  + y+ 3x2y + 3xy2 = (x + y)3 ]
= (2a)3 +(b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a + b)3
= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a2 – b2 – 12a2b + 6ab2
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2 = (2a – b)3
= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से  x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2= (3 – 5a)3
= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a– 27b3 – 144a2b + 108ab2  
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2 = (4a – 3b)3
= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y– 3x2y + 3xy2 = (x – y)3 ]
Maths NCERT Solutions Class 9 Polynomials Hindi Medium 2.5 8.2

Ex 2.5 Class 9 गणित Q9. सत्यापित कीजिए :
(i) x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
हल :
RHS = (x + y) (x2 – xy + y2)
= x(x2 – xy + y2) + y (x2 – xy + y2)
= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3
Maths NCERT Class 9 Solutions Polynomials Hindi Medium 2.5 8.2
= x3 + y3
∵ LHS = RHS सत्यापित

(ii) x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
हल :
RHS = (x – y) (x2 + xy + y2)
x(x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 2.5 8.4
= x3 – y3
∵ LHS = RHS सत्यापित |

Ex 2.5 Class 9 गणित Q10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
(i) 27y3 + 125z3 
(ii) 64m3 – 343n3
हल : 
(i) 27y3 + 125z3 
= (3y)3 + (5z)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) ]
(3y)3 + (5z)3​ = (3y + 5y) [(3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2]
= (3y + 5y) (9y2 – 15yz + 25z2)

(ii) 64m3 – 343n3
हल : 
(ii) 64m3 – 343n3
= (4m)3 – (7n)3
[सर्वसमिका के प्रयोग से x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) ]
(4m)3 – (7n)3​ = (4m – 7n) [(4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2]
= (4m – 7n) (16m2 + 28mn + 49n​2)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q11. गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए : 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
हल : 
= (3x)3 + (y)3 + (z)– 9xyz
∵ x+ y3 + z3 – 3xyz =  (x + y + z) (x2 + y2 + z​2 – xy – yz – zx)
सर्वसमिका के प्रयोग से :
= (3x + y + z) ((3x)2 + (y)2 + (z)2 – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
= (3x + y + z) (9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)

Ex 2.5 Class 9 गणित Q12. सत्यापित कीजिए: 
x+ y3 + z3 – 3xyz = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
हल : 
LHS =  \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) [x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (x + y + z) (2x+ 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2xz)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 2(x + y + z) (x+ y2 + z2 – xy – yz – xz)
= (x + y + z)(x+ y2 + z2 – xy – yz – xz)
= x+ y3 + z3 – 3xyz [सर्वसमिका के प्रयोग से ]
LHS = RHS

Ex 2.5 Class 9 गणित Q13. यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x3 + y3 + z3 = 3xyz है | ​
हल : x + y + z = 0 दिया है |
x3 + y3 + z3 – 3xyz = ( x + y + z) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
= (0) (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
अत: x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
या x3 + y3 + z3 = 3xyz सत्यापित

Ex 2.5 Class 9 गणित Q14. वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए : 
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3
हल : (i) (-12)3 + (7)3 + (5)3

प्रश्न 13. में हमने एक सर्वसमीका प्राप्त किया था कि यदि x + y + z = 0 हो तो
x3 + y3 + z3 = 3xyz है |
अत: इस सर्वसमिका में x = -12, y = 7 और z = 5 रखने पर
चूँकि – 12 + 7 + 5 => -12 + 12 = 0
अत: x + y + z = 0 है |
अब, x3 + y3 + z3 = 3xyz  [x, y, और z का मान रखने पर ]
=> (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 × (-12) × 7 × 5
= – 1260

हल : (ii) (28)3 + (–15)3 + (–13)3
28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0
चूँकि x + y + z = 0 है |
इसलिए x3 + y3 + z3 = 3xyz
अब, (28)3 + (–15)3 + (–13)3​ = 3 × 28 × (-15) × (-13)
= 133380

Ex 2.5 Class 9 गणित Q15. नीचे दिए गए आयातों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए है, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिये | 
(i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12 
(ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12 
हल : (i) क्षेत्रफल : 25a2 – 35a + 12
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
अत: 25a2 – 35a + 12 के दो गुणनखंड होंगे जिसमें एक लंबाई होगा और दूसरा चौड़ाई होगा |
गुणनखंड करने पर :
25a2 – 35a + 12 = 25a2 + 15a + 20a + 12
= 5a(5a + 3) + 4(5a + 3)
= (5a + 3) (5a + 4)
चूँकि (5a + 3) < (5a + 4) है |
अत: लंबाई = 5a + 4 और चौड़ाई = 5a + 3

हल : (ii) क्षेत्रफल : 35y2 + 13y – 12
गुणनखंड करने पर
35y2 + 13y – 12 ​= 35y2​ + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4) (7y – 3)
अत: लंबाई = 5y + 4 और चौड़ाई = 7y – 3

Ex 2.5 Class 9 गणित Q16. घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं कि, विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ? 
(i) आयतन : 3x3 – 12x 
(ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k 
हल : (i) आयतन : 3x3 – 12x
गुणनखंड करने पर
आयतन = 3x3 – 12x = 3x(x – 4)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 3, B = x और H = x – 4

हल : (ii) आयतन : 12ky2 + 8ky – 20k
आयतन = 12ky2 + 8ky – 20k
= 4k (3y2 + 2y – 5)
= 4k (3y2 + 5y – 3y – 5)
= 4k [y (3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k (3y + 5) (y – 1)
चूँकि आयतन = L × B × H
अत: L = 4k, B = (3y + 5) और H = (y – 1)

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 1.1 

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 (Hindi Medium) 1.1 1
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 1.1 1.1

Ex 1.1 Class 9 गणित Q2. 3 और 4 के बीच में छ: परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए |
Solution:
हमें छ: संख्याएँ प्राप्त करना है |
इसलिए, 6 + 1 = 7
अब, 3 और 4 को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करने पर,

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 (Hindi Medium) 1.1 3
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 1.1 3.1

Ex 1.1 Class 9 गणित Q4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
Solution:
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (सत्य)
कारण: क्योंकि पूर्ण संख्या में सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल हैं |
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है। (असत्य)
कारण: क्योंकि पूर्णांक में ऋणात्मक पूर्णांक भी होते हैं जबकि पूर्ण संख्याओं में कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं होता हैं |
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (असत्य)
कारण : परिमेय संख्या में अन्य कई प्रकार के संख्याएँ आती है जिनकों पूर्ण संख्या के जैसे प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है |

प्रश्नावली 1.2

Ex 1.2 Class 9 गणित Q1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। 
उत्तर:
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। (सत्य)
कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय संख्याएँ भी होती है |
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
उत्तर:
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m  के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। (असत्य)
कारण: संख्या रेखा पर दोनों ऋणात्मक एवं धनात्मक संख्याएँ होती है, परन्तु प्रत्येक बिंदु पर एक वर्गमूल संख्या हो यह संभव नहीं है |
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
उत्तर:
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है। (असत्य)
कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समूह में परिमेय सा संख्याएँ एवं अपरिमेय संख्याएँ दोनों होती हैं | केवल अपरिमेय संख्या नहीं होती हैं |

Ex 1.2 Class 9 गणित Q1. Q2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं,
हम धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9 का उदाहरण लेते है |
√1 = 1 (परिमेय)
√2 = √2 (अपरिमेय)
√3 = √3 (अपरिमेय)
√4 = 2 (परिमेय)
√5 = √5 (अपरिमेय)
√6 = √6 (अपरिमेय)
√7 = √7 (अपरिमेय)
√8 = √8 (अपरिमेय)
√9 = 3 (परिमेय)
उपरोक्त उदाहरण में हम देखते हैं कि 1, 4 और 9 की वर्गमूल क्रमश: 1, 2, और 3 है जो परिमेय संख्या है |

Ex 1.2 Class 9 गणित Q3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर √5  को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।
​Solution:
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 1.2 3
OA = 1 इकाई, AB = 1 इकाई,
समकोण ΔAOB में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OB2 = OA2 + AB2
OB2 = 12 + 12
OB2 = 2
​OB = √2
अब समकोण ΔBOC में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OC2 = OB2 + BC2
OC2 = (√2)2 + 12
OC2 = 2 + 1 = 3
OC = √3
अब समकोण ΔCOD में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OD2 = OC2 + DC2
OD2 = (√3)2 + 12
OD2 = 3 + 1 = 4
OD = √4 = 2
अब समकोण ΔDOE में, पाइथोगोरस प्रमेय से,
OE2 = OD2 + DE2
OE2 = (2)2 + 12
OE2 = 4 + 1 = 5
OE = √5
अब O को केंद्र और OE को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचेगे जो संख्या रेखा को OE’ पर प्रतिच्छेद करता है जहाँ  OE = OE’ = है |

प्रश्नावली 1.3 

Ex 1.3 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 (Hindi Medium) 1.3 1
Solution: 
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 1.3 1.1

NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Solutions 1.3 2
NCERT Solutions For Maths Class 9 Hindi Medium 1.3 2.1

Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 1.3 3
Maths NCERT Class 9 Solutions Hindi Medium 1.3 3.1
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 1.3 3.2
Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 1.3 3.3
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 (Hindi Medium) 1.3 3.4
Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 1.3 3.5
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 (Hindi Medium) 1.3 3.6
Class 9th Maths NCERT Solutions Hindi Medium 1.3 3.7
NCERT Maths Book Class 9 Solutions Hindi Medium 1.3 3.8
Class 9 NCERT Solutions Maths Hindi Medium 1.3 3.9
Solution: 
और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है अर्थात ये सह-अभाज्य संख्याएं हैं और इनका सांत दशमलव प्रसार है |
सांत दशमलव प्रसार के लिए q का अभाज्य गुणनखंड 2या 5n या 2m× 5के रूप का होना चाहिए |

Ex 1.3 Class 9 गणित Q7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों |
हल : सभी अपरिमेय संख्याएँ अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार देती है| इसलिए तीन उदाहरण हैं – √2, √3, √5 आदि |

9th Class Maths NCERT Hindi Medium Solutions 1.3 3.10
अर्थात 0.714285 ……. और 0.81818181… के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ हैं |
(i) 0.72010010001……
(ii) 0.751121231234……..
(iii) 0.80145672434890………

Ex 1.3 Class 9 गणित Q9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं |
(i)  √23
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(ii) √225  = 15 
हल : परिमेय संख्या है |
(iii) 0.3796
हल : परिमेय सख्या है |
(iv) 7.478778 ….
हल : अपरिमेय संख्या हैं |
(v) 1.101001000100001…..
हल : अपरिमेय संख्या हैं |

प्रश्नावली 1.4 

Ex 1.4 Class 9 गणित Q1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिये |
हल : 
CBSE Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 1.4 1

Ex 1.4 Class 9 गणित Q2. 4 दशमलव स्थानों तक संख्या रेखा पर 4.2626…. को देखिए |
हल : 4 दशमलव स्थान तक 4.2626…. है |
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 1.4 2

प्रश्नावली 1.5

Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 1.5 1
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 1.5 1.1

NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 1.5 2
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 1.5 2.1
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Solutions 1.5 2.2
NCERT Solutions For Maths Class 9 Hindi Medium 1.5 2.3
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 1.5 2.4

Maths NCERT Class 9 Solutions Hindi Medium 1.5 3

Ex 1.5 Class 9 गणित Q4. संख्या रेखा पर √9.3  को निरुपित कीजिए |
हल :
(i) एक 9.3 cm का रेखाखंड AB खींचिए और से 1 cm आगे बिंदु C तक बढाइये |
(ii) इसप्रकार बने रेखाखंड AC का लंब समद्विभाजक खींचिए जो AC को बिंदु O पर काटती है |
(iii) AO या CO को वृत्त की त्रिज्या मानकर एक अर्धगोला खींचिए |
(iv) बिंदु B से AC पर लंब खींचिए जो अर्धवृत की परिधि को बिंदु D पर काटती है | BD या BE अभीष्ट √9.3 का संख्या रेखा पर माप है |
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 1.5 4

Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 1.5 5
Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 1.5 5.1
Class 9 NCERT Maths Solutions Hindi Medium 1.5 5.2
NCERT Solutions For Class 9 Maths PDF Hindi Medium 1.5 5.3

प्रश्नावली 1.6 

Ex 1.6 Class 9 गणित Q1. ज्ञात कीजिए :
Class 9th Maths NCERT Solutions Hindi Medium 1.6 1

Ex 1.6 Class 9 गणित Q2. ज्ञात कीजिए :
NCERT Maths Book Class 9 Solutions Hindi Medium 1.6 2

Ex 1.6 Class 9 गणित Q3. सरल कीजिए : 
Class 9 NCERT Solutions Maths Hindi Medium 1.6 3

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles (त्रिभुज) (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 7.1

Ex 7.1 Class 9 गणित Q1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और  AB, ∠A को समद्विभाजित करता है | (see Fig.). दर्शाइए ΔABC ≅ ΔABD है|
हल:
NCERT Solutions For Class 9 Maths Triangles Hindi Medium 7.1 1
दिया है : AC = AD और AB ∠A को समद्विभाजित करता है|
सिद्ध करना :  Δ ABC ≅ Δ ABD.
प्रमाण :
Δ ABC तथा ΔABD में,
AC = AD [दिया है]
∠CAB = ∠BAD [AB ∠A समद्विभाजित करता है ]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABC ≅ Δ ABD
BC = BD [CPCT]

Ex 7.1 Class 9 गणित Q2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig.) है| सिद्ध कीजिए कि : 
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC        
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠ DAB = ∠ CBA  है|
सिद्ध करना है :
Maths NCERT Solutions Class 9 Triangles Hindi Medium 7.1 2
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC
प्रमाण :
(i) Δ ABD तथा Δ BAC में,
AD = BC [दिया है]
∠ DAB = ∠ CBA   [दिया है]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii)  BD = AC [By CPCT]
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC [By CPCT]

Ex 7.1 Class 9 गणित Q3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिये आकृति)| दर्शाइए कि CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है|
Class 9 Maths NCERT Triangles Solutions Hindi Medium 7.1 3

हल :
दिया है : AD ⊥ AB और BC ⊥ AB है और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
AO = BO अर्थात CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण :
∆AOD तथा ∆BOC
∠AOD = ∠ BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
∠DAO = ∠CBO  (प्रत्येक 90º)
BC = AD (दिया है)
ASA सर्वांगसमता नियम से
∆AOD ≅​ ∆BOC
∴  AO = BO   (By CPCT)
अत: CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |

Ex 7.1 Class 9 गणित Q4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है| दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है|
NCERT Maths Solutions For Class 9 Triangles Hindi Medium 7.1 4
हल :
दिया है :l || m और p || q है जो एक दुसरे को A, B, C  तथा D पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆CDA
प्रमाण :
l || m …….. (1)  दिया है |
p || q  ………(2)  दिया है |
समी० (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
अब, ∆ABC तथा ∆CDA में,
BC = AD  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ]
∠B = ∠D  [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख कोण ]
AC = AC  [दिया है ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
∴   ∆ABC ≅ ∆CDA
Proved.

Ex 7.1 Class 9 गणित Q5. रेखा कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है | BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिये आकृति 7.20) दर्शाइए कि :
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ हैं, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है 
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Triangles Solutions 7.1 5
हल:
दिया है : ∠PAQ को रेखा समद्विभाजित करती है और BP तथा BQ, AP तथा AQ पर क्रमश: लंब है |
सिद्ध करना है : 
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ
प्रमाण : 
(i) Δ APB तथा Δ AQB में,
∠APB = ∠AQB  (90 प्रत्येक)
∠PAB = ∠QAB  (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ APB ≅ Δ AQB
∴  (ii) BP = BQ (By CPCT)

Ex 7.1 Class 9 गणित Q6. आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है| दर्शाइए कि BC = DE है| 
हल : 
दिया है : AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है|
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Triangles Solutions 7.1 6
सिद्ध करना है : BC = DE
प्रमाण : 
∠ BAD = ∠ EAC   ……… (1) दिया है
समी० के  दोनों पक्षों में ∠ CAD जोड़ने पर
∠ BAD + ∠ CAD = ∠ EAC + ∠ CAD
या  ∠ BAC = ∠ EAD   ……. (2)
Δ BAC तथा Δ DAE में
AC = AE (दिया है)
AB = AD (दिया है)
∠ BAC = ∠ EAD ……[समी० (2) से]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ BAC ≅ Δ DAE
∴ BC = DE   (By CPCT)
Proved.

Ex 7.1 Class 9 गणित Q7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | (देखिए आकृति 7.22) | 
NCERT Solutions For Maths Class 9 Triangles Hindi Medium 7.1 7
दर्शाइए कि : 
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE

दिया है : AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है|
∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है|
सिद्ध करना है : 
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
प्रमाण : 
∠ EPA = ∠ DPB    …..(1) दिया है |
समी० (1) के दोनों पक्षों में ∠ EPD जोड़ने पर
∠ EPA + ∠ EPD = ∠ DPB + ∠ EPD
या  ∠ DPA = ∠ EPB    ……… (2)
(1) Δ DAP तथा Δ EBP में
AP = BP  ……. (दिया है )
∠ BAD = ∠ ABE  ..(दिया है )
∠ DPA = ∠ EPB    ….[समी० (2) से]
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE (BY CPCT)

Ex 7.1 Class 9 गणित Q8. संलग्न आकृति में, एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें ∠C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिला दिया जाता है। दर्शाइए कि
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) GM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
Maths NCERT Solutions Class 9 Triangles Hindi Medium 7.1 8
हल-
दिया है: ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠C = 90° है तथा कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है। M है। रेखाखण्ड CM खींचकर इसे बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि CM = DM है। बिन्दु D को बिन्दु B से मिलाकर रेखा BD खींची गई है।
सिद्ध करना है :
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC = ∆ACB
(iv) GM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
उपपत्ति :
(i) ∆AMC और ∆BMD में, AM = BM (M, AB का मध्य बिन्दु है)
CM = DM (दिया है)
∠AMC = ∠BMD (रेखाखण्डों AB और CD के काटने से बने शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AMC = ∆BMD (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से)
(ii, iii). ∆AMC = ∆BMD
AC = BD तथा AM = DM और CM = BM (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
AM = DM ……(1)
BM = CM …… (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर।
AM + BM = CM + DM
AB = CD [AB = AM + BM तथा CM + DM = CD]
अब, ∆ACB और ∆DBC में,
AC = BD (∆AMC और ∆BMD की सर्वांगसमता से)
AB =CD (ऊपर सिद्ध किया जा चुका है)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
∆ACB = ∆DBC (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
अब ∆ACB = ∆DBC
∠DBC = ∠ACB (एकान्तर कोण)
परन्तु दिया है कि ∠ACB या ∠C = 90°
∠DBC = 90°
अतः ∠DBC एक समकोण है।
(iv) दिया है कि M, AB का मध्य-बिन्दु है।
AM = BM और AM + BM = AB
अब AM + BM = AB
AM + AM = AB (BM के स्थान पर AM रखने पर)
2 AM = AB …….(3)
परन्तु ∆ACB = ∆DCB
AB = CD
\(\frac { 1 }{ 2 }\) AB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) CD
AM = CM … (4)
समीकरण (3) व (4) से
2CM = AB
CM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB
इति सिद्धम.

प्रश्नावली 7.2

Ex 7.2 Class 9 गणित Q1. एक समबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं| A और O को जोडिए | दर्शाइए कि :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है | 
Maths NCERT Class 9 Solutions Triangles Hindi Medium 7.2 1
हल: 
दिया है: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, जिसमें AB = AC,  और ∠ B और ∠ C कोण समद्विभाजक O पर मिलते हैं |
सिद्ध करना है :
(i) OB = OC
(ii) AO कोण ∠ A को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण: ΔABC में हमें प्राप्त है:
AB = AC
∠ B = ∠ C [ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं | ]
अथवा  \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠ B = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠C
इसलिए, ∠OBC = ∠OCB […1]
ΔABO and ΔACO में
AB = AC [दिया है ]
∠OBC = ∠OCB [समी0 1 से ]
AO = AO [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔABO ≅  ΔACO
OB = OC [ By CPCT ]
∠BAO = ∠CAO [ By CPCT ]
अत: AO कोण ∠A को समद्विभाजित करता है |

Ex 7.2 Class 9 गणित Q2. Δ ABC में, AD भुजा BC का लम्ब सम्द्विभाजक है (देखिये आकृति). दर्शाइए कि Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है|.
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 7.2 2
हल:
दिया है : Δ ABC में, AD, BC का लंब सम्द्विभाजक है |.
सिद्ध करना है : Δ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है.
प्रमाण: Δ ABD तथा Δ ACD में,
DB = DC    [चूँकि D BC को समद्विभाजित करता है ]
∠ BDA = ∠CDA [90० प्रत्येक].
AD = AD [उभयनिष्ठ’]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ ACD
AB =AC [by CPCT]
अत:, Δ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है

Ex 7.2 Class 9 गणित Q3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं BE और CF पर क्रमशः शीर्षलम्ब AC और AB खींचे गए हैं (देखिए आकृति। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
हल : 
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें BE ⊥ AC और CF ⊥ AB जहाँ AB = AC है |
Triangles Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 7.2 3
सिद्ध करना है : BE = CF.
प्रमाण :  यहाँ, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB  (दिया है )
ΔABE और Δ ACF में
∠ AEB = ∠ AFC  (90 प्रत्येक)
∠ A = ∠ A (उभयनिष्ठ)
AB = AC (दिया है )
ASA सर्वांगसमता कसौटी नियम से
ΔABE  ≅  Δ ACF
∴ BE = CF [ By CPCT ]
Proved.

Ex 7.2 Class 9 गणित Q4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं  (देखिए आकृति). दर्शाइए कि 
(i) Δ ABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC, अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है|
Triangles Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 7.2 4
हल : 
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसमें
BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है और BE = CF है |
सिद्ध करना है : 
(i) Δ ABE ≅ Δ ACF
(ii) AB = AC,अर्थात, ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
प्रमाण : 
(i) Δ ABE तथा Δ ACF में
BE = CF (दिया है )
∠ AEB = ∠ AFC (90 प्रत्येक )
∠ A = ∠ A (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम के उपयोग से
Δ ABE ≅ Δ ACF [सत्यापित -I ]
(ii) AB = AC  [By CPCT]
इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |

Ex 7.2 Class 9 गणित Q5. ABC और DBC सामान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति). दर्शाइए कि ∠ ABD = ∠ ACD है|
हल : 
Class 9 NCERT Maths Triangles Solutions Hindi Medium 7.2 5
दिया है : ABC और DBC सामान आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
सिद्ध करना है : ∠ ABD = ∠ ACD
प्रमाण: ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
AB = AC (दिया है )
∴ ∠ ABC = ∠ ACB  ………. (1)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
इसीप्रकार,
BCD भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
BD = CD (दिया है)
∴ ∠ DBC = ∠ DCB ………. (2)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ ABC + ∠ DBC = ∠ ACB + ∠ DCB
Or, ∠ ABD = ∠ ACD
Proved.

Ex 7.2 Class 9 गणित Q6. ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है| भुजा BA बिंदु D तक इस प्रकार बढाया गया है कि AD = AB है (देखिए आकृति)|  दर्शाइए कि ∠ BCD एक समकोण है | 
NCERT Solutions For Class 9 Maths Triangles PDF Hindi Medium 7.2 6
हल : 
दिया है : ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है |
भुजा BA को बिंदु D तक बढाई गयी है जिससे AD = AB है |
सिद्ध करना है : ∠ BCD = 90
प्रमाण: 
AB = AC ………….. (1)  (दिया है)
और  AB = AD ………….. (2)  (दिया है)
Class 9th Maths NCERT Triangles Solutions Hindi Medium 7.2 6.1
समीकरण (1) तथा (2) से हमें प्राप्त होता है |
AC = AD ……………(3)
∴ ∠3 = ∠4 …….. (4) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)
अब, AB = AC [समी० (1) से]
∴ ∠1 = ∠2 …. (5) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ..)
ΔABC में
बहिष्कोण ∠5 = ∠1 + ∠2 (बहिष्कोण अत:अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है )
अथवा, ∠5 = ∠2 + ∠2 [ समी० (5) से]
अथवाr, ∠5 = 2∠2  ……. (6)
इसीप्रकार,
बहिष्कोण ∠6 = ∠3 + ∠4
अथवा,  ∠6 = 2∠3 [समी०  (7) से
समीकरण (6) तथा (7) को जोड़ने पर]
∠5 + ∠6  = 2∠2 + 2∠3
∠5 + ∠6  = 2(∠2 + ∠3)
अथवा,  180० = 2(∠2 + ∠3) [ ∵ ∠BAC + ∠DAC  = 180० ]
अथवा,  ∠BCD = 90
Proved.

Ex 7.2 Class 9 गणित Q7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ A = 90° और AB = AC. तो ∠ B और ∠ C ज्ञात कीजिए | 
हल  
NCERT Maths Book Class 9 Triangles Solutions Hindi Medium 7.2 7
दिया है : ABCएक समकोण त्रिभुज है जिसमें
∠ A = 90° और AB = AC है |
ज्ञात करना है : ∠B and ∠C
AB = AC (दिया है)
∴ ∠B = ∠C …………(1)
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180० (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
90° + ∠B + ∠B = 180० समीकरण (1) के प्रयोग से
2 ∠B = 180० – 90°
2 ∠B = 90°
∠B =  45°
∴ ∠B = 45° and ∠C =  45°

Ex 7.2 Class 9 गणित Q8. दर्शाइए कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है|
हल : 
Class 9 NCERT Solutions Maths Triangles Hindi Medium 7.2 8
दिया है : ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = BC = AC
सिद्ध करना है : 
∠A = ∠B = ∠C = 60°
प्रमाण :
AB = AC (दिया है )
∠B = ∠C ……… (1)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AB = BC (दिया है)
∠A = ∠C  ………. (2)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
AC = BC (दिया है)
∠A = ∠B ………… (3)   [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
समीकरण (1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है |
∠A = ∠B = ∠C  ………….. (4)
त्रिभुज ABC में
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠A + ∠A = 180°
3 ∠A = 180°
∠A = 60°
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°

प्रश्नावली 7.3

Ex 7.3 Class 9 गणित Q1. ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)| यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि
9th Class Maths NCERT Triangles Hindi Medium Solutions 7.3 1
(i)  ΔABD  ≅ ΔACD
(ii)  ΔABP  ≅ ΔACP
(iii)  AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
हल :
दिया है : ΔABC और ΔDBC दो समबाहु त्रिभुज हैं और AD को बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करता है |
CBSE Class 9 Maths Triangles Hindi Medium Solutions 7.3 1.1
सिद्ध करना है :
(i)  ΔABD ≅ ΔACD
(ii)  ΔABP ≅ ΔACP
(iii)  AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है |
(iv) AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है |
प्रमाण : ABC आधार BC पर बना समद्विबाहु त्रिभुज है |
इसलिए, AB = AC …….. (i)
इसी प्रकार, DBC भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है |
NCERT Solutions For Class 9 Maths Triangles Hindi Medium 7.3 1.2
NCERT Solutions For Class 9 Maths 7.3 1.3
समीकरण (iii) और (iv) से स्पष्ट है कि AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है|
Proved (III).
NCERT Solutions For Class 9 Maths 7.3 1.4
चूँकि ∠DPB = 90° हैं और BP = CP समी० (vi) से यह सिद्ध होता है कि AP रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक है|
Proved (IV).

Ex 7.3 Class 9 गणित Q2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि
NCERT Solutions For Class 9 Maths 7.3 2
(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें AB = AC है।
सिद्ध करना है :
(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : 
NCERT Solutions For Class 9 Maths 7.3 2.1
समीकरण (i) से सिद्ध होता है कि AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
और समीकरण (ii) से यह सिद्ध होता है कि AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

Ex 7.3 Class 9 गणित Q3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 7.3 3
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 7.3 3.1
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं |
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 7.3 3.2
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 7.3 3.3

Ex 7.3 Class 9 गणित Q4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं| RHS सर्वागसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हैं |
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC में दो बराबर शीर्षलंब BE और CF हैं |
अत: BE = CF है, BE ⊥ AC और CF ⊥ AB है |

Q5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | AP  BC खींच कर दर्शाइए कि B = C है | 
हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है | जिसमें AP ⊥ BC हैं |
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 7.3 5

प्रश्नावली 7.4

Ex 7.4 Class 9 गणित Q1. दर्शाइए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है |
हल :
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 7.4 1
दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका
कोण B समकोण है और AC कर्ण है |
सिद्ध करना है : 
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 (Hindi Medium) 7.4 1.1
प्रमाण : Δ ABC का ∠B समकोण है |
अत: ∠A और ∠C न्यूनकोण है |
इसलिए, ∠B > ∠C  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]
∴ AC > AB  (i) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
पुन: ∠B समकोण है और ∠A न्यूनकोण है |
इसलिए, ∠B > ∠A  [क्योंकि B समकोण है और C न्यूनकोण है ]
∴ AC > BC  (ii) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समी० (i) तथा (ii) से कर्ण AC सबसे बड़ी  भुजा है |
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q2. आकृति 7.48 में, ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है| साथ ही, PBC < QCB है| दर्शाइए कि AC > AB है|
हल :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Triangles Hindi Medium 7.4 2
दिया है : ΔABC की भुजाओं AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है जिसमें, ∠PBC < ∠QCB है |
सिद्ध करना है : AC > AB
प्रमाण : AB और AC को क्रमश: बिन्दुओं P तथा Q तक बढाया गया है,
इसलिए, ∠ABC + ∠PBC = 180° …… (1) रैखिक युग्म
और    ∠ACB + ∠QCB = 180° …… (2) रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB (चूँकि दोनों समी० का मान समान है)
जबकि ∠PBC < ∠QCB (दिया है)
अत: स्पष्ट है कि
∠ABC > ∠ACB
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q3. आकृति 7.49 में, B < A और C < D है | दर्शाइए कि AD < BC है |
हल :
Maths NCERT Solutions Class 9 Triangles Hindi Medium 7.4 3
दिया है : Δ AOB और Δ COD में ∠B < ∠A और ∠C < ∠D है |
सिद्ध करना है : AD < BC
प्रमाण : Δ AOB में,
∠B < ∠A  (दिया है)
∴  AO < BO  …. (1)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
अब, Δ COD में,
∠C < ∠D  (दिया है)
∴  DO < CO  …. (2)   (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
AO + DO < BO + CO
या AD < BC
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q4. AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं (देखिये आकृति)| दर्शाइए कि  A > C और B > D है|
हल :
Class 9 Maths NCERT Triangles Solutions Hindi Medium 7.4 4
दिया है : AB और CD क्रमश: एक चतुर्भुज ABCD की
सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजा हैं |
सिद्ध करना है :
(i) ∠A > ∠C
(ii) ∠B > ∠D
रचना : A को C से और B को D से मिलाया|
प्रमाण : (i) ΔABC में,
NCERT Maths Solutions For Class 9 Triangles Hindi Medium 7.4 4.1
AB सबसे छोटी भुजा है, (दिया है)
अत:, BC > AB
∴ ∠2 > ∠5 …… (1) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)
अब, ΔACD में,
CD सबसे बड़ी भुजा है, (दिया है)
अत:, CD > AD
∴ ∠1 > ∠6 …… (2) (बड़े भुजा की सम्मुख कोण बड़ी होती है)
समी० (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 > ∠5 + ∠6
या  ∠A > ∠C
Proved.
(ii) इसी प्रकार ΔABD में,
AD > AB (क्योंकि AB सबसे छोटी भुजा है)
∴ ∠3 > ∠8  …… (3)
और ΔBCD में,
CD > BC (क्योंकि CD सबसे बड़ी भुजा है)
∴ ∠4 > ∠7 …… (4)
समी० (3) तथा (4) को जोड़ने पर
∠3 + ∠4 > ∠7 + ∠8
या ∠B > ∠D
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q5. आकृति में PR > PQ  है और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | सिद्ध कीजिए कि  PSR > PSQ  है |
हल :
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Triangles Solutions 7.4 5
दिया है : PR > PQ और PS कोण QPR समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना है : ∠PSR > ∠PSQ  
प्रमाण : PS कोण QPR समद्विभाजित करता है | (दिया है )
∴ ∠QPS = ∠RPS …… (1)
और,  PR > PQ   (दिया है)
∠PQS > ∠PRS .……(2)
ΔPQS में,
∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = 180° ….. (3) (Δ के तीनों कोणों का योग)
इसीप्रकार, ΔPRS में,
∠PRS + ∠RPS + ∠PSR = 180° …. (4) (Δ के तीनों कोणों का योग)
समीकरण (3) और (4) से हम पाते है कि ..
∠QPS + ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠RPS + ∠PSR
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 (Hindi Medium) 7.4 5.1
या ∠PQS + ∠PSQ = ∠PRS + ∠PSR
जबकि ∠PQS > ∠PRS   समी० (2) से
अत: स्पष्ट है कि ∠PSQ < ∠PSR
Proved.

Ex 7.4 Class 9 गणित Q6. दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिंदु सेजो उस रेखा पर स्थित नहीं हैजितने रेखाखंड खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Triangles Solutions 7.4 6
हल :
दिया है : m एक रेखा है और O एक बिंदु है
जो m पर स्थित नहीं है| OP ⊥ m
सिद्ध करना है : OP < OQ < OR < OS
प्रमाण : OP ⊥ m दिया है |
∴ ∠OPQ = 90° और ∠OQP, ∠ORP, ∠OSP न्यूनकोण हैं |
अत: ∠OQP < ∠OPQ
∴   OP < OQ ….. (1)  (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
इसीप्रकार, ∠ORP < ∠OPQ
∴   OP < OR ….. (2) (बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
समी० (1) तथा (2) से
OP < OQ < OR
OP जो लंब है सबसे छोटी भुजा है|

प्रश्नावली 7.5 (ऐच्छिक)

Ex 7.5 Class 9 गणित Q1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो ∆ABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।
NCERT Solutions For Maths Class 9 Triangles Hindi Medium 7.5 1
हल-
एक ∆ABC के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों A, B व C से समान दूरी पर हो।
रचना विधि : रचना के पद निम्न हैं-

  1. सर्वप्रथम दिया हुआ त्रिभुज ABC बनाइए।
  2. अब, AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
  3. रेखाखण्ड PA, PB और PC खींचिए।
    अतः P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

Ex 7.5 Class 9 गणित Q2. किसी त्रिभुज के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ है।
NCERT Solutions For Maths Class 9 Triangles Hindi Medium 7.5 2
हल-
माना ABC एक त्रिभुज है जिसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु P ज्ञात करना है जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं AB, BC और CA से समदूरस्थ हो।
रचना विधि : रचना के पद निम्न हैं-

  1. सर्वप्रथम दिया हुआ ∆ABC बनाइए।
  2. ∠B और ∠C के समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
  3. रेखाखण्ड PB तथा PC खींचिए।
    अतः P अभीष्ट बिन्दु है जो तीनों भुजाओं से समदूरस्थ है।

Ex 7.5 Class 9 गणित Q3. एक बड़े पार्क में लोग तीन बिन्दुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं
A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।
B : जिसके पास मानव निर्मित एक झील है।
C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।
एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके?
[संकेत : स्टॉल को A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए।]
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 (Hindi Medium) 7.5 3
हल-
A, B और C तीन बिन्दु स्थान हैं। आइसक्रीम का स्टॉल लगाने के लिए लोगों की उस पर अधिकतम पहुँच होने के लिए यह आवश्यक है कि स्टॉल तीनों स्थानों से समदूरस्थ हो।
अत: आइसक्रीम स्टॉल लगाने के लिए हमें एक ऐसे स्थान (बिन्दु) P का चयन करना है जो पार्क के तीनों स्थानों से समान दूरी पर हो।
ज्ञात करने की विधिः
1. बिन्दु A से बिन्दु B को, बिन्दु B से बिन्दु C को और बिन्दु C से बिन्दु A को ऋजु रेखाओं द्वारा मिलाकर ∆ABC बनाइए।
2. किन्हीं दो भुजाओं (AB व BC) के लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो परस्पर बिन्दु P पर काटें।
आइसक्रीम स्टॉल के चयन के लिए उपयुक्त स्थान बिन्दु P होगा जो तीनों स्थानों से समदूरस्थ है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 (Hindi Medium) 7.5 3.1

Ex 7.5 Class 9 गणित Q4. संलग्न आकृति में षड्भुजीय और तारे के आकार की रंगोलियों को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों की संख्या गिनिए। किसमें अधिक त्रिभुज हैं?
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 (Hindi Medium) 7.5 4
हल-
चित्रों से स्पष्ट है कि विकर्णो को मिलाने पर षड्भुजीय आकृति को 6 समबाहु त्रिभुजों में और तारे के आकार की आकृति को 12 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जबकि समबाहु त्रिभुजों में प्रत्येक भुजा 5 सेमी है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 (Hindi Medium) 7.5 4.1
पुनः षड्भुजीय आकृति के एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 5 सेमी है, को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों में विभाजित कर स्पष्ट किया गया है कि 5 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज को 1 सेमी भुजा वाले 25 त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
तब स्थिति 1 : षड्भुजीय रंगोली इसको 1 सेमी भुजा वाले 6 x 25 = 150 समबाहु त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
स्थिति 2 : तारे के आकार की रंगोली
5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12
आकृति में 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 12 x 25 = 300
स्पष्ट है कि तारे के आकार वाली आकृति में त्रिभुजों की संख्या अधिक है।

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles (रेखाएँ और कोण) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Lines and Angles.

प्रश्नावली 6.1

Ex 6.1 Class 9 गणित Q1.  आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि  ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए | 
हल:
NCERT Solutions For Class 9 Maths Lines and Angles Hindi Medium 6.1 1
∠BOD = 40°
∠AOC  = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AOC = 40°
∠AOC  + ∠ BOE = 70° (दिया है)
∠BOE = 70°
∠BOE = 70° – 40°
∠BOE = 30°
चूँकि, AOB एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠AOC +  ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° – 70°
⇒ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360 – 110° = 250°

Ex 6.1 Class 9 गणित Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ  XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b= 2 : 3 है तो  c  ज्ञात कीजिए | 
हल :
Maths NCERT Solutions Class 9 Lines and Angles Hindi Medium 6.1 2
∠POY=90° (दिया है)
माना  ∠a और ∠b = 2x और 3x है |
चूँकि, XOY एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 2x + 3x + 90°= 180°
⇒ 5x  = 180° ­­- 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 18°
अब, ∠a = 2 x 18° = 36°
∠b =3 x 18° = 54°
यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |
∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)
∠54° + ∠c = 180°
⇒ ∠c = 180° – 54° = 126°

Ex 6.1 Class 9 गणित Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है | 
हल : 
दिया है : ∠PQR = ∠PRQ
सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT
प्रमाण :
∠PQS + ∠PQR = 180°  ………. (1)  रैखिक युग्म
∠PRT + ∠PRQ = 180°  ………. (2)  रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
Or,  ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR    (∠PQR = ∠PRQ दिया है)
Class 9 Maths NCERT Lines and Angles Solutions Hindi Medium 6.1 3
Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ |

Ex 6.1 Class 9 गणित Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है| 
NCERT Maths Solutions For Class 9 Lines and Angles Hindi Medium 6.1 4
दिया है : x + y = w + z
सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |
प्रमाण : x + y + w + z = 360
अथवा   x + y + x + y = 360
⇒  2x + 2y = 360
⇒ 2 (x + y) = 360
⇒ x + y = 180०   (रैखिक युग्म)
जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है |
अत: AOB एक सरल रेखा है|
Hence Proved.

Ex 6.1 Class 9 गणित Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए:
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Lines and Angles Solutions 6.1 5.3
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Lines and Angles Solutions 6.1 5
हल: 
दिया है : ​POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS ∠POR के बीच एक किरण है |
सिद्ध करना है : 
NCERT Solutions For Maths Class 9 Lines and Angles Hindi Medium 6.1 5.1
प्रमाण : ∠ROQ = 90    ( दिया है )
अब,  ∠POR + ∠ROQ = 180० [रैखिक युग्म]
या  ∠POR + 90 = 180
या  ∠POR = 180 – 90
या     ∠POR = 90
∠ROS = ∠POR – ∠POS  ………. (1)
और
∠ROS = ∠QOS – ∠ROQ  ……… (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠ROQ + ∠POR – ∠POS
अथवा    2∠ROS = ∠QOS – 90 + 90 – ∠POS
अथवा    2∠ROS = ∠QOS – ∠POS
Maths NCERT Solutions Class 9 Lines and Angles Hindi Medium 6.1 5.2
Proved.

Ex 6.1 Class 9 गणित Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती  ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए | 
हल : 
Maths NCERT Class 9 Solutions Lines and Angles Hindi Medium 6.1 6
∠ XYZ = 64°
YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है;
इसलिए
∠ QYP =  ∠ ZYQ     ………… (1)
XY को बिंदु P तक बढाया गया है |
∴ XYP एक सरल रेखा है |
अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°
⇒ 2∠ QYP = 180° – 64°
⇒ 2∠ QYP = 116°
⇒ ∠ QYP = 58°
⇒ ∠ QYP =  ∠ ZYQ = 58°
⇒ ∠ XYQ = ∠XYZ + ∠ ZYQ =  64° + 58° =  122°
प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° – 58° = 302°

प्रश्नावली 6.2

Ex 6.2 Class 9 गणित Q1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।
हल : 
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 6.2 1
x + 50° =  180°   (रैखिक युग्म)
⇒ x = 180° –  50°
⇒ x = 130°
y = 130°
x = y = 130° (एकांतर कोण गुणधर्म से )
AB || CD

Ex 6.2 Class 9 गणित Q2. आकृति 6.29 में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए | 
Lines and Angles Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 6.2 2
हल :
AB || CD …….. (1) दिया है ;
CD || EF …….. (2) दिया है ;
समीकरण (1) तथा (2) से हम पाते है कि
AB || EF ……….(3)
∴ x = z …….. (4)     एकांतर कोण
अब, y = 3k तथा z = 7k माना
AB || CD  दिया है;
∴ x + y = 180°    (एक ही ओर के अंत: कोणों का योग )
अथवा   z + y = 180°
⇒ 7k + 3k = 180°
⇒ 10k =  180°
⇒ k =  18°
चूँकि  x = z समी० (4) से
∴ x = 7k = 7 × 18° = 126°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠ GED = 126° है,तो ∠ AGE, ∠GEF   और ∠ FGE ज्ञात कीजिए |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 (Hindi Medium) 6.2 3
हल : ∠GED = 126°
AB || CD दिया है |
∴ ∠AGE = ∠GED (एकांतर कोण)
अत : ∠AGE = 126°
∠GED = 126°
∠GED = ∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + ∠FED = 126°
∠GEF + 90° = 126°    (∵ EF ⊥ CD ∴ ∠FED = 90°)
∠GEF = 126° – 90°
∠GEF = 36°
अब,
∠AGE + ∠FGE = 180°    ( रैखिक युग्म )
126° + ∠FGE = 180°
∠FGE = 180° – 126°
∠FGE = 54°
∠AGE = 126°, ∠GEF = 36° और ∠FGE = 54°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q4.आकृति 6.31 में, यदिPQ || ST, ∠ PQR = 110° और ∠ RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 (Hindi Medium) 6.2 4
[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा  खिचिए|]
हल :
रचना : बिंदु R से  होकर XY || ST खिंचा |
PQ || ST    …………..  (1)  दिया है |
Lines and Angles Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 6.2 4.1
XY || ST    ……………..(2) रचना से
समी० (1) तथा (2) से
PQ || XY   …………….. (3)
XY || ST   रचना से
∠RST + ∠SRY = 180°  (एक ही ओर के अंत:कोणों का योग )
⇒  130° + ∠SRY = 180°
⇒  ∠SRY = 180° – 130°
⇒  ∠SRY = 50°
PQ || XY   …………….. (3) से
∴ ∠PQR = ∠QRY    (एकांतर कोण)
110° =  ∠QRS + ∠SRY
110° =  ∠QRS + 50°
∠QRS = 110° – 50°
∠QRS = 60°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q5  आकृति6.32 में, यदि  AB || CD, ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127° है ,तो x और Y ज्ञात  कीजिए |
Class 9 NCERT Maths Lines and Angles Solutions Hindi Medium 6.2 5
हल: ∠ APQ = 50° और ∠ PRD = 127°
AB || CD   दिया है |
∴  ∠APQ = ∠PQR      ( एकांतर कोण )
या  x = 50°
पुन: ∠APR  = ∠PRD     ( एकांतर कोण )
या y + 50° = 127°
या y = 127° – 50°
या y = 77°
x = 50° और y = 77°

Ex 6.2 Class 9 गणित Q6.आकृति 6.33  में ,PQ और RS दो है जो एक दूसरे के सामान्तर रखे गए है | या आपतन किरण (incident ray )AB,दर्पण PQ से B पर टकराती है और प्रवार्तित किरण (reflected ray ) पथ BC पर टकराती है तथा पुनः CDके अनुदिश प्रवार्तित हो जाती है | सिद्ध कीजिए कि  AB || CD है |
NCERT Solutions For Class 9 Maths Lines and Angles PDF Hindi Medium 6.2 6
हल: 
दिया है: PQ || RS और AB एक आपतन कोण है, CD एक परावर्तित किरण है |
सिद्ध करना है : AB || CD
रचना :
BM ⊥ PQ और CN ⊥ RS खिंचा |
Class 9th Maths NCERT Lines and Angles Solutions Hindi Medium 6.2 6.1
प्रमाण : 
BM ⊥ PQ and CN ⊥ RS
∴ BM || CM और BC एक तिर्यक रेखा है |
∴ ​∠2 = ∠ 3   ………… (1) (एकांतर अंत:कोण )
जबकि हम जानते है कि –
आपतन कोण = परावर्तन कोण, जहाँ BM और CN अभिलंब हैं |
∴ ​∠1 = ∠ 2   ………….. (2)
इसीप्रकार,
∴ ​∠3 = ∠ 4   ………….. (3)
समी० (1), (2) और (3) से हम पाते है |
∠1 = ∠ 4  ……………. (4)
समी० (1) तथा (4) को जोड़ने पर
∠1 + ∠2 = ∠ 3 + ∠ 4
∠ABC = ∠ BCD  (एकांतर अत: कोण)
इसलिए, AB || CD
Proved.

प्रश्नावली 6.3

Ex 6.3 Class 9 गणित Q1. आकृति 6.39 में, Δ PQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमश: बिन्दुओं S और T तक बढाया गया है | यदि ∠SPR = 135° है और ∠ PQT = 110° है, तो ∠ PRQ ज्ञात कीजिए |
NCERT Maths Book Class 9 Lines and Angles Solutions Hindi Medium 6.3 1
हल :
∠QPR + ∠SPR = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠QPR + 135° = 180°
⇒ ∠QPR  = 180° – 135°
⇒ ∠QPR  = 45°
इसीप्रकार,
∠PQR + ∠TQP = 180° ( रैखिक युग्म )
⇒ ∠PQR + 110° = 180°
⇒ ∠PQR  = 180° – 110°
⇒ ∠PQR  = 70°
अब त्रिभुज PQR में,
∠QPR + ∠PQR + ∠PRQ = 180°
45° + 70° + ∠PRQ = 180°
115° + ∠PRQ = 180°
∠PRQ = 180° – 115°
∠PRQ = 65°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q2. दी गई आकृति में, ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ∠O क्रमशः ∆XYZ के ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
Class 9 NCERT Solutions Maths Lines and Angles Hindi Medium 6.3 2
हल-
∆XYZ में,
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
62° + 54° + ∠XZY = 180°
∠XZY = 180° – (62° + 54°) = 180° – 116° = 64°
YO, ∠XYZ का और ∠O, ∠XZY का समद्विभाजक है।
∠OYZ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠XY∠ और ∠OZY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) XZY
∠OYZ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 54° और ∠OZY = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 64०
∠OYZ = 27° और ∠OZY = 32°
तब ∆OYZ में,
∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180° (त्रिभुज के सभी अन्त:कोणों का योग 180° होता है।)
27° + 32° + ∠YOZ = 180°
∠YOZ = 180° – (27° + 32°) = 180° – 59°
∠YOZ = 121°
∠OZY = 32° तथा ∠YOZ = 121°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q3. दी गई आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
9th Class Maths NCERT Lines and Angles Hindi Medium Solutions 6.3 3
हल-
AB || DE और ऋजु रेखा AE इन्हें काटती है। तब,
∠BAE = ∠AED (एकान्तर कोण)
परन्तु ∠BAE = ∠BAC और ∠AED = ∠CED
∠BAC = ∠CED या 35° = ∠CED
∠CED = 35°
तब ΔCDE में,
∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180° (त्रिभुज के सभी अन्त:कोणों को योग 180° होता है)
53° + 35° + ∠DCE = 180°
∠DCE = 180° – (53° + 35°) = 180° – 88°= 92°
अतः ∠DCE = 92°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q4. दी गई आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।
CBSE Class 9 Maths Lines and Angles Hindi Medium Solutions 6.3 4
हल-
ΔPRT में,
∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोणों का योग 180° होता है)
40° + 95° + ∠PTR = 180°
∠PTR = 180° – (95° + 40°) = 180° – 135°
∠PTR = 45°
ऋजु रेखाएँ P और RS परस्पर बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
∠QTS = ∠PIR (शीर्षाभिमुख कोण)
∠QTS = 45° (∠PTR = 45°)
अब ΔQTS में,
∠QTS + ∠TSQ + ∠SQT = 180° [त्रिभुज के सभी अन्तः कोणों का योग 180° होता है।]
45° + 75° + ∠SQT = 180°
∠SQT = 180° – (45° + 75°) = 180° – 120° = 60°
∠SQT = 60°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q5. दी गई आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 (Hindi Medium) 6.3 5
हल-
ΔQRS में,
∠SQR + ∠QSR = बहिष्कोण ∠QRT
28° + ∠QSR = 65°
∠∠QSR = 65° – 28° = 37°
अब :: PQ || SR और QS एक तिर्यक प्रतिच्छेदी रेखा है,
∠PQS = ∠QSR (एकान्तर कोण)
x = 37° (∠PQS = x, ∠QSR = 37°)
PQ ⊥ PS
∠P = 90°
ΔPQS में, ∠P + ∠PQS + ∠PSQ = 180° [त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।]
90° + x + y = 180°
⇒ x + y = 90°
⇒ 37° + y = 90°
⇒ y = 90° – 37°
⇒ y = 53°
अतः x = 37° तथा y = 53°

Ex 6.3 Class 9 गणित Q6. दी गई आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को P बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु Tपर मिलते हैं,
तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) QPR है।
NCERT Solutions For Class 9 Maths Lines and Angles Hindi Medium 6.3 6
हल-
ΔPQR में,
∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR = 180° ……..(1)
तथा ΔTQR में,
∠TQR + ∠QRT + ∠QTR = 180° ……….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠ TQR + ∠QRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + (∠ PRQ + ∠PRT) + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR [∠QRT = ∠PRQ+ ∠PRT]
∠TQR + ∠ PRQ + ∠PRT + ∠QTR = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = ∠ PQR + ∠QPR …(3)
चूँकि QT, ∠PQR का समद्विभाजक है।
∠TQR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PQR या PQR = 2 ∠TQR ……….(4)
समीकरण (3) व समीकरण (4) से,
∠TQR + ∠PRT + ∠QTR = 2 ∠TQR + ∠QPR
∠ PRT + ∠QTR = ∠TQR + ∠QPR …….(5)
चूँकि RT, ∠ PRS का समद्विभाजक है।
∠PRT = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRS
और ∠PRS, ΔPQR का बहिष्कोण है।
∠PRS = ∠PQR + ∠QPR
∠PRS = 2 ∠TQR + ∠QPR ……(6)
∠PRT = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (2 ∠TQR + ∠QPR)
∠PRT = ∠TQR + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
समीकरण (5) में से समीकरण (7) को घटाने पर,
∠QTR = ∠QPR – \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
∠QTR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠QPR
इति सिद्धम.

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of ​​Parallelograms and Triangles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of ​​Parallelograms and Triangles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of ​​Parallelograms and Triangles (समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of Parallelograms and Triangles.

प्रश्नावली 9.1

Ex 9.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।
(i)
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 9.1 1
हल : यह आकृति एक ही आधार CD और एक ही समान्तर रेखाओं AB || CD के मध्य स्थित है |
(ii)
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 9.1 1.1
हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|
(iii)
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 9.1 1.2
हल : यह आकृति एक ही आधार QR और एक ही समान्तर रेखाओं PS || QR के मध्य स्थित है |
(iv)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.1 1.3
हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|
(v)
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 9.1 1.4
हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|
(vi)
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 9.1 1.5
हल : यह आकृति एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं|

प्रमेय :

प्रमेय 9.1 : सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बिच स्थित समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Solutions 9.1 2
दिया है : ||gm ABCD और ||gm EFCD
एक ही आधार CD और AB || CD के मध्य स्थित है |
सिद्ध करना है : 
ar(ABCD) = ar(EFCD)
उपपति :
ΔADE तथा ΔBCF में
AD = BC ( ||gm के सम्मुख भुजा बराबर होते हैं)
​∠DAE = ∠CBF (संगत कोण)
∠AED = ∠BFC (संगत कोण)
ASA सर्वांगसमता नियम से
ΔADE  ΔBCF
अत: ar(ADE) = ar(BCF) …….. (i)
(सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं )
अब, दोनों तरफ ar(EBCD) जोड़ने पर
ar(ADE) + ar(EBCD) = ar(BCF) + ar(EBCD)
​ar(ABCD) = ar(EFCD)
Proved.

प्रश्नावली 9.2

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.2 1
हल : 
NCERT Solutions For Maths Class 9 Hindi Medium 9.2 2
दिया है : E, F, G और H क्रमश: समांतर चतुर्भुज
ABCD कि भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं |
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 9.2 2.2

Ex 9.2 Class 9 गणित Q3. P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु है | दर्शाइए ar (APB) = ar (BQC) है |
हल :
Maths NCERT Class 9 Solutions Hindi Medium 9.2 3
दिया है : P और Q क्रमश: समांतर चतुर्भुज ABCD
की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिंदु है |
सिद्ध करना है :
ar(APB) = ar(BQC)
प्रमाण :
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 9.2 3.1
ΔAPB तथा ||gm ABCD एक ही आधार AB तथा AB || CD के मध्य स्थित है |

Ex 9.2 Class 9 गणित Q4. P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थिति कोई बिंदु है | दर्शाइए कि 
Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 9.2 4
हल :
Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 9.2 4.1
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके अभ्यंतर P कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है : 
Class 9 NCERT Maths Solutions Hindi Medium 9.2 4.2
NCERT Solutions For Class 9 Maths PDF Hindi Medium 9.2 4.3
रचना : P बिंदु से होकर AB के समांतर GH खिंचा और AD के समान्तर EF खिंचा |
प्रमाण :
AB || GH रचना से और AB = GH है इसलिए ABHG एक समांतर चतुर्भुज है |
Class 9th Maths NCERT Solutions Hindi Medium 9.2 2.1
इसी प्रकार DCHG भी एक समांतर चतुर्भुज है |
अब
ΔAPB तथा ||gm ABHG एक ही आधार AB तथा AB || GH के मध्य स्थित है |
NCERT Maths Book Class 9 Solutions Hindi Medium 9.2 4.4

Ex 9.2 Class 9 गणित Q5. PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है | दर्शाइए कि : 
Class 9 NCERT Solutions Maths Hindi Medium 9.2 5
हल :
दिया है : PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज है तथा X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है : 
9th Class Maths NCERT Hindi Medium Solutions 9.2 5.1
प्रमाण :
||gm PQRS तथा ||gm ABRS एक ही आधार SR तथा SR|| PB के मध्य स्थित हैं |
इसलिए प्रमेय 9.1 से
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.2 5.2
ar(PQRS) = ar(ABRS) ……. (i) Proved
अब, ΔAXS तथा ||gm ABRS एक ही आधार AS तथा AS || BR के मध्य स्थित है |

Ex 9.2 Class 9 गणित Q6. एक किसान के पास समांतर चतुर्भुज (PQRS) के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया हैइन भागों के आकार क्या हैंवह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहती है। वह ऐसा कैसे करे?
CBSE Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 9.2 6

प्रश्नावली 9.3

Ex 9.3 Class 9 गणित Q1. ΔABC की एक मध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है | दर्शाइए कि ar(ABE) = ar(ACE) है |
हल :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 1
दिया है : ΔABC की एक मध्यिका AD पर स्थित E कोई बिंदु है |
सिद्ध करना है : ar(ABE) = ar(ACE)
रचना : B तथा C E को मिलाया |
प्रमाण : ΔABC में,
AD ΔABC कि एक माध्यिका है |
इसलिए ar(ABD) = ar(ACD) ……… (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है )
अब,  ΔBEC में,
ED भी ΔBEC कि एक माध्यिका है |
इसलिए ar(BED) = ar(CED) ……. (ii)
समीकरण (i) में से (ii) घटाने पर
ar(ABD) – ar(BED) = ar(ACD) – ar(CED)
या ar(ABE) = ar(ACE)
Proved.

Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 9.3 2
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 2.1

Ex 9.3 Class 9 गणित Q3. दर्शाइए कि समांतर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बाँटते हैं।
हल :
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 9.3 3
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके दो विकर्ण AC तथा BD हैं | जो एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते है |​
सिद्ध करना है :
ar(AOB) = ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD)
प्रमाण : 
ΔABC की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है |
इसलिए OB एक माध्यिका है |
अत: ar(AOB) = ar(BOC)  ……. (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है )
इसीप्रकार, ΔACD की भुजा AC का O मध्य-बिंदु है |
इसलिए OD एक माध्यिका है |
अत: ar(AOD) = ar(COD)  ……. (ii)
अब और ΔBCD में
भुजा BD की मध्य-बिंदु O है अत: OC एक माध्यिका है |
अत : ar(BOC) = ar(COD) ……. (iii)
समीकरण (i), (ii) तथा (iii) से हमें प्राप्त होता है |
ar(AOB) = ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q4. ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं | यदि रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar(ABC) = ar(ABD)
हल :
दिया है : ABC और ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं और रेखाखंड CD रेखाखंड AB से बिंदु O पर समद्विभाजित होता है |
सिद्ध करना है : ar(ABC) = ar(ABD)
प्रमाण : DACD में भुजा CD को AB समद्विभाजित करता है जिसका मध्य-बिंदु O है |
अत: AO त्रिभुज कि एक माध्यिका है |
इसलिए  ar(AOC) = ar(AOD) …… (i)
(त्रिभुज कि माध्यिका उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है )
इसीप्रकार, DBCD में OB एक माध्यिका है |
अत:ar(BOC) = ar(BOD) ………. (ii)
समी० (i) तथा (ii) जोड़ने पर
ar(AOC) + ar(BOC) = ar(AOD) + ar(BOD)
या ar(ABC) = ar(ABD)
Proved.
या   FE || BC तथा FE = BD   [ चूँकि D BC का मध्य-बिंदु है ]
अत: BDEF एक समांतर चतुर्भुज है |
Proved (i)
(यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है |)

(ii) DF समांतर चतुर्भुज BDEF का विकर्ण है इसलिए
ar(BDF) = ar(DEF) …. (i)
इसीप्रकार, DCEF भी समान्तर चतुर्भुज है और DE इसका विकर्ण है |
ar(CED) = ar(DEF) …. (ii)
और AEDF भी समान्तर चतुर्भुज है और FE इसका विकर्ण है |
तो   ar(AEF) = ar(DEF) …. (iii)
समीकरण (i), (ii) और (iii) से
ar(AEF) = ar(BDF) = ar(DEF) = ar(CED) ….. (vi)
अब ar(AEF) + ar(BDF) + ar(DEF) + ar(CED) = ar(ABC)
या  ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) = ar(ABC) समी० (vi)
या 4 ar(DEF) = ar(ABC)
(iii) ar(BDF) + ar(DEF) + ar(AEF) + ar(CED) = ar(ABC)
या ar(BDF) + ar(DEF) + ar(BDF) + ar(DEF) = ar(ABC)
या ar(BDEF) + ar(BDEF) = ar(ABC)
या 2 ar(BDEF) = ar(ABC)

NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 9.3 5
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 9.3 5.1
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 5.2
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 5.3

Ex 9.3 Class 9 गणित Q6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
हल :
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 6
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है | यदि AB = CD है |
सिद्ध करना है :
(i) ar (DOC) = ar (AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
प्रमाण :  ΔDOC तथा ΔAOB में
CD = AB  (दिया है)
OD = OB  (दिया है)
∠COD = ∠AOB  (शीर्षाभिमुख कोण)
इसलिए, SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔDOC  ΔAOB
∠DCO = ∠BAO  …… (i) BY CPCT
चूँकि ΔDOC  ΔAOB इसलिए
ar (DOC) = ar (AOB)   ….(ii) Proved
(सर्वांगसम त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते है )
समी० (ii) दोनों तरफ ar(BOC) जोड़ने पर
ar (DOC) + ar(BOC) = ar (AOB) + ar(BOC)
या ar(DCB) = ar (ACB)
Proved.
समी० (i) से
∠DCO = ∠BAO  …… (एकांतर कोण)
इसलिए,  CD || AB और CD = AB दिया है |
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
(सम्मुख भुजाओं के एक युग्म बराबर और समांतर हो तो वह समांतर चतुर्भुज होता है)
इसलिए DA || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q7. बिंदु D और E क्रमश: DABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है | दर्शाइए कि DE || BC है |
हल :
दिया है : बिंदु D और E क्रमश: DABC कि भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) है |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 7
सिद्ध करना है :
DE || BC
प्रमाण :
ΔDBC और ΔEBC एक ही आधार BC और क्षेत्रफल में बराबर है क्योंकि
ar(DBC) = ar(EBC) दिया है |
अत: प्रमेय 9.3 से
DE || BC
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q8. XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है | यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती है, तो दर्शाइए कि:
ar(ABE) = ar(ACF)
हल : 
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 8
दिया है : XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है| यदि BE || AC और CF || AB रेखा XY से क्रमश : E और F पर मिलती है|
सिद्ध करना है :
ar(ABE) = ar(ACF)
रचना : E तथा F को A से मिलाया |
प्रमाण : BC || XY और BE || AC दिया है, इसलिए BCYE एक समांतर चतुर्भुज है |
इसीप्रकार BC || XY और CE || AB दिया है अत: BCFX भी समांतर चतुर्भुज है |
अब समांतर चतुर्भुज BCYE तथा BCFX एक ही आधार BC और BC||XY के मध्य-स्थित है |
इसलिए प्रमेय 9.1 से
ar(BCYE) = ar(BCFX)  ………… (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित समान्तर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते है |)
ΔABE और ||gm BCYE एक ही आधार BE और BE || AC के मध्य-स्थित है |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 8.1

Ex 9.3 Class 9 गणित Q9. समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिंदु P तक बढाया गया है | A से होकर CP के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है | दर्शाइए कि ar(ABCD) = ar(PBQR) है |
[संकेत: AC और PQ को मिलाइए | अब ar(ACQ) और ar(APQ) कि तुलना कीजिये |]
हल : 
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 9
दिया है : ABCD तथा PBQR समांतर चतुर्भुज है |
जहाँ AQ || CP है |
सिद्ध करना है : ar(ABCD) = ar(PBQR)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 9.1
प्रमाण : ||gm ABCD का AC एक विकर्ण है |
ΔACQ तथा ΔAPQ एक ही आधार AQ तथा CP || AQ के मध्य स्थित है |
अत: ar(ACQ) = ar(APQ) ………. (3)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
समीकरण (3) में दोनों तरफ ar(ABQ) घटाने पर
ar(ACQ) – ar(ABQ) = ar(APQ) – ar(ABQ)
या ar(ABC) = ar(PBQ)
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.3 9.2

Ex 9.3 Class 9 गणित Q10. एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दर्शाइए कि ar(AOD) = ar(BOC) है |
हल :
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Solutions 9.3 10
दिया है : एक समलंब ABCD, जिसमें AB || DC हैं, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : ar(AOD) = ar(BOC)
प्रमाण : ΔACD तथा ΔBCD एक ही आधार DC तथा AB || DC
के बीच स्थित है | अत:
ar(ACD) = ar(BCD) ……… (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
दोनों तरफ ar(COD) घटाने पर
ar(ACD) – ar(COD) = ar(BCD) – ar(COD)
या ar(AOD) = ar(BOC)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q11. ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है | दर्शाइए कि
(i) ar(ACB) = ar(ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
हल :
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 11
दिया है : ABCDE एक पंचभुज है| B से होकर AC के समांतर खिंची गई रेखा बढाई गई DC को F पर मिलती है |
सिद्ध करना है :
(i) ar(ACB) = ar(ACF)
(ii) ar(AEDF) = ar(ABCDE)
प्रमाण : AC || BF दिया है |
ΔACB और ΔACF एक ही आधार AC तथा AC || BF के बीच स्थित है |
अत: ar(ACB) = ar(ACF) …….. (1)
Proved.
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
अब दोनों तरफ ar(ACDE) जोड़ने पर
ar(ACB) + ar(ACDE) = ar(ACF) + ar(ACDE)
या  ar(ABCDE) = ar(AEDF)
या ar(AEDF) = ar(ABCDE)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q12. गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध् के साथस्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के  बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल : 
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 12
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है | ar(BEC) स्वास्थ्य केंद्र के लिए भूखंड है |
सिद्ध करना है :
ar(ABCD) = ar(PCD)
रचना : A को C से मिलाया और AB के बढ़े हुए भाग P बिंदु से AC || PB खिंचा |
प्रमाण : ΔACP तथा ΔACB एक ही आधार AC तथा AC || PB के बीच स्थित है |
अत: ar(ACP) = ar(ACB) …….. (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
ar(AEC) दोनों तरफ घटाने पर
ar(ACP) – ar(AEC) = ar(ACB) – ar(AEC)
या ar(AEP) = ar(BEC) ……. (2)
अत: ar(BEC) स्वास्थ्य केंद्र है और ar(AEP) के बदले मिला भूखंड है |
अब समीकरण (2) में दोनों तरफ ar(AECD) जोड़ने पर
ar(BEC) + ar(AECD) = ar(AEP) + ar(AECD)
या ar(ABCD) = ar(PCD)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q13. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए कि
ar (ADX) = ar (ACY) है |
[ संकेत : CX को मिलाइए ]
हल :
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 13
दिया है : ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है और AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है |
सिद्ध करना है : ar (ADX) = ar (ACY)
रचना : CX और AY को मिलाया |
प्रमाण :
ΔADX तथा ΔACX एक ही आधार AX और AB || DC के मध्य स्थित है |
अत: ar(ADX) = ar(ACX) ………. (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
अब ΔACY तथा ΔACX एक ही आधार AC तथा AC || XY के बीच स्थित है |
अत: ar(ACY) = ar(ACX) ……….. (2)
समीकरण (1) तथा (2) से हमें प्राप्त होता है |
ar (ADX) = ar (ACY)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q14. दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है | सिद्ध कीजिए कि
ar(AQC) = ar(PBR) है |
हल :
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 14
दिया है : दी गई आकृति में, AP || BQ || CR है |
सिद्ध करना है : ar(AQC) = ar(PBR)
प्रमाण : AP || BQ दिया है | अत: ΔABQ तथा ΔPQB एक ही आधार BQ
तथा AP || BQ के मध्य स्थित है |
∴ ar(ABQ) = ar(PQB) …….. (1)
(एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं मध्य स्थित त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं |)
इसीप्रकार, BQ || CR दिया है और ΔBQC तथा ΔBQR एक ही आधार BQ तथा BQ || CR के बीच स्थित है |
∴ ar(BQC) = ar(BQR) …….. (2)
समीकरण (1) तथा (2) जोड़ने पर
ar(ABQ) + ar(BQC) = ar(PQB) + ar(BQR)
या ar(AQC) = ar(PBR)
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q15. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar (AOD) = ar (BOC) है | सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है |
हल :
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 15
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD
परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं
कि ar (AOD) = ar (BOC) है |
सिद्ध करना है :
ABCD एक समलंब है |
प्रमाण :  ar (AOD) = ar (BOC) …….. (1)  (दिया है)
समीकरण (1) में दोनों तरफ ar(COD) जोड़ने पर
ar (AOD) + ar(COD) = ar (BOC) + ar(COD)
या ar(ACD) = ar(BCD)
अब ΔACD तथा ΔBCD एक ही आधार CD और ar(ACD) = ar(BCD) है |
अत: प्रमेय 9.3 से ये दोनों त्रिभुज अवश्य ही एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित है |
इसलिए AB || DC है |
चतुर्भुज ABCD में AB || DC है अत: ABCD एक समलंब है |
Proved.

Ex 9.3 Class 9 गणित Q16. दी गई आकृति में, ar(DRC) = ar(DPC) है और ar(BDP) = ar(ARC) है | दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है |
हल :
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.3 16
दिया है : ar(DRC) = ar(DPC) है और
ar(BDP) = ar(ARC) है |
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है |
प्रमाण :
ar(ARC) = ar(BDP) ……… (1) (दिया है)
और ar(DRC) = ar(DPC) …… (2) (दिया है)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर
ar(ARC) – ar(DRC) = ar(BDP) – ar(DPC)
या ar(ADC) = ar(BCD) ……. (3)
अब ΔADC और ΔBCD एक ही आधार DC और क्षेत्रफल में बराबर हैं समी० (3) से अत: प्रमेय 9.3 से
(एक ही आधार और क्षेत्रफल में बराबर त्रिभुज एक ही समांतर रेखाओं के मध्य-स्थित होते हैं|)
इसलिए, AB || CD है अत: ABCD एक समलंब है |
अब ΔDRC और ΔDPC एक ही आधार DC और समी० (2) से क्षेत्रफल में बराबर हैं | अत: प्रमेय 9.3 से
DC || RP है इसलिए DCPR एक समलंब है |
अत: चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब है|
Proved.

प्रश्नावली 9.4 (ऐच्छिक)

Ex 9. Class 9 गणित Q1. समान्तर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 1
हल-
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD का आधार AB तथा इसी आधार AB पर ही समान क्षेत्रफल को आयते ABEF स्थित है।
सिद्ध करना है : समान्तर चतुर्भुज ABCD का परिमाप > आयत ABEF का परिमाप
उपपत्ति: ∆ADF में,
∠F = 90° (आयत का अन्त:कोण)
AF ⊥ EF
AF < AD (AD कर्ण है) …(1)
इसी प्रकार ∆BCE में,
∠E = 90° (आयत का बहिष्कोण = 90°)
BE ⊥ CD
BE < BC ….(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
(AF + BE) < (AD + BC)
AB = EF (ABDF आयत है।)
और AB = DC (ABCD समान्तर चतुर्भुज है।)
दोनों ओर क्रमशः (AB + EF) और (AB + CD) जोड़ने पर,
AB + BE + EF + AF < AB + BC + CD + DA अतः समान्तर चतुर्भुज का परिमाप> आयत का परिमाप
इति सिद्धम.

Ex 9.4 Class 9 गणित Q2. दी गई आकृति में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है। दर्शाइए। कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, जो आपने इस अध्याय की ‘भूमिका’ में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों B वाले तीन भागों में विभाजित हो गया है?”
[टिप्पणीः ध्यान दीजिए कि BD = DE = EC लेने से ∆ABC तीन त्रिभुजों ABD, ADE और AEC में विभाजित हो जाता है जिनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसी प्रकार, BC को n बराबर भागों में विभाजित करके और इस भुजा को विभाजित करने वाले बिन्दुओं को सम्मुख शीर्ष A से मिला कर आप इस त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफलों वाले n त्रिभुजों में विभाजित कर सकते हैं।]
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 2
हल-
दिया है : भुजा BC पर D और E दो बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि BD = DE = EC है।
सिद्ध करना है : ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆AEC)
रचना : शीर्ष से BC पर शीर्षलम्ब AP खींचा। उपपत्ति: दिया है, BD = DE = EC
तीनों त्रिभुजों के आधार समान हैं। यह भी स्पष्ट है कि तीनों त्रिभुजों की एक ही ऊँचाई AP है। तब तीनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल भी समान होंगे।
अतः ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆AEC)
किसी त्रिभुज के आधार को n समान भागों में विभक्त कर सम्मुख शीर्ष से मिलाने पर त्रिभुज समान n भागों में विभक्त हो जाता है।
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 2.1

Ex 9.4 Class 9 गणित Q3. दी गई आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि
ar (ADE) = ar(BCF) है।
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 3
हल-
दिया है : दी गई आकृति में चतुर्भुज ABCD, चतुर्भुज DCFE और चतुर्भुज ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं।
सिद्ध करना है : ar (∆ADE) = ar (∆BCF)
उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
AD = BC
DCFE एक समान्तर चतुर्भुज है।
DE = CF
ABFE, एक समान्तर चतुर्भुज है।
AE = BF
अब ∆ADE तथा ∆BCF में,
AD = BC
DE = CF (अभी सिद्ध किया है)
AE = BF
∆ADE = ∆BCF (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
ar (∆ADE) = ar (∆BCF)

Ex 9.4 Class 9 गणित Q4. दी गई आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। BC को बिन्दु ९ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPQ) है। [संकेतः AC को मिलाइए।]
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 (Hindi Medium) 9.4 4
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 4.1

Ex 9.4 Class 9 गणित Q5. दी गई आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइए कि
(i) ar(∆BDE) = \(\frac { 1 }{ 4 }\) ar(∆ABC)
(ii) ar(∆BDE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar(∆BAE)
(iii) ar(∆ABC) = 2 ar(∆BEC)
(iv) ar(∆BFE) = ar(∆AFD)
(v) ar(∆BFE) = 2 ar(∆FED)
(vi) ar(∆FED) = \(\frac { 1 }{ 8 }\) ar(∆AFC)
[संकेतः EC और AD को मिलाइए। दर्शाइए कि BE || AC और DE || AB है, इत्यादि।]
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 5
हल-
दिया है : दी गई आकृति में ∆ABC और ∆BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC को मध्य-बिन्दु है। रेखाखण्ड AE खींचा गया है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करता है।
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 5.1
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 5.2
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 5.3
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 5.4
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 5.5

Ex 9.4 Class 9 गणित Q6. चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।दर्शाइए कि
ar (APB) x ar (CPD) = ar (APD) x ar (BPC) है।
[संकेतः A और C से BD पर लम्ब खींचिए।]
NCERT Solutions Class 9 Maths Hindi Medium 9.4 6

Ex 9.4 Class 9 गणित Q7. P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है। दर्शाइए कि :
(i) ar (∆PRQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (∆ARC)
(ii) ar (∆RQC) = \(\frac { 3 }{ 8 }\) ar (∆ABC)
(iii) ar (∆PBQ) = ar (∆ARC)
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 9.4 7
हल-
दिया है: ∆ABCमें भुजा AB का मध्य-बिन्दु Pऔर भुजा BC का मध्य-बिन्दु Q है।
बिन्दु R, रेखाखण्ड AP का मध्य-बिन्दु है।
सिद्ध करना है :
(i) ar (PRQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ARC)
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 9.4 7.1
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 9.4 7.2
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 9.4 7.3

Ex 9.4 Class 9 गणित Q8. दी गई आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है।
जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि :
(i) ∆MBC = ∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ∆FCB = ∆ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
[टिप्पणीः परिणाम (vii) प्रसिद्ध (सुपरिचित) पाइथागोरस प्रमेय है। इस प्रमेय की एक सरलतम उपपत्ति आप कक्षा X में पढ़ेंगे]
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 9.4 8
हल-
दिया है : ∆ABC में ∠A समकोण है। त्रिभुज की भुजाओं AB, AC तथा BC पर क्रमशः ABMN, ACFG और BCED वर्ग बने हैं। रेखोखण्ड AXवर्ग BCED की भुजा DE पर लम्ब है, जो BC से Y पर मिलता है।
सिद्ध करना है :
((i) ∆MBC = ∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ∆FCB = ∆ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
उपपत्ति:
(i) ABMN एक वर्ग है।
∆MBC ,
∠MBC = 90° + ∠B
इसी प्रकार ∆ABD में,
∠ABD = 90° + ∠B
∆MBC और ∆ABD में,
∠MBC = ∠ABD
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Solutions 9.4 8.1
NCERT Solutions For Maths Class 9 Hindi Medium 9.4 8.2

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Introduction to Euclid’s Geometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Introduction to Euclid's Geometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Introduction to Euclid’s Geometry (युक्लिड के ज्यामिति का परिचय) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Introduction to Euclid’s Geometry.

प्रश्नावली : 5.1

Ex 5.1 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं? अपने उत्तरों
के लिए कारण दीजिए।
(i) एक बिंदु से होकर वेफवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY, तो AB = XY होगा |
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 5.1 1
Solution :
(i) असत्य, एक बिंदु से होकर अनंत रेखाएं खिंची जा सकती है |
(ii) असत्य, दो भिन्न बिन्दुओ से होकर केवल एक रेखा खिंची जा सकती है |
(iii) सत्य, एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) सत्य, बराबर त्रिज्याओं से बराबर वृत्त खिंचा जाता है |
(v) सत्य, सभी तीनों रेखाएँ एक दुसरे के बराबर हैं |

Ex 5.1 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें
परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे?
(i) समांतर रेखाएँ
(ii) लम्ब रेखाएँ
(iii) रेखाखंड
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग
Solution :
(i) समांतर रेखाएँ : वे दो रेखाएँ समान्तर कहलाती है जो एक दुसरे से कभी नहीं मिलती है और उनकी बीच की दुरी सदैव सामान रहता है |
(ii) लम्ब रेखाएँ : दो रेखाएँ एक दुसरे पर इस प्रकार खड़ी रहती है कि उनके बीच का कोण एक समकोण होता है तो ऐसे रेखाओं को लम्ब रेखाएँ कहते हैं |
(iii) रेखाखंड : जिस रेखा के दो अंत बिंदु हो उसे रेखाखंड कहते है |
(iv) वृत्त की त्रिज्या : वृत्त के केंद्र और परिधि के बीच की दुरी को त्रिज्या कहते हैं |
(v) वर्ग : वह बंद आकृति जिसके सभी भुजाएँ बराबर हो |

Ex 5.1 Class 9 गणित Q3. नीचे दी हुई दो अभिधरणाओं पर विचार कीजिए:
(i) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम से कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
Solution : 
हाँ, यह अभिधारणा में दो अपरिभाषित तथ्य है जिसमें रेखाएँ और बिंदु है |
हाँ, यह अभिधारणा असंगत है क्योंकि ये दो भिन्न स्थितियों से संबंधित है और इनमें से कोई भी युक्लिड की अभिधारणा से का अनुसरण नहीं करता है |

Ex 5.1 Class 9 गणित Q4. यदि दो बिन्दुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = CD है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = ½AB है | एक आकृति खींच कर इसे स्पष्ट कीजिए|
Solution :
दिया है : AC = BC
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 5.1 4
सिद्ध करना है : AC = AB
प्रमाण : AC +BC = AB
अथवा  AC + AC = AB
अथवा       2AC = AB
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 5.1 4.1

Ex 5.1 Class 9 गणित Q5. प्रश्न 4 में, बिंदु C रेखाखंड AB का एक मध्यबिंदु कहलाता है | सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है|
Solution :
C रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है |
इसलिए,  AC = BC
माना, C’ रेखाखंड AB पर है जो AB का मध्य-बिंदु है |
इसलिए, AC` = BC`
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 5.1 5
समीकरण (1) और (2) से
AC`= AC
अथवा  C`= C
इसलिए, C और C` एक ही बिंदु है अर्थात संपाती है |
अत: एक रेखाखंड के एक ही मध्य-बिंदु होते हैं |

Ex 5.1 Class 9 गणित Q6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है | 
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Solutions 5.1 6
Solution:
दिया है : AC = BD
सिद्ध करना  है : AB = CD
प्रमाण :  AC = BD   ……… (1)
समीकरण (1) में से BC घटाने पर;
AC – BC = BD – BC
AB = CD

Ex 5.1 Class 9 गणित Q7. यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना
जाता है? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधरणा से संबंधित नहीं है।)

Solution :
क्योंकि पूर्ण का कोई भी भाग क्यों न हो, वह अस्तित्व में पूर्ण से आया होगा तब इसके लिए प्रमाण देने की आवश्यकता ही नहीं है कि पूर्ण अपने भाग से बड़ा होगा। जैसे कि इसका प्रमाण देने की आवश्यकता नहीं होती कि पिता पुत्र से आयु में बड़ा होता है।
अत: यह “पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है यह सर्वव्यापी सत्य है।

प्रश्नावली 5.2

Ex 5.2 Class 9 गणित Q1. आप यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को किस प्रकार लिखेंगे ताकि वह सरलता से समझी जा सके।
Solution :
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा
यदि l और m दो रेखाओं को तीसरी रेखा n काटती है और रेखा n के एक ही ओर बने दोनों अन्तः कोणों का योग दो समकोण से कम हो तो l और m बढ़ाने पर उसी ओर मिलेंगी जिस ओर के कोणों का योग 2 समकोण से कम होगा। अर्थात् दो भिन्न प्रतिच्छेदित रेखाएँ समान रेखा के समान्तर नहीं हो सकती हैं।
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Solutions 5.2 1

Ex 5.2 Class 9 गणित Q2. क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समान्तर रेखाओं के अस्तित्व का औचित्य निर्धारित होता है? स्पष्ट कीजिए।
Solution :
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा से समान्तर रेखाओं का अस्तित्व
यदि l और m दो रेखाओं को तीसरी रेखा n काटती है और n के एक ही ओर बने अन्त:कोण ∠1 वे ∠2 का योग 2 समकोण हो तो l और m, रेखा n के एक ओर नहीं मिलेंगी। जब ∠1 + ∠2 = 180° है तो n रेखा के दूसरी ओर बने अन्त:कोणों ∠3 व ∠4 का योग भी 180°होगा तब रेखाएँ l और m, रेखा n के दूसरी ओर भी नहीं मिलेंगी। अतः l औरा m कभी नहीं मिलेंगी, तब l और m रेखाएँ समान्तर होंगी।

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables (दो चरों में रैखिक समीकरण) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables.

प्रनावाली 4.1

Ex 4.1 Class 9 गणित Q1. एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए। (संकेत मान लीजिएनोटबुक की कीमत x रु है और कलम की कीमत y रु है)।
हल :
माना पेन की कीमत  = y रुपया है
और नोटबुक की कीमत = x रुपया है
प्रश्नानुसार,
नोटबुक की कीमत = 2 ( पेन की कीमत )
x = 2y
⇒ x – 2y = 0

Ex 4.1 Class 9 गणित Q2.  निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0  के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में  a, b और c के मान बताइए :
(i) 2+ 3= 9.35
(ii) – 5– 10 = 0
(iii) –2+ 3= 6
(iv) = 3y
(v) 2= –5y
(vi) 3+ 2 = 0
(vii) y– 2 = 0
(viii) 5 = 2x
हल:
(i)  2+ 3= 9.35
दिए गए समीकरण को ax + by + c = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
⇒  2x + 3y – 9.35 =  0
अत:   a = 2, b = 3, c = – 9.35

हल: (ii)  –5y – 10 = 0
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
 x –5y – 10 = 0
अत: , a = 1, b = -5, c = -10

हल: (iii)  –2+ 3= 6
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
⇒ –2+ 3y – 6 = 0
अत:, a = – 2, b = 3, c = – 6

हल: (iv)  = 3y
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
⇒ x  3y =  0
अत:, a = 1, b 3, c= 0

हल: (v)  2= –5y
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
 2x + 5y = 0
अत:, a = 2, b = 5, c = 0

हल: (vi)  3+ 2 = 0
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
⇒ 3x + 0.y + 2 = 0
अत:, a = 3, b = 0, c = 2

हल: (vii)  – 2 = 0
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
 0.x + y – 2 = 0
अत:, a = 0, b = 1, c = -2

हल: (Viii)  5 = 2x
दिए गए समीकरण को ax by = 0  के रूप में व्यक्त करने पर
⇒2x – 5= 0
अत:, a = 2, b = 0, c = -5

प्रश्नावली 4.2

Ex 4.2 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित विकल्पों में से कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों?
= 3+ 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है,   
(ii) केवल दो हल है, 
(iii)  अपरिमित रूप से अनेक हल हैं |
हल : (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं |

Ex 4.2 Class 9 गणित Q2. निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए :
(i) 2x + y = 7
(ii) πx + y = 9
(iii) x = 4y
NCERT Solutions For Class 9 Maths 4.2 2
अत: x और y का दिए गए समीकरण के लिए चार हल निम्नलिखित है :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 4.2 2.1
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 4.2 2.2
अत: x और y का दिए गए समीकरण के लिए चार हल निम्नलिखित है :
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 4.2 2.3
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 4.2 2.4
अत: x और y का दिए गए समीकरण के लिए चार हल निम्नलिखित है :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.2 2.5

Ex 4.2 Class 9 गणित Q3. बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण – 2= 4 के हल है और कौन-कौन नहीं है :
(i) (0, 2)
(ii) (2, 0)
(iii) (4, 0)
Maths NCERT Solutions Class 9 Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.2 3
(i) (0,2) समीकरण – 2= 4 का हल है अथवा नहीं 
हल : x = 0 और y = 2 रखने पर
– 2= 4
LHS = 0 – 2(2)
= – 4
RHS = 4
इसलिए, LHS ≠ RHS
अत: (0, 2) दिए गए समीकरण का हल नहीं है |

(ii) (2,0) समीकरण x – 2y = 4 का हल है अथवा नहीं
हल : x – 2y = 4  में x = 2 और y = 0 रखने पर
LHS =  2 – 2(0)
= 2 – 0
= 2
जबकि RHS = 4 है
इसलिए, LHS ≠ RHS
अत: (2, 0) दिए गए समीकरण का हल नहीं है |

(iii) (4,0) समीकरण x – 2y = 4 का हल है अथवा नहीं
हल : समीकरण x – 2y = 4 में x = 4 और y = 0 रखने पर
LHS = x – 2y
=  4 – 2(0)
=  4 – 0 = 4
जबकि RHS = 4
यहाँ LHS = RHS है
अत: (4, 0) दिए गए समीकरण का हल है |
Class 9 Maths NCERT Linear Equations in Two Variables Solutions Hindi Medium 4.2 3.1

(v) बताइए (1,1) समीकरण x – 2y = 4 का हल है अथवा नहीं
हल : समीकरण x – 2y = 4 में x = 1 और y = 1 रखने पर
LHS = x – 2y = 1- 2 (1) = 1 – 2 = – 1
जबकि RHS = 4 है
अत: (1, 1) समीकरण x – 2y = 4 का हल नहीं है |

Ex 4.2 Class 9 गणित Q4. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि  = 2,  y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो |
हल : 2x + 3y = k
x = 2 और y = 1 रखने पर
⇒ 2x + 3y = k
⇒ 2(2) + 3(1) = k
⇒ 4 + 3 = k
⇒ k = 7

प्रश्नावली 4.3

Ex 4.3 Class 9 गणित Q1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i)  x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
हल : (i) x + y 4
⇒ y = 4 – x
x का मान क्रमश: 0, 1, तथा 2 रखने पर y का मान क्रमश: 4, 3 और 2 प्राप्त होता है जिसकी सारणी निम्न है |
NCERT Maths Solutions For Class 9 Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.3 1
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Linear Equations in Two Variables Solutions 4.3 1.1
हल : (ii)    – = 2
⇒ = 2 + y
समीकरण में y का मान 1, 2 और 3 रखने पर y का मान क्रमश: 3, 4 और 5 प्राप्त होता है जिसकी सारणी निम्न है –
NCERT Solutions For Maths Class 9 Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.3 1.2
हल : (iii)   = 3x
समीकरण में x का मान 0, 1 और – 1 रखने पर क्रमश y का मान 0, 3 और -3 प्राप्त होता है –
Maths NCERT Solutions Class 9 Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.3 1.3
हल : (iv)   3 = 2y
⇒ y = 3 – 2x
समीकरण में x का मान 0, 1 और -1 रखने पर y का मान क्रमश: 3, 1 और  5 प्राप्त होता है जिसकी सारणी निम्न है –
Maths NCERT Class 9 Solutions Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.3 1.4

Ex 4.3 Class 9 गणित Q2. बिंदु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए | इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती है , और क्यों ?
हल :   बिंदु (2, 14) में x = 2 और y = 14 है
अत: इस मान को संतुष्ट करने वाले दो समीकरण निम्न है :
x + y = 16
और  x – y =  -12
इस प्रकार की अनंत रेखाए हो सकती है क्योंकि ये रेखाएँ एक ही बिंदु (2, 14) से गुजरेंगी |

Ex 4.3 Class 9 गणित Q3. यदि बिंदु (3, 4) समीकरण 3ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए |
हल :   3y = ax + 7
बिंदु (3, 4) में x = 3 और y = 4 है |
समीकरण 3y = ax + 7  में x और y का मान रखने पर
3(4) = a(3) +7
12 = 3a + 7
3a = 12 – 7
3a = 5

Ex 4.3 Class 9 गणित Q4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया 8 रु है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर होऔर कुल किराया y रु होतो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए औरउसका आलेख खींचिए।
हल :  तय की गई दुरी = x km
कुल किराया = y  रु
प्रश्नानुसार,
पहले किलोमीटर का किराया + 5(तय की गई दुरी – 1) = y
8 + 5(x – 1) = y
⇒ 8 + 5x – 5 = y
⇒ 3 + 5x = y
⇒ 5x –y + 3 = 0
⇒ y = 5x + 3
समीकरण में x का मान 0, -1 तथा 1 रखने पर y का मान क्रमश: 3, -2 और 8 प्राप्त होता है |
Linear Equations in Two Variables Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 4.3 4

Ex 4.3 Class 9 गणित Q5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए: 

आकृति 4. 6  के लिए आकृति 4.7 के लिए 
(i)   x
(ii)  = 0
(iii)  = 2x
(iv)  2 + 3= 7x
(i) + 2
(ii) – 2
(iii) = –+ 2
(iv) + 2= 6

Linear Equations in Two Variables Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 4.3 5
हल :  आकृति 4.6 के लिए
(ii) x + y = 0
आकृति 4.7 के लिए
(iii) y = -x + 2

Ex 4.3 Class 9 गणित Q6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी
(i) 2 मात्रक
(ii) 0 मात्रक
हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल :
माना किया गया कार्य = y
पिंड द्वारा विस्थापन = x मीटर
अचर बल = 5 इकाई
किया गया कार्य = बल × विस्थापन
W = F × S
इसलिए,   y = 5x
(i) जब तय दुरी 2 मात्रक है तब
x = 2 रखने पर
अत: y = 5x
⇒ y = 5(2)
⇒  y =  10
किया गया कार्य 10 मात्रक

(ii) जब तय की गई दुरी 0 मात्रक है तब
x = 0 रखने पर
⇒   y = 5(0)
⇒   y = 0
किया गया कार्य 0 मात्रक
आलेख के लिए x का मान -1, 0 और 1 रखने पर y का मान क्रमश: – 5, 0 और 5 प्राप्त होता है |
Class 9 NCERT Maths Linear Equations in Two Variables Solutions Hindi Medium 4.3 6

Ex 4.3 Class 9 गणित Q7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीडि़त व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान x रु और y रु मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल : माना यामिनी द्वारा योगदान = x रु
और फातिमा द्वारा योगदान = y रु
दोनों के द्वारा दिया गया अंशदान = 100 रु
अत: प्रश्नानुसार,
x + y = 10
y = 100 – x
समीकरण में x का मान 10, 20 और 30 रखने पर y का मान क्रमश: 90, 80 और 70 प्राप्त होता है |
NCERT Solutions For Class 9 Maths Linear Equations in Two Variables PDF Hindi Medium

Ex 4.3 Class 9 गणित Q8. अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता हैजबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 (Hindi Medium) 4.3 8
(i) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट को y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखि समीकरण का आलेख खींचिए।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकत: समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
Class 9th Maths NCERT Linear Equations in Two Variables Solutions Hindi Medium 4.3 8.1
इसीप्रकार x का मान 20 और 30 रखने पर y का मान 68 और 86 प्राप्त होगा जिसकी तालिका निम्न है |
>NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 (Hindi Medium) 4.3 8.2
NCERT Maths Book Class 9 Linear Equations in Two Variables Solutions Hindi Medium 4.3 8.3
Class 9 NCERT Solutions Maths Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.3 8.4
हल : (v) माना t वह तापमान है जो सेल्सियस और फारेनहाईट दोनों में संख्यात्मक रूप से समान है |
9th Class Maths NCERT Linear Equations in Two Variables Hindi Medium Solutions 4.3 8.5

प्रश्नावली 4.4

Ex 4.4 Class 9 गणित Q1.
(i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल-
(i) एक चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण :
संख्या रेखा खींचिए और उस पर 0 के दायीं ओर तीसरा चिह्न चिह्नित कीजिए।
CBSE Class 9 Maths Linear Equations in Two Variables Hindi Medium Solutions 4.4 1
अतः y = 3 की संख्या- रेखा पर यही ज्यामितीय स्थिति है।
(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 को ज्यामितीय निरूपण :
(1) वर्ग पत्रक (ग्राफ पेपर) पर X-अक्ष तथा Y-अक्ष खींचकर उन पर मापन चिह्न अंकित कीजिए।
(2) Y-अक्ष पर +3 चिह्न से X-अक्ष के समान्तर रेखा AB खींचिए।
NCERT Solutions For Class 9 Maths Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.4 1.1
इस रेखा पर x ( भुज) के भिन्न-भिन्न मान वाले बिन्दुओं के लिए भी y (कोटि) का मान 3 स्थिर है।
ऋजु रेखा AB अभीष्ट आलेख है।

Ex 4.4 Class 9 गणित Q2.
(i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
हल-
(i) एक चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण :
दिया हुआ समीकरण 2x + 9 = 0
2x = -9
x = -4\(\frac { 1 }{ 2 }\)
संख्या-रेखा खींचिए। 0 के बायीं ओर -4\(\frac { 1 }{ 2 }\) पर चिह्न लगाइए संख्या-रेखा पर 2x + 9 = 0 की यही स्थिति है।
Maths NCERT Solutions Class 9 Linear Equations in Two Variables Hindi Medium 4.4 2
(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण :
(1) ग्राफ पेपर पर X-अक्ष तथा Y-अक्ष खींचकर उन पर मापक चिन्ह अंकित कीजिए।
(2) X-अक्ष पर \(\frac { -9 }{ 2 }\) या -4.5 चिह्नित (अंकित) कीजिए और इससे Y-अक्ष के समान्तर रेखा AB खींचिए।
Class 9 Maths NCERT Linear Equations in Two Variables Solutions Hindi Medium 4.4 2.1
इस रेखा पर स्थित सभी बिन्दुओं के लिए x = -4\(\frac { 1 }{ 2 }\) होगा चाहे y का मान कुछ भी हो।
ऋजु रेखा AB अभीष्ट आलेख है।

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NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron’s Formula (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron’s Formula (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron’s Formula (हीरोन सूत्र) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 Heron’s Formula.

प्रश्नावली 12.1

Ex 12.1 Class 9 गणित Q1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘a‘ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 (Hindi Medium) 12.1 1
 NCERT Solutions For Class 9 Maths 12.1 1.1

Ex 12.1 Class 9 गणित Q2. किसी फ्रलाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं (देखिए आकृति 12.9)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु प्रति m2 की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?
NCERT Solutions For Class 9 Maths Hindi Medium 12.1 2
हल : a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
Maths NCERT Solutions Class 9 Hindi Medium 12.1 2.1

Ex 12.1 Class 9 गणित Q3. किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है । यदि इस दीवार की विमाएँ 15m, 11m और 6m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Class 9 Maths NCERT Solutions Hindi Medium 12.1 3

Ex 12.1 Class 9 गणित Q4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल :
a = 18 cm, b = 10 cm और c = ?
परिमाप = 42 cm
a + b + c = 42
या 18 + 10 + c = 42
या c = 42 – 28
या c = 14 cm
NCERT Maths Solutions For Class 9 Hindi Medium 12.1 4

Ex 12.1 Class 9 गणित Q5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12: 17: 25 है और उसका परिमाप 540cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना भुजाएँ a = 12x, b = 17x और c = 25x है |
अत: a + b + c = 540 cm
या  12x + 17x + 25x = 540
या 54x = 540
NCERT Solutions For Class 9 Maths Heron's Formula Hindi Medium 12.1 5
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 (Hindi Medium) 12.1 5.1

Ex 12.1 Class 9 गणित Q6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : a = 12 cm, b = 12 cm और c = ?
अत: a + b + c = 30 cm
या  12 + 12 + c = 30 cm
या  c = 30 – 24 cm
या  c = 6 cm
Maths NCERT Solutions Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.1 6

प्रश्नावली 12.2

Ex 12.2 Class 9 गणित Q1. एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?
Class 9 Maths NCERT Heron's Formula Solutions Hindi Medium 12.2 1
हल : 
NCERT Maths Solutions For Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.2 1.1
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Heron's Formula Solutions 12.2 1.2
= 65.04 m2

Ex 12.2 Class 9 गणित Q2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Heron's Formula Solutions 12.2 2
हल :
NCERT Solutions For Maths Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.2 2.1
Maths NCERT Solutions Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.2 2.2
Maths NCERT Class 9 Solutions Heron's Formula Hindi Medium 12.2 2.3
अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
= 7 cm2 + 9.166 cm= 15.2 cm2 (Aprox)

Ex 12.2 Class 9 गणित Q3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया, जैसा कि आकृति 12.15 में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 12.2 3
हल :
Heron's Formula Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 12.2 3.1
Heron's Formula Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 12.2 3.2
Class 9 NCERT Maths Heron's Formula Solutions Hindi Medium 12.2 3.3
हवाई जहाज का क्षेत्रफल = 2.49 cm2 + 6.5 cm2 + 1.68 cm2 + 4.5 cm2 + 4.5 cm2
= 19.67 cm2
अत: हवाई जहाज का क्षेत्रफल 19.67 cmहै ।

Ex 12.2 Class 9 गणित Q4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधर है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समांतर चतुर्भुज 28 cm के आधर पर स्थित है, तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
NCERT Solutions For Class 9 Maths Heron's Formula PDF Hindi Medium 12.2 4
हल :
Class 9th Maths NCERT Heron's Formula Solutions Hindi Medium 12.2 4.1
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 (Hindi Medium) 12.2 4.2
अब चूँकि समांतर चतुर्भुज BCDE का क्षेत्रफल ΔABC के बराबर है ।
अत:  समांतर चतुर्भुज BCDE का क्षेत्रफल = 336 cm2
या b × h = 336 cm2
या 28 × h = 336 cm2

Ex 12.2 Class 9 गणित Q5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?
NCERT Maths Book Class 9 Heron's Formula Solutions Hindi Medium 12.2 5
हल : 
Class 9 NCERT Solutions Maths Heron's Formula Hindi Medium 12.2 5.1

Ex 12.2 Class 9 गणित Q6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (देखिए आकृति 12.16)। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 cm, 50 cm और 50 cm हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?
9th Class Maths NCERT Heron's Formula Hindi Medium Solutions 12.2 6
हल : 
CBSE Class 9 Maths Heron's Formula Hindi Medium Solutions 12.2 6.1

Ex 12.2 Class 9 गणित Q7. एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति 12.17 में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।
NCERT Solutions For Class 9 Maths Heron's Formula Hindi Medium 12.2 7
हल : 
Maths NCERT Solutions Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.2 7.1
भाग I का क्षे० = 256 cm2
भाग II का क्षे० = 256 cm2
भाग III का क्षे० = 17.92 cm2

Ex 12.2 Class 9 गणित Q8. फर्श पर एक फूलों का डिज़ाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया हैजिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm28 cm और 35 cm हैं (देखिए आकृति 12.18)। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm2 की दर से पालिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Class 9 Maths NCERT Heron's Formula Solutions Hindi Medium 12.2 8
हल :
NCERT Maths Solutions For Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.2 8.1
= 36 × 2.45 = 88.2 cm2
अत: इन सभी 16 टाइल्स का क्षेत्रफल = 88.2 × 16
= 1411.2 cm2
टाइलों पर पॉलिश कराने का खर्च = 1411.2 × 0.50
= 705.60 रुपये ।

Ex 12.2 Class 9 गणित Q9. एक खेत समलंब के आकार का है जिसकी समांतर भुजाएँ 25 m और 10 m हैं। इसकी असमांतर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Heron's Formula Solutions 12.2 9
हल : 
AB के बराबर भुजा BC पर DE काटा
अत: DE = 10 m
इसलिए, EC = DC – DE
= 25 – 10 = 15 m
अब चूँकि AB = DE है और AB || DE इसलिए ABED एक समांतर चतुर्भुज है |
अत: AD = BE = 14 m
DBCE में,
a = 14 m, b = 15 m और c = 13 m
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Heron's Formula Solutions 12.2 9.1
NCERT Solutions For Maths Class 9 Heron's Formula Hindi Medium 12.2 9.2

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 Coordinate Geometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 Coordinate Geometry (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति) (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 Coordinate Geometry.

प्रश्नावली 3.1

Ex 3.1 Class 9 गणित Q1. एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज पर रखे टेबल लैंप की स्थिति किस तरह बताएँगे?
NCERT Solutions For Class 9 Maths Coordinate Geometry Hindi Medium 3.1 1
हल : माना कि टेबल लैंप सामने (बैठने वाली जगह) से 2 फीट है और और दायें किनारे से 1 फीट है तो लैंप की स्थिति (2,1) होगी !

Ex 3.1 Class 9 गणित Q2. (सड़क योजना) : एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केंद्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण की दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समांतर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पाँच सड़कें हैं। 1 सेंटीमीटर = 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।

आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉस-स्ट्रीट दो सड़कों से बनी है, जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्व-पश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता हैः यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पाँचवीं सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये एक क्रॉसिंग पर मिलती हैं,  तब इसे हम क्रॉस-स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि
(i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है।
(ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है।
हल- नगर का मॉडल
सड़क योजना को निम्नलिखित चित्र द्वारा दर्शाया गया है-
Maths NCERT Solutions Class 9 Coordinate Geometry Hindi Medium 3.1 2
(i) मॉडल से स्पष्ट है कि केवल एक-ही (unique) क्रॉस-स्ट्रीट है जिसको (4, 3) माना जा सकता है।
(ii) मॉडल से स्पष्ट है कि केवल एक ही (unique) क्रॉस-स्ट्रीट है जिसको (3, 4) माना जा सकता है।

प्रश्नावली 3.2

Ex 3.2 Class 9 गणित Q1. निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिएः
(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धरित करने वाली क्षैतिज और उर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?

(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।

हल : 
(i) क्षैतिज रेखा का नाम : x-अक्ष और उर्ध्वाधर रेखा का नाम : y-अक्ष
(ii) x-अक्ष और y-अक्ष से बने तल के प्रत्येक भाग का नाम :
(a) प्रथम चतुर्थांश
(b) द्वितीय चतुर्थांश
(c) तृतीय चतुर्थांश
(d) चतुर्थ चतुर्थांश
(iii) मूल बिंदु जिसका निर्देशांक (0,0) होता है |

Ex 3.2 Class 9 गणित Q2. आकृति 3.14 देखकर निम्नलिखित को लिखिए : 
(i) B के निर्देशांक 
(ii) C के निर्देशांक 
(iii) निर्देशांक (-3, -5) द्वारा पहचाना गया बिंदु 
(iv) निर्देशांक (2, -4) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(v) D का भुज 
(vi) बिंदु H के निर्देशांक 
(vii) बिंदु L के निर्देशांक 
(viii) बिंदु M के निर्देशांक 
Class 9 Maths NCERT Coordinate Geometry Solutions Hindi Medium 3.2 2
हल : 
(i) (-5, 2)
(ii) (5, -5)
(iii) E
(iv) G
(v) 6
(vi) (-5, -3)
(vii) (0, 5)
(viii) (-3, 0)

प्रश्नावली 3.3

Ex 3.3 Class 9 गणित Q1. किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिन्दु (– 2, 4), (3, – 1), (– 1, 0), (1, 2) और (– 3, – 5) स्थित हैं? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धरण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए।
हल : 
(-2, 4) द्वितीय चतुर्थांश में है |
(3, -1) चतुर्थ चतुर्थांश में है |
(-1, 0) x – अक्ष पर स्थित है |
(1, 2) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है |
(-3, -5) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है |
NCERT Maths Solutions For Class 9 Coordinate Geometry Hindi Medium 3.3 1

Ex 3.3 Class 9 गणित Q2. अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिएः
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Coordinate Geometry Solutions 3.3 2
हल-
माना 1 इकाई = 1 सेमी, तब कार्तीय तल में दिए गए बिन्दुओं की स्थितियों का आलेखन नीचे दिए गए चित्र में प्रदर्शित किया गया है।
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Coordinate Geometry Solutions 3.3 2

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 3 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 Circles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 Circles (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 Circles (वृत्त) (Hindi Medium)

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प्रश्नावली 10.1 

Ex 10.1 Class 9 गणित Q1. खाली स्थान भरिए:
(i) वृत्त का केन्द्र वृत्त के ……………….. में स्थित है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)।
(ii) एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……………….. स्थित होता है (बहिर्भाग/अभ्यंतर)।
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का ………………. होता है।
(iv) एक चाप …………….. होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखंड एक चाप तथा ……………… के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ……………. भागों में विभाजित करता है।
उत्तर : 
(i) अभ्यंतर
(ii) बहिर्भाग
(iii) ब्यास
(iv) अर्धवृत
(v) जीवा
(vi) अनंत

Ex 10.1 Class 9 गणित Q2. लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए।
(i) केन्द्र को वृत्त पर किसी बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
उत्तर: 
(i) सत्य
(ii) सत्य
(iii) असत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य
(vi) सत्य

प्रश्नावली 10.2

Ex 10.2 Class 9 गणित Q1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Circles Hindi Medium 10.2 1
दिया है : O और O’ वाले दो सर्वांगसम
वृत्त हैं जिनकी बराबर जीवाएं AB = PQ है |
सिद्ध करना है :
∠AOB = ∠PO’Q है |
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔPO’Q में
AO = PO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है)
BO = QO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या)
AB = PQ (दिया है)
SSS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB  ΔPO’Q
अत:  ∠AOB = ∠PO’Q  (BY CPCT)
Proved.

Ex 10.2 Class 9 गणित Q2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
हल :
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.2 2
दिया है : O और O’ वाले दो सर्वांगसम
वृत्त हैं जिनमें ∠AOB = ∠PO’Q है|
सिद्ध करना है :
AB = PQ है|
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔPO’Q में
AO = PO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है)
BO = QO’ (सर्वांगसम वृत्त की त्रिज्या)
∠AOB = ∠PO’Q (दिया है)
SSS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB  ΔPO’Q
अत:AB = PQ  (BY CPCT)
Proved.

प्रश्नावली 10.3

Ex 10.3 Class 9 गणित Q2. मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल : रचना के पद :
Maths NCERT Solutions Class 9 Circles Hindi Medium 10.3 2
(i) दिया हुआ बिना केंद्र वाला एक खिंचा |
(ii) वृत्त पर तीन असंरेखी बिन्दुएँ A, B तथा C डाला और A को B से और B को C से मिलाया |
(iii) रेखाखंड AB और BC का लंब समद्विभाजक खिंचा जो एक दुसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं |
(iv) बिंदु O ही दिए गए वृत्त का अभीष्ट केंद्र है |

Ex 10.3 Class 9 गणित Q3. यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल :
दिया है : O और O’ वाले दो वृत्त एक
दुसरे को बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती हैं |
अत: उभयनिष्ठ जीवा AB है |
दिया है : O और O’ वाले दो वृत्त एक
दुसरे को बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती हैं |
अत: उभयनिष्ठ जीवा AB है |
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.3 3
Class 9 Maths NCERT Circles Solutions Hindi Medium 10.3 3.1
NCERT Maths Solutions For Class 9 Circles Hindi Medium 10.3 3.2
अब चूँकि AB एक सरल रेखा है |

प्रश्नावली 10.4

Ex 10.4 Class 9 गणित Q1. 5 cm तथा 3 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Circles Solutions 10.4 1
AO = 5 cm
AO’ = 3 cm
OO’ = 4 cm
AB = ?
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Circles Solutions 10.4 1.1

Ex 10.4 Class 9 गणित Q2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करेंतो सिद्ध कीजिए कि एकजीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
हल :
NCERT Solutions For Maths Class 9 Circles Hindi Medium 10.4 2
दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो बराबर
जीवाएं AB तथा CD हैं | जो एक दुसरे को
बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं |
सिद्ध करना है : AE = CE और BE = DE है |
रचना : O से M तथा N को मिलाया |
Maths NCERT Solutions Class 9 Circles Hindi Medium 10.4 2.1
Maths NCERT Class 9 Solutions Circles Hindi Medium 10.4 2.2
या    AM = CN   …… (2)
या    BM = DN   ……. (3)
अब समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
AM – EM = CN – EN
या  AE = CE  Proved (i)
अब समीकरण (3) में (1) जोड़ने पर
BM + EM = DN + EN
या  BE = DE Proved (ii)
अत: AE = CE और BE = DE है |
इसलिए जीवा के संगत अंत:खंड बराबर हैं |

Ex 10.4 Class 9 गणित Q3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करेंतो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल :
Maths NCERT Class 9 Solutions Circles Hindi Medium 10.4 3
दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो बराबर जीवायें
AB तथा CD वृत्त के अन्दर बिंदु E पर
प्रतिच्छेद करती हैं |
रचना : E को केंद्र O से मिलाया |
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 10.4 3.1

Ex 10.4 Class 9 गणित Q4. यदि एक रेखा दो संकेंद्री वृतों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को, जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है |
हल :
Circles Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 10.4 4
दिया है : दो संकेंद्री वृत्त जिनका केंद्र O है |
Circles Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 10.4 4.1
Class 9 NCERT Maths Circles Solutions Hindi Medium 10.4 4.2
एक रेखा वृत्त को A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करती हैं |

Ex 10.4 Class 9 गणित Q5. एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमासलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पाससलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m होतो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?
हल :
NCERT Solutions For Class 9 Maths Circles PDF Hindi Medium 10.4 5
वृत्त का केंद्र O और और माना कि वृत्त पर
रेशमा (R), सलमा (S) और मनदीप (M) है |
RS = 6 m, SM = 6 m और RM = ?
OR = OS = 5 cm है |
ΔROS  में,
a = 5 cm, b = 5cm और c = 6 cm
Class 9th Maths NCERT Circles Solutions Hindi Medium 10.4 5.1
RM = 2 × RN
RM = 2 × 4.8 = 9.6 m
अत: रेशमा और मनदीप की बीच की दुरी 9.6 है |

Ex 10.4 Class 9 गणित Q6. 20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुरसैयद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.4 6
माना अंकुर की स्थिति A, सैयद की S और डेविड की D है |
अत: फोन की डोरी की लंबाई AS = SD = AD = x m है |
वृत्त की त्रिज्या AO = OS = OD = 20 m है |
NCERT Maths Book Class 9 Circles Solutions Hindi Medium 10.4 6.1
Class 9 NCERT Solutions Maths Circles Hindi Medium 10.4 6.2
Class 9 NCERT Solutions Maths Circles Hindi Medium 10.4 6.3
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.4 6.4

प्रश्नावली 10.5

Ex 10.5 Class 9 गणित Q1. आकृति 10.36 में, केंद्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि BOC = 30 तथा AOB = 60 है | यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिंदु है, रो ADC ज्ञात कीजिए |
हल :
9th Class Maths NCERT Circles Hindi Medium Solutions 10.5 1
∠AOC = 2 ∠ADC  (प्रमेय 10.8 से )
[ एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है | ]
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 1.1

Ex 10.5 Class 9 गणित Q2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है | जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए |
हल : 
CBSE Class 9 Maths Circles Hindi Medium Solutions 10.5 2
चाप AB त्रिज्याएँ OA तथा OB के बराबर है |
इसलिए ΔAOB एक समबाहु त्रिभुज है |
अत: ∠AOB = 60 (समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण)
अब, ∠AOB = 2∠APB
वृत्त के केंद्र पर बना कोण शेष वृत्त पर बने कोण का दुगुना होता है)
या    60 = 2∠APB
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 2.1

Ex 10.5 Class 9 गणित Q3. आकृति 10.37 में, ∠PQR = 100 है, जहाँ P, Q तथा R केंद्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं | ∠OPR ज्ञात कीजिए |
हल : 
NCERT Solutions For Class 9 Maths Circles Hindi Medium 10.5 3
दिया है – ∠PQR = 100 है |
चूँकि (वृत्त के केंद्र पर बना कोण शेष वृत्त पर बने कोण का दुगुना होता है)
इसलिए ∠POR = 2 ∠PQR
या ∠POR = 2 × 100
या ∠POR = 200
अब प्रतिवर्ती ∠POR = 360 – 200
या  प्रतिवर्ती ∠POR = 160
ΔPOR में, PO = RO (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
इसलिए ∠OPR = ∠ORP  ……..(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
अब,  ∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180  (तीनों कोणों का योग)
या ∠OPR + ∠OPR + 160 = 180  समी० (1) से
या 2 ∠OPR = 180 – 160
या 2 ∠OPR = 20
Maths NCERT Solutions Class 9 Circles Hindi Medium 10.5 3.1

Ex 10.5 Class 9 गणित Q4. आकृति 10.38 में, ∠ABC = 69 और ∠ACB = 31 हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए |
हल : 
Class 9 Maths NCERT Circles Solutions Hindi Medium 10.5 4
ΔABC में,
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 (त्रिभुज के तीनों का योग)
या 69 + 31 + ∠BAC = 180
या 100 + ∠BAC = 180
या ∠BAC = 180 – 100
या ∠BAC = 80
अब चूँकि ∠BAC = ∠BDC
इसलिए, ∠BDC = 80

Ex 10.5 Class 9 गणित Q5. आकृति 10.39 में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिंदु हैं | AC और BD एक बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि BEC = 130° तथा ECD = 20° है | BAC ज्ञात कीजिए |
हल : 
NCERT Maths Solutions For Class 9 Circles Hindi Medium 10.5 5
BED एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠BEC + ∠CED = 180 (रैखिक युग्म)
या 130° + ∠CED = 180
या ∠CED = 180 – 130°
या ∠CED = 50°
अब    ∠BAC = ∠CED [क्योंकि एक ही वृत्त खंड में बने कोण बराबर होते हैं]
इसलिए ∠BAC = 50°

Ex 10.5 Class 9 गणित Q6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि DBC = 70° और BAC = 30° हो, तो BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो  ECD ज्ञात कीजिए 
हल : 
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Circles Solutions 10.5 6
दिया है कि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° है |
अब,  ∠BAC = ∠BDC [एक ही वृत्त खंड में बने कोण बराबर होते हैं]
इसलिए, ∠BDC = 30°  …… (1)
अब DBCD में,
∠BDC = 30°, ∠DBC = 70° और ∠BCD = ?
अब  ∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = 180° [त्रिभुज के तीनों कोणों का योग]
या 30° + 70° + ∠BCD = 180°  समी० (1) से
या 100° + ∠BCD = 180°
या ∠BCD = 180° – 100°
या ∠BCD = 80°
अब, AB = BC दिया है
इसलिए, ∠BAC = ∠BCA …… (2) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब चूँकि ∠BAC = 30° है |
इसलिए ∠BCA = 30°  समी० (2) से
या ∠ECB = 30°
चूँकि  ∠BCD = 80° है |
या ∠ECB + ∠ECD = 80°
या 30° + ∠ECD = 80°
या ∠ECD = 80° – 30°= 50°
अत: ∠ECD = 50° और ∠BCD = 80° है |

Ex 10.5 Class 9 गणित Q7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास होंतो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल :
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 7
दिया है : ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है
जिसके विकर्ण AC तथा BD बिंदु O पर
प्रतिच्छेद करते हैं ।
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है ।
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔCOD में
OA = OC (एक ही वृत्त कि त्रिज्यायें)
OB = OD (एक ही वृत्त कि त्रिज्यायें)
∠AOB = ∠COD (शिर्षाभिमुख कोण)
SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔAOB  ΔCOD
अत: AB = CD  ….(1)  (By CPCT)
और ∠BAO = ∠DCO एकांतर कोण
अत: AB ॥ CD …(2)
समी० (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
अब BD विकर्ण वृत्त का ब्यास है (दिया है)
इसलिए ∠A = 90° तथा ∠C = 90° है । [अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है]
अत: ABCD एक आयात है ।
(वह समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो वह आयत कहलाता है)

Ex 10.5 Class 9 गणित Q8. यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएँ बराबर होंतो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल :
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 8
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें
AB || CD है और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है |
प्रमाण : ΔACD तथा ΔBDC में
AD = BC (दिया है)
DC = DC (दिया है)
∠DAC = ∠CBD (एक ही वृत्त खंड में बने कोण)
SAS सर्वांगसमता नियम से
ΔACD  ΔBDC
अत:     ∠D = ∠C ….. (1)  By CPCT
अब चूँकि AB || CD दिया है
इसलिए, ∠A + ∠D = 180° (अत: आसन्न कोणों का योग)
या      ∠A + ∠C = 180°  समी० (1)से
अत: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है|
Proved.

Ex 10.5 Class 9 गणित Q9.  दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं । B से जाने वाले दो रेखाखंड ABD और PBQ वृतों को A, D और P, Q पर क्रमश: प्रतिछेद करते हुए खींचे गए हैं । सिद्ध कीजिए कि ACP = QCD है |
हल :   
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 9
सिद्ध करना है : ∠ACP = ∠QCD
प्रमाण :
चाप AP बने कोण ∠ABP तथा ∠ACP हैं |
अत:  ∠ABP = ∠ACP  ……….. (1)[एक ही वृत्त खंड में बने कोण]
अब,  ∠ABP = ∠QBD  ……….. (2)[शिर्षाभिमुख कोण]
समीकरण (1) तथा (2) से
∠ACP = ∠QBD ……….. (3)
पुन:   ∠QCD = ∠QBD ………. (4) [एक ही वृत्त खंड में बने कोण]
अत: समीकरण (3) तथा (4) से
∠ACP = ∠QCD
Proved.

Ex 10.5 Class 9 गणित Q10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँतो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल :  
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 10
दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं
AB तथा AC को व्यास मानकर O तथा O’ वाले
दो वृत्त खिंचा है | उभयनिष्ठ जीवा AD है |
सिद्ध करना है : बिंदु D BC पर स्थित है |
प्रमाण : AB O केंद्र वाले वृत्त का व्यास है |
अत: ∠ADB = 90° ………. (1) (अर्धवृत में बना कोण समकोण होता है)
अब, AC O’ वाले वृत्त का व्यास है ।
अत: ∠ADC = 90° ………. (2) (अर्धवृत में बना कोण समकोण होता है)
समीकरण (1) तथा (2) जोड़ने पर
∠ADB + ∠ADC = 90° + 90°
या    ∠ADB + ∠ADC = 180°  [रैखिक युग्म]
अत: BDC एक सरल रेखा है जिसपर बिंदु D स्थित है|
Proved.

Ex 10.5 Class 9 गणित Q11. उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 11
हल-
दिया है: ∆ABC और ∆ADC दो समकोण त्रिभुज हैं जिनका कर्ण AC उभयनिष्ठ है। रेखाखण्ड BD खींचा गया है।
सिद्ध करना है: ∠CAD = ∠CBD
रचना : AC को व्यास मानकर वृत्त खींचा।
उपपत्ति: चूँकि ∆ABC समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण AC है।
∠B = 90°
पुनः ∆ADC समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण AC है।
∠D = 90°
तब चतुर्भुज ABCD में, ∠B + ∠D = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं)
ABCD चक्रीय चतुर्भुज है।
बिन्दु A, B,C और D एक वृत्त पर हैं। चूँकि ∠CAD और ∠CBD एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।
अतः ∠CAD = ∠CBD
इति सिद्धम्.

Ex 10.5 Class 9 गणित Q12. सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समान्तर चतुर्भुज एक आयत होता है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.5 12
हल-
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक आयत है।
उपपत्ति : ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है,
∠A + ∠C = 180° ……(1)
परन्तु समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∠A = ∠C ……(2)
अतः समीकरण (1) व (2) से,
∠A = ∠C = 90°
इसी प्रकार, ∠B = ∠D = 90°
ABCD का प्रत्येक अन्त:कोण 90° के बराबर है।
अत: ABCD एक आयत है। .
इति सिद्धम्

प्रश्नावली 10.6 (ऐच्छिक)

Ex 10.6 Class 9 गणित Q1. सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों के केन्द्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिन्दुओं पर समान कोण अन्तरित करती है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 1
हल-
दिया है: O1 तथा O2 केन्द्रों वाले दो वृत्त एक-दूसरे को दो बिन्दुओं A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। केन्द्र रेखा O1O2 प्रतिच्छेद बिन्दु A पर ∠O1AO2 तथा B पर ∠O1BO2 अन्तरित करती है।
सिद्ध करना है: ∠O1AO2 तथा ∠O1BO2 समान हैं।
उपपत्ति: ∆O1AO2 तथा ∆O1BO2 में,
O1A = O1B (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
O2A = O2B (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
O1O2 = O1O2 (उभयनिष्ठ)
∆O1AO2 = ∆O1BO2 (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
∠O1AO2 = ∠O1BO2 (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)

Ex 10.6 Class 9 गणित Q2. एक वृत्त की 5 सेमी तथा 11 सेमी लम्बी दो जीवाएँ AB और CD समान्तर हैं और केन्द्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी हो तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 2
हल-
दिया है : O त्रिज्या का एक वृत्त है जिसमें AB तथा CD दो समान्तर जीवाएँ केन्द्र O के विपरीत ओर स्थित हैं जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 5 सेमी व 11 सेमी हैं। जीवाओं के बीच की (लाम्बिक) दूरी 6 सेमी है अर्थात् MON = 6 सेमी जबकि MON ⊥ AB व MON ⊥ CD
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 2.1
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 2.2
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 2.3

Ex 10.6 Class 9 गणित Q3. किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है?
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 3
हल-
दिया है : O केन्द्र वाले किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं AB व CD की लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी व 8 सेमी हैं। छोटी जीवा AB की केन्द्र Oसे दूरी OM = 4 सेमी है।
ज्ञात करना है : दूसरी जीवा CD की केन्द्र O से दूरी ON
गणना : वृत्त की त्रिज्याएँ OA तथ OD खींचीं।
जीवा AB की केन्द्र O से (लाम्बिक) दूरी OM = 4 सेमी
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 3.1

Ex 10.6 Class 9 गणित Q4. मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँAD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABC जीवाओं AC तथा DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोणों के अन्तर को आधा है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 4
हल-
दिया है : ∠ABC बनाने वाली भुजाएँ AB व BC एक वृत्त से जीवाएँ AD और CE काटती हैं। जीवा AC द्वारा वृत्त के केन्द्र O पर अन्तरित कोण ∠AOC है और DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण ∠DOE है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 4.1

Ex 10.6 Class 9 गणित Q5. सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज की किसी भी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त, उसके विकर्णो के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाता है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 5
हल-
दिंया है: ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AC और BD दो विकर्ण हैं जो एक-दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है: BC को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त विकर्णो के प्रतिच्छेद बिन्दु P से होकर जाता है।
उपपत्ति : ABCD एक समचतुर्भुज है और उसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
∠CPB = 90°
∆CPB एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण BC है। तब समकोण ∆CPB को ∠CPB अर्धवृत्त में स्थित होगा जिसका व्यास BC है।
अतः BC को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त बिन्दु P (विकर्मों का प्रतिच्छेद बिन्दु) से होकर जाएगा।
इति सिद्धम्.

Ex 10.6 Class 9 गणित Q6. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो तो बढाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AE = AD है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 6
हल-
दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके शीर्षों A, B और C से एक वृत्त खींचा गया है। जो भुजा CD को E पर काटता है।
सिद्ध करना है: AE = AD
उपपत्ति : चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है,
∠B = ∠D (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।) ……(1)
चूंकि A, B, C से जाने वाला वृत्त CD को E पर काटता है,
ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
बहिष्कोण AED = ∠B ……(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠AED = ∠D (= ∠ADE)
∆ADE में,
∠AED = ∠ADE
∆ADE समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें
AD = AE
इति सिद्धम्.

Ex 10.6 Class 9 गणित Q7. AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए-
(i) AC और BD व्यास हैं।
(ii) ABCD एक आयत है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 7
हल-
दिया है: AC तथा BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को , बिन्दु O पर समद्विभाजित करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) AC तथा, BD वृत्त के व्यास हैं।
(ii) ABCD एक आयत है।
रचना : AB, BC, CD तथा DA को मिलाया।
उपपत्ति :
(i) जीवा AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर समद्विभाजित करती हैं।
OA = OB = OC = OD
तब OA, OB, OC और OD एक ऐसे वृत्त की त्रिज्याएँ हैं जिसका केन्द्र O है।
तब, AC = OA + OC = त्रिज्या + त्रिज्या = 2 x त्रिज्या
AC वृत्त का व्यास है।
BD भी O से होकर जाती है, तब BD भी वृत्त का व्यास है।
(ii) चूंकि AC व्यास है, तब ∠B = 90° तथा ∠D = 90°
और BD व्यास है, तब ∠A = 90° तथा ∠C = 90°
तब, ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक अन्त: कोण 90° है तथा विकर्ण एक-दूसरे को अर्धित करते हैं।
अत: ABCD एक आयत है।
इति सिद्धम्

Ex 10.6 Class 9 गणित Q8. त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक उसके परिवृत्त को क्रमशः बिन्दुओं D, E और F पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध कीजिए कि ∆DEF के कोण क्रमशः 90° – \(\frac { A }{ 2 }\) , 90° – \(\frac { B }{ 2 }\) और 90° – \(\frac { C }{ 2 }\) है।
हल-
दिया है : ∆ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक AD, BE व CF त्रिभुज के परिवृत्त को क्रमशः बिन्दुओं D, E व F पर काटते हैं। बिन्दुओं D, E व F से त्रिभुज DEF बनाया गया है।
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Circles Solutions 10.6 8

Ex 10.6 Class 9 गणित Q9. दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखण्ड PAQ इस प्रकार खींचा गया है कि P और दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ है।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 9
हल-
दिया है : दो वृत्तों के केन्द्र O1 व O2 हैं और वे बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से एकं रेखा PAQ खींची गई है जो वृत्तों से बिन्दुओं P और Q पर मिलती है।
सिद्ध करना है: रेखाखण्ड BP = रेखाखण्ड BQ
रचना : जीवा AB तथा त्रिज्याएँ O1A, O1B, O2A तथा O2B खींचीं।
उपपत्ति : चूँकि जीवा AB दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ है और दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं।
O1 केन्द्र वाले वृत्त का चाप AB = O2 केन्द्र वाले वृत्त का चाप AB
∠AO1B = ∠AO2B (सर्वांगसम वृत्तों के समान चाप केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करते हैं)
∠APB = ∠AQB (परिधि पर अन्तरित कोण)
अब ∆QBP में,
∠APB = ∠AQB (ऊपर सिद्ध हुआ है)
∠BPQ = ∠BQP
अतः BP = BQ (समान भुजाओं की सम्मुख भुजाएँ)
इति सिद्धम्.

Ex 10.6 Class 9 गणित Q10. किसी त्रिभुज ABC में, यदि ∠A को समद्विभाजक तथा BC का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे ∆ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 (Hindi Medium) 10.6 10
हल-
दिया है : ∆ABC के आधार BC का लम्ब समद्विभाजक XY है।
ABDC, ∆ABC का परिवृत्त है। लम्ब समद्विभाजक XY परिवृत्त को D पर काटता है। XY, BC को M पर काटता है।
सिद्ध करना है : ∠A का समद्विभाजक भी बिन्दु D से होकर जाएगा। रचना : DB तथा DC को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि XY, BC को लम्ब समद्विभाजक है और यह परिवृत्ते को बिन्दु D पर काटता है।
बिन्दु D, परिवृत्त पर भी है और XY पर भी।
∆BDM और ∆CDM में,
BM = CM (XY, BC का लम्बे समद्विभाजक है)
MD = MD (उभयनिष्ठ)
∠BMD = ∠CMD (XY ⊥ BC)
∆BDM = ∆CDM (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता से)
BD = CD (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
बिन्दु D, परिवृत्त पर भी स्थित है।
परिवृत्त में,
जीवा BD = जीवा CD
चाप BD = चाप CD (समान चाप किसी वृत्त की समान जीवाएँ काटते हैं)
चाप BD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण = चाप CD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण
∠BAD = ∠CAD
AD, ∠A का समद्विभाजक है।
अत: ∠A का समद्विभाजक AD भी बिन्दु D से होकर जाता है।
इति सिद्धम्.

Hope given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 10 are helpful to complete your homework.

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions (Hindi Medium)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions (Hindi Medium)

These Solutions are part of NCERT Solutions for Class 9 Maths in Hindi Medium. Here we have given NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 Constructions.

प्रश्नावली 11.1

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 1. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल-
दिया है : AB एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु A है।
रचना करनी है : किरण AB के बिन्दु A पर 90° के कोण की।
विश्लेषण : हम 60° का कोण बना सकते हैं। इस कोण के साथ 60° को एक संलग्न कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करें और इसमें जोड़ दें तो 90° का कोण प्राप्त होगा।
NCERT Solutions For Class 9 Maths Constructions Hindi Medium 11.1 1
रचना के पद :

  1. सर्वप्रथम किरण AB खींची।
  2.  बिन्दु A को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का चाप । खींचा जो किरण AB को बिन्दु P पर काटता है।
  3. अब P को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु Q पर काटता है।
    तब, ∠PAQ = 60°
  4. पुनः Q को केन्द्र मानकर उसी (AP) त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु R पर काटता है।
    तब ∠QAR = 60°
  5. अब, बिन्दु ९तथा R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु C पर काटते हैं। रेखाखण्ड CA खींचा। ∠CAQ = 30° है।
    इस प्रकार ∠CAB = 60° + 30° = 90°
    अत: ∠CAB अभीष्ट कोण है।

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 2. एक दी हुई किरण के प्रारम्भिक बिन्दु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल-
दिया है : OP एक दी हुई किरण है जिसका प्रारम्भिक बिन्दु 0 है।
रचना करनी है : किरण OP के बिन्दु 0 पर 45° के कोण की।
विश्लेषण : 45° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 90°
अतः 90° का कोण बनाकर उसे समद्विभाजित करके 45° का कोण प्राप्त होगा।
Maths NCERT Solutions Class 9 Constructions Hindi Medium 11.1 2
रचना के पद :

  1. सर्वप्रथम किरण OP खींची।
  2. बिन्दु O को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या का एक चाप लगाया जो किरण OP को A पर काटता है।
  3. पुनः A को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक चाप खींचा जो पहले चाप को B पर काटता है।
  4. B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का एक अन्य चाप खींचा जो केन्द्र O वाले चाप को C पर काटता है।
  5. अब, B तथा C को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु R पर काटते हैं। रेखाखण्ड OR खींचा जो चाप BC को D पर काटता है। तब, ∠POR = 90°
  6. बिन्दुओं A तथा D को केन्द्र मानकर किसी त्रिज्या के दो चाप खींचे जो परस्पर बिन्दु Q पर काटते हैं। रेखाखण्ड OQ खींचा। ∠POQ = 45° क्योकि OQ ∠POR = 90° का समद्विभाजक है।
    अत: ∠POQ अभीष्ट कोण है।

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 3. निम्नलिखित मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30°
(ii) 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°
(iii) 15°
हल-
(i) रचना करनी है : 30° के कोण की।
विश्लेषण : 30° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60°
Class 9 Maths NCERT Constructions Solutions Hindi Medium 11.1 3
रचना के पद :

  1. एक किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) खींची।
  2. किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) के अन्त्य बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर कोई त्रिज्या OB लेकर एक चाप लगाया।
  3. अब B को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या से एक अन्य चाप खींचा जो पहले चाप को बिन्दु C पर काटता है।
    तब, ∠AOC = 60°
  4. ∠AOC का अर्धक (समद्विभाजक) OD खींचा।
    अत: ∠AOD = 30° जो कि अभीष्ट कोण है।

(ii) रचना करनी है : 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)° के कोण की।
विश्लेषण : 90° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 45° का कोण प्राप्त होता है और इस 45° के कोण का समद्विभाजक खींचने पर 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°का कोण प्राप्त होगा।
NCERT Maths Solutions For Class 9 Constructions Hindi Medium 11.1 3.1
रचना के पद :

  1. एक किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) खींची।
  2. किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) के अन्त्य बिन्दु O को केन्द्र मानकर OP त्रिज्या का एक चाप खींचा जो किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) को बिन्दु P पर काटता है।
  3. P को केन्द्र मानकर OP त्रिज्या से एक चाप खींचा जो पहले चाप को Q पर काटता है।
  4. Q को केन्द्र मानकर उसी OP त्रिज्या का चाप खींचा जो चाप PQ को R पर काटता है।
  5. Q और R को केन्द्र मानकर चाप खींचे जो परस्पर T पर काटता है। रेखाखण्ड OT खींचा जो चाप PQR को S पर काटता है।
    तब, ∠AOT = 90°
  6. ∠AOT का समद्विभाजक OC खींचा। तब ∠AOC = 45°
  7. ∠AOC का समद्विभाजक OB खींचा।
    अत: ∠AOB = 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)°जो कि अभीष्ट कोण है।

(iii) रचना करनी है : 15° के कोण की।
विश्लेषण : 60° के कोण का समद्विभाजक 30° का कोण बनाया। अब 30° के कोण का समद्विभाजक 15का कोण बनाया।
NCERT Class 9 Maths Hindi Medium Constructions Solutions 11.1 3.2
रचना के पद :

  1. किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) के अन्त्य बिन्दु O से किरण \(\overset { \rightarrow }{ OA }\) पर ∠AOC = 60° इस प्रश्न के खण्डे (i) में वर्णित विधि से बनाया।
  2. ∠AOC का समद्विभाजक OD खींचा। ∠AOD = 30° है।
  3. अब ∠AOD का समद्विभाजक OE खींचा।
    तब ∠AOE = 15° जो कि अभीष्ट कोण है।

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 4. निम्नलिखित कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) 75°
(ii) 105°
(iii) 135°
NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 (Hindi Medium) 11.1 4
NCERT Maths Class 9 Hindi Medium Constructions Solutions 11.1 4.1

Ex 11.1 Class 9 गणित प्रश्न 5. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल-
दिया है : ‘समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC।
रचना करनी है : समबाहु त्रिभुज ABC की।
NCERT Solutions For Maths Class 9 Constructions Hindi Medium 11.1 5
रचना के पद :

  1. रेखाखण्ड BC दी गई माप का खींचा।
  2. B तथा C को केन्द्र मानकर BC त्रिज्या के दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
  3. रेखाखण्ड AB तथा AC को मिलाया। ∆ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

उपपत्ति : AB = BC और AC = BC
AB = BC = AC
त्रिभुज ABC समबाहु ही है।

प्रश्नावली 11.2

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 1. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी हो।
हल-
दिया है : ∆ABC में BC = 7 सेमी, ∠B = 75° और AB + AC = 13 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆ABC की।
Maths NCERT Solutions Class 9 Constructions Hindi Medium 11.2 1
रचना के पद :

  1. एक किरण BX खींचकर उसमें से रेखाखण्ड BC = 7.0 सेमी काटा।
  2. BC के बिन्दु B से BC पर ∠CBY = 75° बनाया।
  3. BY में से BD = 13 सेमी काटा।
  4. CD को मिलाया और उसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने BD को बिन्दु A पर काटा।
  5. रेखाखण्ड AC खींचा।
    ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 सेमी हो।
हल-
दिया है: ABC एक त्रिभुज है जिसमें BC = 8 सेमी, ∠B = 45° वे AB – AC = 3.5 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆ABC की।
Maths NCERT Class 9 Solutions Constructions Hindi Medium 11.2 2
रचना के पद :

  1. एक रेखाखण्ड BC = 80 सेमी खींचा।
  2. बिन्दु B से BC पर ∠XBC = 45° बनाया।
  3. BX में से BD = 3.5 सेमी काटा।
  4. CD को मिलाया।
  5. CD को लम्ब समद्विभाजक खींचा जो बढ़ी हुई BD को A पर काटता है।
  6. AC को मिलाया।
    ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 सेमी हो।
हल-
दिया है:  ∆PVR में, QR = 6 सेमी, ∠Q = 60° भुजा PQ < PR और PR – PQ = 2 सेमी है।
Maths Class 9 NCERT Solutions Hindi Medium 11.2 3
रचना के पद :

  1. रेखाखण्ड QR = 6 सेमी खींचा।
  2. Q से QR पर ∠XQR = 60° बनाया।
  3. XQ को आगे बढ़ाया और उसमें से QS = (PR – PQ) या 2 सेमी काट लिया।
  4. SR को मिलाया।
  5. SR का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OX को P पर काटता है।
  6. रेखाखण्ड PR खींचा।
    अत: ∆PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 4. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y = 30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 सेमी हो।
हल-
दिया है : ∆XYZ में, ∠Y = 30°, ∠Z = 90° है तथा XY + YZ + ZX = 11 सेमी है।
रचना करनी है : उपर्युक्त ∆XYZ की।
रचना के पद :

  1. त्रिभुज के परिमाप (XY + YZ + ZX) = 11 सेमी के बराबर माप का रेखाखण्ड PQ खींचा।
  2. P पर ∠RPQ = 30° व Q पर ∠SQP = 90° दिए हुए आधार कोण बनाए।
  3. RPQ व ∠SQP के समद्विभाजक खींचे जो परस्पर शीर्ष X पर काटते हैं।
    Constructions Maths Solutions For Class 9 NCERT Hindi Medium 11.2 4
  4. PX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Y पर काटता है।
  5. QX का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो PQ को Z पर काटता है।
  6. XY और XZ को मिलाया।
    अत: ∆XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

Ex 11.2 Class 9 गणित प्रश्न 5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण व अन्य भुजा का योग 18 सेमी हो।
हल-
दिया है : समकोण ∆ABC में आधार BC = 12 सेमी, ∠C = 90° तथा कर्ण AB व एक अन्य। भुजा AC का योग 18 सेमी हो।
रचना करनी है : उपर्युक्त समकोण ∆ABC की।
Constructions Solutions For Maths NCERT Class 9 Hindi Medium 11.2 5
रचना :

  1. रेखाखण्ड BC = 12 सेमी खींचा।
  2. बिन्दु C से BC पर ∠BCX = 90° बनाया।
  3. CX में से CD = (AB + AC) = 18 सेमी काट लिया।
  4. रेखाखण्ड BD खींचा।
  5. BD का लम्ब समद्विभाजक खींचा जिसने CD को बिन्दु A पर काटा।
  6. रेखाखण्ड AB खींचा।
    अत: ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

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